- •1.1. Комплексне креслення точки і прямої 6
- •1.1. Комплексне креслення точки і прямої
- •Умова паралельності прямих:
- •Умова перетину прямих:
- •Умова схрещування двох прямих:
- •Умова паралельності прямої і площини:
- •Аналіз задачі:
- •Положення геометричних образів при яких відстані
- •Розв’язання
- •3.2. Побудова розгорток поверхонь
- •3.2.1. Спосіб трикутників
- •Розгортка складається із чотирьох рівнобедрених
- •3.2.2. Спосіб розкатки
- •3.2.3. Спосіб нормального перерізу
- •Вправи для самостійного дослідження
- •3.3.4. Конічні перерізи.
- •3.4.3. Перетин прямої з похилим циліндром
- •Тема 3.5. Взаємний перетин поверхонь. Загальний алгоритм побудови лінії перетину поверхонь. Способи побудови лінії перетину поверхонь
- •Загальний алгоритм побудови лінії перетину поверхонь
- •3.5.2.А. Співвісні поверхні обертання і їх лінії перетину
- •Спосіб концентричних сфер
- •Геометричний алгоритм розв’язання задачі
- •Спосіб ексцентричних сфер
- •Геометричний алгоритм рішення задачі
- •У точковому численні прийнято позначати параметр t через q, а його доповнення до одиниці – через р. Рівняння прямої, записане у вигляді:
- •4.7.2. Основа перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.
- •4.7.3. Точка виходу з площини та її геометрична інтерпретація.
- •Викладки цього розділу є розрахунковою основою одного із епюрів з курсу нарисної геометрії.
- •Розділ 5. Теоретичні основи аксонометрії
- •Ортогональні проекції точок на будь-яку площину проекцій, які супроводжуються числами, що визначають відстань точок від їхніх проекцій, називаються проекціями з числовими позначками.
1.1. Комплексне креслення точки і прямої
1.1.1. КООРДИНАТИ І ПРОЕКЦІЇ ТОЧОК. ЕПЮР (КРЕСЛЕННЯ) Г. МОНЖА
У
Рис.1.2
Унарисній геометрії частіше використовуються не координати, а проекції точок (рис.1.2) на три взаємо-перпендикулярні площини проекцій П1, П2, П3. Ці площини називаються:
Горизонтальна площина проекцій – П1.
Фронтальна площина проекцій – П2.
Профільна площина проекцій – П3.
Проекції точки А на ці площини проекцій одержали відповідні найменування:
А1 – горизонтальна проекція точки А.
А2 – фронтальна проекція точки А.
А3 – профільна проекція точки А.
Щоб мати можливість використовувати в нарисній геометрії не тільки графічні, але й обчислювальні методи, зручно за горизонтальну площину проекцій П1 прийняти координатну площину OXY, за П2 OXZ, за П3 OYZ. Тоді точка А і її проекції А1, А2, А3 визначаються декартовими координатами:
Точку однозначно визначають три її координати. Оскільки будь-яка пара проекцій точки містить у собі всі три координати, то справедливо, важливе для нарисної геометрії, твердження:
СИСТЕМА ДВОХ ПРОЕКЦІЙ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНО ВИЗНАЧАЄ ЇЇ ПОЛОЖЕННЯ В ПРОСТОРІ, ПРИЧОМУ ОДНА З КООРДИНАТ ЗАГАЛЬНА ДЛЯ ДВОХ ПРОЕКЦІЙ.
З
Рис.1.3
Координата уА відображає віддалення точки А від фронтальної площини проекцій і називається глибиною точки А, z – відображає висоту точки А. Точка А12 ОХ, що визначає абсцису точки, а також орієнтовані глибина і висота, що визначають ординату і аплікату цієї точки, відіграють особливу роль у нарисній геометрії. Вони утворюють епюр (креслення) Гаспара Монжа – систему двох сполучених уздовж осі ОХ координатних площин проекцій П1і П2.
П
Рис.1.4
Рис.1.5
У залежності від того, в якій чверті знаходиться точка, її проекції, розташовані на лінії зв’язку, будуть змінювати своє положення відносно осі х12. По положенню проекцій А1, А2 відносно осі, необхідно визначати положення точки А щодо площин проекцій:
Проекції збігаються і належать осі проекцій точка належить осі.
