строймех часть1

31

б) распорные фермы, в опорах которых даже при вертикальной нагрузке возникают как вертикальные, так и горизонтальные опорные реакции, например:

арочные – распор у которых направлен внутрь

висячие – распор у которых направлен наружу 3) По очертанию поясов:

а) фермы с параллельными поясами

б) фермы полигонального (ломанного) очертания

32

в) треугольные фермы

г) фермы криволинейного очертания - узлы верхнего или нижнего пояса, или обоих поясов, располагаются по кривой, однако сами стержни обязательно прямые

4) По типу решетки:

а) с раскосной решеткой - фермы, у которых решетка состоит из раскосов и стоек. В зависимости от направления раскосов различают решетки с нисходящими и восходящими раскосами

снисходящими раскосами

свосходящими раскосами

б) фермы с треугольной решеткой

в) полураскосные фермы - у них раскосы идут не от пояса к поясу, а от поясов к середине стоек

Рассмотренные выше типы решеток являются простыми решетками, однако часто применяются и сложные решетки:

33

г) многораскосные фермы - их решетка состоит из нескольких раскосных решеток, наложенных друг на друга

д) шпренгельные фермы - у таких ферм дополнительно к основным стержням решетки вводятся новые стержни, которые делят панели поясов на части, благодаря чему удается избежать внеузлового загружения ферм

е) составные фермы - это фермы, у которых отдельные стержни заменены сложными системами, в свою очередь представляющими собой фермы.

Расчет статически определимых плоских ферм.

Конечной целью статического расчета фермы является определение усилий в ее стержнях. По этим усилиям в дальнейшем производят подбор сечений элементов фермы и расчет узловых прикреплений элементов (расчет заклепок, сварных швов, врубок, болтов, шпонок).

Для расчета ферм разработан ряд методов, которые можно разделить на две основные группы: статические и динамические. Основой всех статических методов расчета является известный из курса сопротивления материалов способ сечений, который состоит в следующем: из фермы вырезают отдельные узлы, или целые области, или рассекают ферму на две части, после чего для рассматриваемого участка фермы составляется одно из уравнений статики, содержащее в себе одно неизвестное усилие.

Вместе с тем, каждый из статических способов имеет свои особенности, которые и рассмотрим.

Способ вырезания узлов

Сущность этого способа состоит в следующем: из фермы, начиная с узла, где сходятся не более двух стержней с неизвестными усилиями, последовательно вырезают узлы вместе с приложенными к ним нагрузками (в том числе и опорными реакциями).

34

Рассматривая равновесие узла, мы имеем дело с системой сходящихся сил, для которой можно составить только два уравнения статики :

∑Х = 0;

∑Y = 0;

из решения которых и определяют усилия в стержнях.

Поэтому и каждый последующий вырезанный узел может содержать любое количество стержней, но неизвестными должны быть усилия только в двух стержнях.

Примечание:

Вырезав узел, усилия направляют вдоль осей стержней от узла, считая стержни растянутыми. Если результат получится со знаком "-", то это значит, что стержень сжат.

Оценка способа. Его выгодно применять для расчета ферм простейшего очертания, с небольшим количеством узлов в том случае, когда нужно определить усилие во всех стержнях фермы.

Пример:

Решение:

1)Определяем реакции опор

2)Намечаем порядок последовательного вырезания узлов фермы, начиная с узла, где сходятся два стержня.

3)Каждый узел вычерчиваем отдельно, составляем и решаем уравнения статики.

∑Y = O1 sinα + A = 0; О1 = − sin2,5Рα

∑Х =U1 +O1соsα = 0; U1 = − 2tg,5αР

∑Y =V2 = 0; V2 = 0

∑Х = 0 = −U1 +U2 = 0; U1 +U2 = 2tg,5αP

И так далее .

35

Частные случаи способа узловых вырезов

Рассмотрим пять правил.

Правило 1.

Если в узле фермы сходятся два стержня (под любым углом) и никакой нагрузки к узлу не приложено, то оба стержня будут "нулевые".

Доказательство:

∑Y = −S2 cosα = 0 , но так как cosα≠0, то S2 =0,

∑Х = −S1 = 0.

Правило 2.

Если в двухстержневом узле по направлению одного из стержней действует сила Р, то усилие в этом стержне равно самой силе, но имеет противоположное направление, а второй стержень будет "нулевым".

Доказательство:

∑Y = −S2 cosα −Pcos = 0; S2 = −P

∑Х = −S1 −S2 sinα − P sinα = −S1 + P sinα − P sinα = 0; S1 = 0

Правило 3.

В узле сходятся три стержня, два из которых лежат на одной прямой, а третий примыкает к ним под любым углом. Если узловой нагрузки нет, то усилия в двух первых стержнях будут одинаковыми, как по величине, так и по знаку, а третий стержень будет "нулевым".

