Викладки цього розділу є розрахунковою основою одного із епюрів з курсу нарисної геометрії.

1. ВСТУП.

Будь-яка інженерна діяльність ґрунтується на математичному і геометричному моделюванні плоских і просторових форм. Опис цих форм спирається на одержання результату у виді зображення заданого геометричного образу. Проміжні етапи конструювання знаходять висвітлення у виді усе більш схематичних креслень, тому що процес створення більш конкретних і наочних зображень стає трудомістким і не встигає за мисленням конструктора. У складних інженерних конструкціях процес одержання зображення є гальмом у роботі конструктора.

Таким чином, потреби технічного розвитку вимагають значного прискорення етапів конструювання. Використання сучасних обчислювальних машин можуть забезпечити темпи створення не застарілих технологій і конкурентно здатної продукції. Виникає проблема гармонічного з'єднання образного мислення інженера з цифровою мовою ЕОМ. Цю задачу може успішно вирішити точкове числення, що з'єднує в собі геометричні образи з обчислювальними формулами. Точка в цьому численні є об'єктом обчислення і об'єктом геометричної формули. Конструктор, задаючи образ геометричними категоріями, може описувати етапи мислення обчислювальними формулами. Причому геометричний алгоритм конструювання формули знаходить висвітлення в обчислювальному алгоритмі, що переводиться програмістом на мову ЕОМ без посередника – математика. Якщо ж конструктор володіє знаннями програміста, то він у своє розпорядження одержує ЕОМ, як універсальний інструмент швидкого, точного зображення на екрані дисплея процесу конструювання.

4.8.2. БАЗОВІ ПОНЯТТЯ

1. Базові поняття розв’язання інженерно-графічної задачі: побудова піраміди по заданій основі і висоті d на основі порівняння двох алгоритмів геометричного й обчислювального.

Для побудови креслення, як відомо, необхідно мати об'єкт (оригінал), картинну площину (площина проекцій) і алгоритм (правило) побудови креслення.

Під об'єктом (оригіналом) домовимося розуміти будь-який реальний або уявний технічний пристрій або окрему деталь. При цьому в процесі побудови креслення нас цікавлять тільки його геометричні особливості, тобто характер і ступінь складності обмежуючих його поверхонь, а також окремі точки і лінії. Сукупність цих особливостей оригіналу умовимося називати його геометричним образом.

Геометричний образ оригіналу може бути досить складним. Тому для зручності вивчення розіб'ємо його на більш прості геометричні образи – точки, лінії, поверхні.

Найбільш простим геометричним образом є точка. Геометричні елементи більш високого рівня складності можуть бути утворені кінематичним способом, тобто шляхом переміщення в просторі більш простих геометричних елементів по визначеному закону. Так, наприклад, лінія може бути утворена рухом точки, поверхня – рухом лінії.

Для побудови креслення необхідно задати послідовність виконання дій для досягнення поставленої в умові мети, тобто алгоритм розв’язання задачі.

Як алгоритм побудови креслення прийнята паралельна проекція, в основі якої лежить метод проектування.

Для побудови креслення оригінал необхідно попередньо задати, тобто описати таким чином, щоб побудувати будь-яку його точку, а також зафіксувати його в просторі. За умовою задачі нам необхідно задати відсутню вершину трикутної піраміди по заданій основі і висоті d, при цьому висота проекціюється в центроїд основи піраміди.

Ми не будемо зупинятися докладно на способах завдання пірамідальних поверхонь. Зупинимося на способі побудови піраміди.

Якщо пірамідальну поверхню перетнути площиною П₁, то тіло, обмежене пірамідальною поверхнею і цією площиною прийнято називати пірамідою (рис.4.12). Частина площини П₁, обмежена багатокутником m, називається основою піраміди, а пірамідальна поверхня – бічною поверхнею. Перпендикуляр SO, опущений з вершини S на основу, називають висотою піраміди.

У такий спосіб піраміда – це геометричне тіло, у якого основа – довільний багатокутник, а бічні грані – трикутники з загальною вершиною S, названою вершиною піраміди. Перпендикуляр, опущений з вершини на підставу, називається висотою піраміди. Назва піраміди залежить від кількості бічних граней (тригранна, якщо в неї три бічні грані і т.д.).

Поняття центроїда основи піраміди, як взагалі будь-якої плоскої фігури, довільно заданої в просторі тісно зв'язано з ім'ям німецького вченого А.Ф. Мьобіуса, що у 1827р. у своїй роботі “Барицентричне числення” започаткував основи прямим операціям над геометричними об'єктами.

Числення починається з того, що визначаються об'єкти і дії над ними. Об'єктами алгебраїчних операцій у Мьобіуса служили точки (точкове числення), до яких він приєднував маси, узагальнивши поняття маси в тому напрямку, що вона може приймати не тільки додатні, але і від’ємні значення.

При розв’язанні задач про те, які маси Т₁, Т₂, Т₃ варто помістити в точках A, B, C, щоб вони визначили єдиний центроїд Т площини ABC, як показано на рис. 4.13 А. Мьобіус ввів поняття барицентричних координат, для яких значення має тільки їх відношення. З'єднуючи точку Т с точками A, B, C Мьобіус прийшов до висновку про те, що площі отриманих трикутників TBC (a₁); TAB (a₃); TCA (a₂) пропорційні барицентричним координатам точки Т, наприклад:

;

і їхнє відношення з умови визначення центроїда трикутника дорівнює 1, тобто

;;

Випадок, коли точка Т знаходиться поза трикутником враховується за допомогою угоди орієнтованістю трикутника.