Проекції знаходяться над віссю проекцій точка в другій чверті.
Проекції знаходяться під віссю проекцій точка в четвертій чверті.
Горизонтальна проекція точки – під віссю, а фронтальна проекція точки – над віссю проекцій точка знаходиться в першій чверті.
Горизонтальна проекція точки – над віссю, а фронтальна проекція точки – під віссю проекцій точка знаходиться в третій чверті.
Горизонтальна проекція знаходиться на осі точка належить фронтальної площини проекцій П2.
Фронтальна проекція точки – на осі точка знаходиться на П1.
Так, по парі проекцій точки, що знаходяться на площині (на аркуші паперу), читають положення точки в просторі (друга задача курсу нарисної геометрії).
І, навпаки, по положенню точки в просторі, зображують її креслення парою проекцій (перша задача курсу нарисної геометрії).
Освоїти перші дві задачі курсу для точки – основна мета вивчаючого курс!
ВПРАВИ:
Які чверті при сполученні площин проекцій в одну площину закриваються, а які розкриваються?
Якій площині належать точки, проекції яких збігаються?
У якій чверті знаходиться точка, координати якої усі негативні?
У якій чверті знаходиться точка В, симетрична точці А з першої чверті, відносно х12?
Визначити координати точки В, симетричній точці А(20, -10, 30) відносно точки О. У яких чвертях знаходяться точки А і В? Побудувати наочні зображення і епюр Г. Монжа точок А і В.
1.1.2. ЕПЮР ВІДРІЗКА ПРЯМОЇ, ЙОГО НАТУРАЛЬНА ВЕЛИЧИНА ТА КУТИ НАХИЛУ ПРЯМОЇ ДО ПЛОЩИН ПРОЕКЦІЙ (СПОСІБ ПРЯМОКУТНОГО ТРИКУТНИКА).
Х12
Рис.1.6
Якщо з'єднати відрізком прямої однойменні (з однаковими індексами) проекції точок А і В (рис.1.6), то одержимо проекції прямої АВ:
горизонтальну проекцію А1В1 відрізка АВ,
фронтальну проекцію А2В2 відрізка АВ.
Узагальному випадку проекція відрізка завжди по довжині менше ніж його натуральна величина. Отже, маючи дві проекції відрізка, ми не маємо безпосередньо його натуральної величини. Оскільки дві проекції визначають відрізок, то вони також визначають і його довжину (натуральну величину), що дорівнює гіпотенузі прямокутного трикутника. Один катет такого трикутника дорівнює горизонтальної проекції А1В1 відрізка АВ (рис.1.6), а другий катет по довжині дорівнює різниці висот кінців цього відрізка. Трикутник з гіпотенузою по довжині рівній натуральній величині відрізка побудувати по його проекціях можна на будь-якому вільному місці креслення. Якщо необхідно визначити н.в. одного відрізка, то трикутник прибудовують до однієї з проекцій (рис.1.7), якщо ж спосіб прямокутного трикутника потрібно застосувати багаторазово (визначаються довжини ребер багатогранника і т.п.), то використовують вільне поле креслення.
Зверніть увагу (рис.1.7), що трикутник можна добудувати, як до горизонтальної проекції А1В1, так і до другого катета (різниці висот).
Для зорової наочності введені знаки:
“▐ ” – довжина горизонтальної проекції А1В1;
“╢” – довжина фронтальної проекції А2В2;
“≡” – різниця висот точок А і В.
“≈” – різниця глибин точок А і В;
“
Рис.1.7
“α” – кут нахилу прямої АВ до горизонтальної площини проекцій П1;
“” – кут нахилу прямої АВ до фронтальної площини проекцій.
На (рис.1.7) побудовані чотири прямокутних трикутники для побудови величин α, β, н.в. АВ. Спосіб побудови таких величин у нарисній геометрії одержав назву від використаної для цього геометричної фігури – спосіб прямокутного трикутника для визначення довжини відрізка і кутів нахилу прямої до площин проекцій. Це перший спосіб нарисної геометрії, що дозволяє графічно вводити в неї метрику.
