строймех часть1

21

3. Правая и левая прямые линии влияния М пересекаются строго под сечением, а это значит, что левая прямая действительна только слева от сечения, а правая - справа от сечения.

Построение линий влияния для сечений "С" расположенных на консольных участках балки

Особенность построения линий влияния состоит в том, что для получения Mc и Qс независимо от расположения груза Р=1 всегда рассматривают равновесие части балки между сечением и свободным концом консоли.

Построим линию влияния Мс:

1)Груз Р=1 находится слева от сечения. Составляем уравнение Мс:

Мслев = −Р Х = −Х уравнение левой прямой л.в.

2)Груз Р=1 находится правее сечения Мспр = 0; уравнение правой прямой л.в.

Для левой прямой строим график:

Х= 0; Æ Мслев = 0;

Х= К; Æ Мслев = -К;

Построим линию влияния Qc.

1)Груз Р=1 находится слева от сечения "С" : Qслев = −Р = −1 для всего левого участка.

2)Груз Р=1 находится справа от сечения "С" :

Qслев = 0 для правого участка балки

Особенность построения линии влияния при узловом характере передачи нагрузки

Узловой называется такая передача нагрузки, при которой независимо от расположения грузов давление на сооружение осуществляется всегда в одних и тех же точках.

22

Между двумя смежными узлами линия влияния представляет собой отрезок прямой. Поэтому поступают так:

а) сначала строится линия влияния при непосредственном нагружении сооружения (главной балки), без учета передаточных узлов;

б) затем узлы передачи нагрузки сносят по вертикали на эту построенную линию влияния и найденные смежные точки пересечения вертикалей с л.в. соединяют отрезками прямых, которые называются передаточными прямыми.

Этим и завершается построение линии влияния для балок с узловой передачей нагрузки.

Лекция 5 Построение линий влияния для шарнирно-консольных балок

Прежде чем строить линии влияния для шарнирно-консольных балок, необходимо построить поэтажную схему балки, а затем выполнить следующее:

1)Если рассматриваемое сечение или опора располагается в пределах верхнего элемента поэтажной схемы, то линия влияния строится как для простой балки и располагается в пределах длины этого элемента. Нижерасположенные элементы не оказывают влияния на верхний элемент.

2)Если рассматриваемое сечение или опора находится на одном из нижерасположенных элементов поэтажной схемы, то тогда поступают следующим образом:

а) вначале, как для простой балки, строят линию влияния в пределах элемента, которому принадлежит рассматриваемая опора или сечение;

б) затем эта линия влияния корректируется путем учета влияния вышерасположенных элементов, т.е. анализируется, как изменяется давление вышерасположенного элемента.

23

Определение усилий, от заданных нагрузок, по линиям влияния

1. Если на сооружение действует система сосредоточенных сил, то усилие Z, для которого построена линия влияния, равно алгебраической сумме произведений этих сил на соответствующие ординаты линии влияния под ними, т.е.

Z = P1 y1 + P2 y2 + P3 y3 + P4 y4 +...+ Pn yn ;

или

Z= ∑Pi yi

i−1n

24

2. Если на сооружение действует система сосредоточенных сил и линия влияния на этом участке имеет прямолинейный характер, то величину Z можно определить, умножив равнодействующую R этой системы сил на ординату линии влияния под ней y0.

Z = P1y1 + P2 y2 + P3y3 + P4 y4 = Ry0

3. Если прямолинейная линия влияния в пределах участка действия сосредоточенных сил имеет перелом, то для нахождения величины Z можно для сил, расположенных левее и правее этого перелома, определить свои равнодействующие и затем их умножить на свои ординаты линии влияния.

n

Z = ∑Pi yi = R1 y1 + R2 y2

i=1

25

4. Если на сооружение действует равномерно распределенная нагрузка, то величина Z, для которой построена линия влияния, равна произведению интенсивности этой нагрузки на площадь эпюры линии влияния под участком действия этой нагрузки.

Z = q w

Доказательство. На элементарном участке dx равномерно-распределенную нагрузку заменим (равнодействующей) dR = qdx. Элементарное усилие, возникающее от действия этой нагрузки, равно:

dz = q dx y , но y qdx= dw - площадь элементарного участка линии влияния

Тогда dz = qdw . Полное усилие равно сумме элементарных усилий на участке длиной

ab, т.е.

Z = ∫b qdw = q∫b dw

aa

5.Если равномерно распределенная нагрузка располагается над прямолинейным участком линии влияния, то усилие Z можно определить путем умножения равнодействующей этой нагрузки на свою ординату линии влияния.

Z = qw= qay0 ,

где qa = R

Тогда

Z = Ry0

26

6. Если линия влияния имеют перелом, то равномерно-распределенную нагрузку q необходимо сосредоточить отдельно левее и правее этого перелома, а затем величину Z можно найти как сумму произведений равнодействующих на их ординаты линии влияния

Z = R1 y1 + R2 y2 = qay1 + qby2 ; Z = q(ay1 +by2 );

Примечание: Во всех случаях, если сила направлена вниз – она положительна, если вверх - отрицательна.

7. Если на сооружение в каком-либо сечении действует сосредоточенный момент, то величина Z, для которой построена линия влияния, равна произведению величины момента на tg угла между осью элемента и касательной к линии влияния в том сечении, где приложен момент.

Доказательство: Заменим сосредоточенный момент парой сил с бесконечно малым плечом. От каждой силы пары найдем

Z = P(y + dy)− Py = Py + Pdy − Py ;

	Z = Pdy , но P =	M	; следовательно Z = M		dy	, а		dy	= tqα;
		dx			dx			dx
	Окончательно
				Z = M tqα

Изгибающий момент считается положительным, если он действует по часовой стрелке, а tq будет положительным для тех участков линий влияния, где с ростом аргумента функция тоже возрастает.

