4.7.2. Основа перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.
Визначимо точку Н через метричні оператори (рис. 9). З геометричного змісту метричних операторів випливає:
Розділивши другу рівність на першу, одержимо:
Далі, застосовуючи точкове числення, одержимо:
4.7.3. Точка виходу з площини та її геометрична інтерпретація.
ТОЧКА ВИХОДУ З ПЛОЩИНИ НА ВІДСТАНЬ d.
Для побудов над площиною загального положення АВС уведемо поняття точки виходу з площини на задану відстань d.
ВИЗНАЧЕННЯ. Точкою виходу з площини, заданої трикутником АВС, називається точка S(syz, szx, sxy) – координатами якої є дійсні числа рівні подвоєним площам проекцій цього орієнтованого трикутника.
Точка S має наступні властивості:
1. Довжина відрізка OS чисельно дорівнює площі трикутника АВС.
2. Пряма OS перпендикулярна площині трикутника АВС.
Такі ж властивості має векторний добуток двох векторів, утворених направленими відрізками сторін орієнтованого трикутника АВС. Отже, точка виходу є точковим аналогом векторного добутку векторів. Через координати вершин точка виходу з площини трикутника АВС визначається співвідношеннями:
Точка D розташована на прямій OS, для якої відрізок OD по довжині дорівнює числу d, одержала назву точки виходу з площини АВС на величину d:
де sABC – подвоєна площа трикутника АВС.
Т
очка
D успішно використовується для побудов
над площиною загального положення.
Точка D
(рис. 4.10), що піднімається над площиною
від точки А на висоту d, визначається з
паралелограма OAKD сумою точок:
K = A + D
4.7.4. ПЛОЩА ТРИКУТНИКА, РОЗТАШОВАНОГО
В ПЛОЩИНІ ЗАГАЛЬНОГО ПОЛОЖЕННЯ.
Для визначення точки D необхідно мати подвійну площу трикутника АВС. Оскільки довжина відрізка OS, по визначенню, дорівнює цій подвійній площі, то через метричний оператор одержимо:
З
добувши
корінь квадратний, знаходимо шукану
подвійну площу.
4
.7.5.
ВИЗНАЧЕННЯ ВЕРШИНИ ПІРАМІДИ ПО ЗАДАНІЙ
ОСНОВІ І ВИСОТІ.
Розглянемо практичну задачу конструювання піраміди АВСК, по заданій основі АВС і висоті d, що проекціюється в центр ваги основи.
Конструювання піраміди зводиться до визначення вершини К.
Визначимо центр Т ваги трикутника АВС:
Обчислюємо подвійні площі проекцій трикутника АВС:
Визначаємо площу трикутника АВС, розташованого в площині загального положення:
Знаходимо точку виходу з площини на висоту d:
Обчислюємо координати шуканої вершини К:
Підводячи підсумок цієї лекції, відзначимо, що метричний оператор трьох точок споріднений скалярному добуткові векторів, точка виходу з площини – векторному добуткові двох векторів, а об’єм піраміди – змішаному добуткові трьох векторів.
Точкове числення, це математичний апарат інженера, що дозволяє конструювати геометричні об’єкти, а також лінійні і не лінійні форми. Розглянемо, як приклад, побудову піраміди.
4.8. ПОБУДОВА ВЕРШИНИ ТРИКУТНОЇ ПІРАМІДИ ПО ЗАДАНІЙ ОСНОВІ,
ВИСОТА ЯКОЇ ПРОЕКЦІЮЄТЬСЯ В ЦЕНТРОИД ОСНОВИ.