1.1.3. СЛІДИ ПРЯМОЇ НА ПЛОЩИНАХ ПРОЕКЦІЙ
Слідом прямої на площині називається точка перетину прямої із площиною. Нас будуть цікавити сліди прямої на площинах проекцій П1 і П2, щоб можна було описати, як розташовується пряма щодо площин проекцій (через які чверті вона проходить). Такий опис називається аналізом прямої.
Горизонтальним слідом називається точка Н перетину прямої з горизонтальною площиною проекцій.
Рис.
1.8
Побудова горизонтального сліду Н:
- фронтальну проекцію А2В2 прямої АВ про-
довжуємо до осі проекцій, одержуємо Н2 (фронтальну проекцію горизонтального сліду Н);
- через Н2 перпендикулярно осі проекцій про-
водимо лінію зв'язку до перетину з А1В1, одержуємо Н1 (горизонтальну проекцію горизонтального сліду)
Фронтальним слідом називається точка F перетину прямої з фронтальною площиною проекцій.
Для прямої АВ (рис.1.8) потрібно визначити фронтальний слід (два варіанти розташування прямої).
Побудова фронтального сліду F:
- горизонтальну проекцію А1В1 прямої АВ продовжуємо до осі проекцій, одержуємо F1 (горизонтальну проекцію фронтального сліду);
- через F1 перпендикулярно осі проекцій проводимо лінію зв'язку до перетину з А2В2, одержимо F2 (фронтальну проекцію фронтального сліду).
Аналіз прямої АВ (перший варіант):
відрізок прямої АВ між слідами F і Н знаходиться в першій чверті;
пряма АВ, перетинаючи верхню частину фронтальної площини, іде променем у другу чверть;
пряма АВ, перетинаючи передню частину горизонтальної площини, іде променем у четверту чверть.
Остаточно аналіз проходження прямої має вигляд:
Пряма, виходячи з другої чверті, перетинає верхню частину фронтальної площини входячи в першу чверть, потім перетинаючи передню частину горизонтальної площини, іде в четверту чверть.
Вправа: Виконати аналіз прямої АВ (другий варіант).
Відповідь:
Пряма,
виходячи з першої чверті перетинає
передню частину горизонтальної площини,
входить у четверту чверть, потім
перетинає нижню частину фронтальної
площини, уходить у третю чверть.
1.1.4. ПРЯМІ ОКРЕМОГО ПОЛОЖЕННЯ ВІДНОСНО ПЛОЩИН ПРОЕКЦІЙ
При зображенні креслень геометричних форм намагаються задати такі її проекції, щоб складові частини цієї форми найменше спотворювалися. У цьому випадку відрізки прямих займають особливе положення відносно площин проекцій (паралельні або перпендикулярні площинам проекцій).
Розрізняють два види прямих окремого положення:
лінії рівня – прямі паралельні площинам проекцій;
прямі, що проектуються - прямі перпендикулярні площинам проекцій.
Лінії рівня:
Горизонтальна пряма – пряма паралельна горизонтальній площині П1;
Ф
Профільна пряма – пряма паралельна профільній площині П3.
Проектуючі прямі:
Горизонтально проектуюча пряма – пряма, перпендикулярна горизонтальній площині проекцій П1;
Фронтально проектуюча пряма – пряма, перпендикулярна фронтальній площині проекцій П2;
П
1. p2 ≡ н.в. p 2. p2 3. A2 н.в. АВ В2 А3≡В3
p1 ≡ н.в. p н.в. АВ
p1 А1 В1
рофільно проектуюча пряма – пряма, перпендикулярна профільній площині проекцій П3.
Вправа. Скільки ребер містить багатогранник? Які прямі окремого положення визначають ребра багатогранника?
1.2. ВЗАЄМНЕ ПОЛОЖЕННЯ ПРЯМИХ. ПЛОЩИНА
1.2.1. ВЗАЄМНЕ ПОЛОЖЕННЯ ПРЯМИХ
Для того, щоб розрізняти взаємне положення прямих по їх проекціях і мати можливість їх зображувати, варто засвоїти умови їхнього взаємного положення.