Такі нормовані барицентричні координати були названі ареальними, тому що вони в точності рівні площам трикутників, якщо прийняти площу всього трикутника за одиницю виміру, тобто

.

З урахуванням умови (1) одержимо:

А. Мьобіус одержав основне рівняння точкового числення у виді:

,

де T₁,T₂,T₃ – нормовані барицентричні координати, що задовольняють визначеній умові.

Це рівняння в інтерпретації геометричного застосування поняття центра ваги трикутника може бути представлене у виді:

Далі, факт представлення однієї точки як лінійної комбінації декількох інших Мьобіус поклав в основу класифікації лінійних перетворень, виділивши відповідно до групи перетворень евклідову, афінну, проективну та конформну геометрії.

Довгий час точкове числення знаходило застосування у механіці для знаходження точки додатка (центроїди) і величини рівнодіючої системи рівнобіжних сил. У математичному і комп'ютерному моделюванні воно стало застосовуватися зовсім недавно, головним чином у докторській дисертації І.Г. Балюби.

Для інтерпретації обчислювальної геометрії на площині та у просторі використовується не тільки точкове, але й інше пряме числення – векторне. З використанням останнього І.Г. Балюбою була введена метрика, що забезпечила відтворення геометричної форми обчислювальними формами.

Питання точкового завдання кривих і поверхонь, визначених параметрично вирішуються таким чином, що завдання плоских геометричних образів розглядаються в симплексі точок A, B, C і D.

Наприклад, розглянемо задачу: Задані точки паралелограма A, B, C (рис. 4.14). Необхідно добудувати відсутню вершину L.

Розв’язання. Діагоналі паралелограма поділяються навпіл. Таким чином, точка перетину діагоналей є середнє арифметичним від протилежних вершин:

4.8.3. ВЕКТОРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ ТА ЇХ ІНТЕРПРЕТАЦІЯ В ТОЧКОВОМУ ЧИСЛЕННІ.

Поставлено задачу застосування точки виходу з площини та метричного оператора.

НехайABC довільно розташований у просторі. Приймаємо координатні площини за площини проекцій:

OE₁E₃П₂; OE₁E₂П₁; OE₂E₃П₃, де OE₁, OE₂, OE₃ – одиничні взаємо-перпендикулярні вектори, що позначимо як OE₁=i; OE₂=j, OE₃=k, що задають прямокутну декартову систему координат O, i, j, k.

Розглянемо трикутник ABC у проекціях відповідно на площинах П₁, П₂, П₃ за законами нарисної геометрії, де введемо позначення:

S^xy – подвійна площа горизонтальної проекції ABC;

S^yz – подвійна площа профільної проекції ABC;

S^zx – подвійна площа фронтальної проекції ABC.

Твердження. Для будь-якого трикутника ABC точка S, що має координатами орієнтовані подвійні площі проекцій цього трикутника на координатні площини, утворить вектор , перпендикулярний цьому трикутникові. Довжина вектора дорівнює подвійній площі трикутника ABC, тобто S_ABC.

Координати точки виходу (рис. 4.16) із площини ABC визначаються з визначника:

Відзначимо, що приведена формула виражає точку S, а не точку P.

; ;

; .

Твердження. Координати точки P, що визначає перпендикуляр AP до площини ABC, довжиною рівній OS, визначаються за формулами:

X_P=X_A+X_S; Y_P=Y_A+Y_S; Z_P=Z_A+Z_S.

Визначення точки, розташованої на відстані d від площини ABC відноситься до задачі обчислювального інструментарію.

Нехай D – точка виходу з площини на відстань d (рис. 4.17). Тоді завдання точки D, може бути здійснене за формулою:

Приведемо приклад використання точок із площини ABC для конструювання просторових конструкцій.

4.8.4. ПОБУДОВА ВЕРШИНИ ТРИКУТНОЇ ПІРАМІДИ ПО ЗАДАНІЙ ОСНОВІ, ВИСОТА ЯКОЇ ПРОЕКТУЄТЬСЯ В ЦЕНТРОЇД ОСНОВИ.

Задача.По заданій основі ABC і висоті h побудувати піраміду ABCK. Висота піраміди проекціюється в центроїд її основи (рис. 4.18).

Графічне розв’язання задачі представлено на рис. 4.18.

Обчислювальний алгоритм задачі.

1. Задано точки: O (0; 0; 0); A (X_A; Y_A; Z_A); B (X_B; Y_B; Z_B); C (X_C; Y_C; Z_C).

2. Обчислимо центроїд (центр ваги) ABC:

=>

; ; .

3. Обчислимо подвійні площі проекцій ABC:

; ; .

4. Визначимо подвійну площу ABC, розташованого в площині загального положення.

.

Будуємо точку S^′ замість S, координати якої взяту в масштабі (1:100)

5. Знайдемо точку виходу з площини на висоту d:

( Задача має два розв’язки. Тому вибирають або “+” або “-” так, щоб координати відповідали графічному рішенню) => ; ; .

6. Обчислимо координати шуканої вершини K:

K=A+D => X_K=X_A+X_D; Y_K=Y_A+Y_D; Z_K=Z_A+Z_D

Підводячи підсумок, відзначимо, що метричний оператор трьох точок споріднений скалярному добуткові векторів; об’єм піраміди – змішаному добуткові трьох векторів; точка виходу з площини – векторному добуткові двох векторів.

Векторний добуток визначає точку поза площиною – точку виходу з площини, утвореної трьома заданими точками – розширення симплекса, що означає розширення розмірності простору. Скалярний добуток споріднений з метричним оператором точкового числення. Цим визначено число, що характеризує відстань між точками і число, що характеризує кут між орієнтованими відрізками.