27

Лекция 6 Определение опасного положения системы связанных подвижных грузов

на сооружении по линиям влияния ломаного очертания

Задача состоит в нахождении такого положения связанных между собой подвижных грузов (системы подвижных грузов), при котором усилие Z, найденное по соответствующей линии влияния, окажется наибольшим.

Вывод. Предположим, что мы нашли опасное положение грузов. Найдем усилие, возникающее при этом положении грузов.

Z = P1 y1 + P2 y2 + P3 y3 + P4 y4 .

По определению невыгодного положения, имеем Zmax, следовательно, любое перемещение системы грузов вправо или влево должно приводить только к уменьшению усилия Z, т.е. приращение:

						Z < 0
	1. Сместим грузы вправо на величину					Х . Тогда
		Z = P1 y1 + P2 y2 + P3 y3 + P4 y4 ,						(1)
здесь
	y1 =	Xtgα1	y2 =	Xtgα2
	y3 =	Xtgα3	y4 =	Xtgα4
	Подставим эти значения в выражение (1).
			Z = X(R1tgα1 + R2tgα2 - R3tgα3 - R4tgα4 )
или				Z =		X ∑Ritgαi
	Поскольку приращение		Z должно быть отрицательным, то перемещая грузы вправо
«→» получим X с плюсом, значит должно быть:
				∑Ritgαi < 0
	Перемещая все грузы влево «←» (			X является отрицательным), получим:
				∑Ritgαi > 0

Таким образом, мы получили условия опасного положения грузов на сооружении. Эти условия являются необходимыми и достаточными.

→ ∑Ritgαi < 0 ← ∑Ritgαi > 0

28

Изменение знака в выражении Ritgαi возможно только в том случае, когда один из

подвижных грузов будет располагаться над максимальной ординатой линии влияния ymax. Этот груз называется критическим и обозначается Ркр.

Вэтом случае при перемещении всех грузов вправо, груз Ркр должен быть причислен

кправым равнодействующим, а при перемещении влево - необходимо причислить Ркр к левым равнодействующим.

Таким образом, задача по определению опасного положения системы подвижных грузов сводится к нахождению критического груза Ркр. Эта операция выполняется способом последовательных проб:

1)один из грузов (обычно средний и наибольший) принимается в качестве Ркр и устанавливается над ординатой ymax линии влияния;

2)вычисляются все равнодействующие Ri, а также все tgαi ;

3) перемещая груз Ркр на малую величину	X попеременно вправо и влево,
причисляют его последовательно к правым и левым	равнодействующим и определяют
Ritgαi ;

4)если в результате выполняются оба условия (I), то это значит, что найдено опасное положение грузов;

5)максимальное усилие можно определить теперь, установив Ркр над ординатой

ymax:

Z= Pi yi + Pкр ymax ;

6)если хотя бы одно из условий не выполняется, то в качестве критического принимается другой груз и вновь повторяют пробу, добиваясь выполнения обеих условий

(1).

Примечание:

1) Если при выполнении проб часть грузов сойдет с сооружения, т.е. будут за пределами линии влияния, то их необходимо исключить из расчета.

Кроме того, при изменении Ркр нередко приходится пересчитывать величину равнодействующих Ri.

2) Если линия влияния имеет несколько вершин, то для каждой из них необходимо определить свой критический груз и соответствующее ему критическое значение Zmax.

Для дальнейшего расчета сооружения принимают наибольшее значение из найденных

Zmax.

3) Исследование на Zmin (по отрицательным значениям линии влияния) выполняется по тем же двум признакам с изменением знака неравенства на противоположный.

Определение опасного положения грузов по треугольной линии влияния

Если линия влияния треугольного очертания, то полученные признаки опасного положения системы связанных подвижных грузов можно упростить.

Запишем эти признаки следующим образом (см. рис.):

→∑Ritgαi = Rлевtqα − Pкрtqα − Rпрtqβ < 0 ;

→∑Ritgαi = Rлевtqα + Pкрtqα − Rпрtqβ > 0;

				29
После преобразования получим:
	→	R	лев	<	Rпр + Рпр	←	Rлев + Рпр	>	Rпр
		α			b		α		b

Этими признаками удобнее пользоваться, т.к. нет необходимости определять tqα и tqβ. Все остальные условия остаются прежними.

Графический способ определения критического груза

При треугольной линии влияния критический груз можно определить путем простейших графических построений.

Силы Р1, Р2, Р3, Р4… откладываются из точки А в масштабе вниз, в той последовательности, в которой они действуют на сооружение слева направо. Затем проводят прямую, соединяющую правую опорную точку В линии влияния с концом отложенных грузов D, после чего из точки С (основания уmax) проводят прямую, параллельную линии ВD, которая своим нижним концом укажет тот груз, который и является критическим.

Если она упирается в точку, где сходятся две силы, то оба эти груза будут критическими.

30

Лекция 7 Статически определимые плоские фермы

Фермой называется сооружение, расчетная схема которого состоит из прямолинейных стержней, соединенных между собой в узлах идеальными шарнирами (лишенными сил трения).

Фермы проектируют, в основном, под узловые нагрузки. При шарнирных узлах и узловых нагрузках в стержнях фермы возникают только продольные усилия (растяжение или сжатие), а изгиба не будет.

Очень редко допускается внеузловое загружение фермы, при котором стержни фермы работают дополнительно еще и на местный изгиб, что не выгодно.

Классификация ферм

Фермы можно классифицировать по различным признакам, а именно:

1)По материалу – различают фермы металлические, стальные, деревянные, металлодеревянные, железобетонные.

2)По направлению опорных реакций:

а) безраспорные фермы:

балочные фермы

консольные

фермы

консольно-балочные фермы