Доказательство:

∑Y = −S3 cosα = 0; S3 = 0

∑Х = −S1 +S2 = 0; S1 = S2

36

Правило 4.

Если в узле сходится три стержня, два из которых направлены по одной прямой, а по направлению третьего стержня действует сила Р, то усилие в третьем стержне будет равно самой нагрузке, но иметь противоположное направление, а в первых двух стержнях усилия будут одинаковые как по величине, так и по знаку.

Доказательство:

∑Y = ( −P − S3 )cosα = 0 S3 = −P

∑Х = −S1 +S2 sinα − Psinα − S3 sinα = 0; S1 = S2

Правило 5.

Если в узле сходятся четыре стержня, попарно лежащие на двух прямых, и никакой нагрузки в узле нет, то в стержнях, расположенных на одной прямой, усилия одинаковы.

Доказательство:

∑Y =( −S3 + S4 )cosα = 0 S3 = S4 , ∑X = 0, , и далее S1 = S2.

Лекция 8 Расчет ферм способом рассечения

Сущность способа состоит в следующем: ферму нужно рассечь на две части, при этом, как правило, рассечение должно идти не более, чем через три стержня.

Затем нужно мысленно отбросить одну из частей фермы (лучше ту, где больше нагрузок), а для оставшейся части составить одно из уравнений:

∑X = 0				способ проекций	∑	М = 0 способ моментной точки.
∑	Y	= 0

Каждое из этих уравнений должны содержать не более одной неизвестной. Это достигается либо удачным выбором направления координатных осей (для уравнений Х=0, У=0), либо удачным выбором так называемой моментной точки (точки Риттера).

В последнем случае точка Риттера выбирается как точка пересечения двух из рассеченных стержней (либо продолжения этих стержней). Из решения уравнений определяются усилия в исследуемом стержне.

37

Область применения способа

Достоинство способа рассечения заключается в том, что он позволяет определить усилие в отдельном стержне фермы. Нужда в этом может возникнуть в следующих случаях:

1)когда аналитическим путем проверяются результаты графического расчета фермы;

2)при построении линий влияния усилий в стержнях фермы;

3)при комбинированном расчете фермы одновременно несколькими способами.

Пример.

Рассмотрим определение усилий в стержнях фермы с параллельными поясами. Причем, будем сравнивать расчет этой фермы с расчетом простой балки.

Расстояние между двумя соседними узлами называют панелью d. Определим усилия O3, U3, D3.

Решение.

1)Для определения усилий O3, U3, D3 рассечем ферму через эти три стержня сечением I-I. Мысленно отбросим правую часть фермы (там больше нагрузок) и будем рассматривать условия равновесия левой части фермы.

2)Для определения усилия O3 используем уравнение моментов. Моментную точку выберем там, где пересекаются усилия D3 и U3. Составим уравнение моментов всех сил, расположенных левее сечения I-I относительно моментной точки O3:

Мт. р.O3 = МO3 = А·3d − P2·3d − P·2d − P·d +O3·h = 0;

14444444444244444444443

Мт. р.О3

Мт. р.O3 -балочный момент относительно О3.

38

Таким образом имеем:

Мт. р.O 3 + O3·h = 0;

Отсюда О3 = − Мтh.р.О3

Для определения U3 также составим уравнения моментов, для чего выберем точку Риттера U3

∑Мт. р.U3 = A·2d − P2·2d − P·d −U3·h = 0

144444442444444443

Мт. р.U3

Отсюда U3 = − Мт.р.U 3 h

Выводы:

1)Чтобы найти усилие в стержне верхнего или нижнего пояса фермы с параллельными поясами, нужно соответственно, балочный момент поделить на высоту фермы h.

2)При нагрузках, действующих сверху вниз, независимо от направления раскосов, нижний пояс всегда растянут, а верхний сжат.

3)Так как балочный момент Мт0 .р возрастает от опор к середине фермы, то стержни поясов будут испытывать тем большее усилие, чем дальше они от опор.

Для определения усилия D3 в раскосе фермы нужно для левой части фермы составить уравнение ∑Y = 0, т.к. для D3 моментная точка будет располагаться в бесконечности.

Из ∑Y = 0 имеем А− P − P − P − D3 sinα = 0

2

1442443

Q0I −I

QI0−I - балочная поперечная сила в сечении I-I.

QI0−I − D3 sinα = 0

Отсюда D3 = QI0−αI sin

Для определения усилия в стойке V3 проведем сечение II-II, снова через три стержня,

вкоторое попадет и V3. Отбросим правую часть, а для левой части составим уравнение

∑Y = 0, так как моментная точка для V3 располагается в бесконечности.

Из ∑Y = 0 имеем	А−	P	− P +V3 = 0
	2
	14243
	Q0II −II

QII0 −II - балочная поперечная сила в сечении II - II. Отсюда V3 = QII0 −II .

39

Выводы:

1)Усилия в раскосах ферм с параллельными поясами равны балочной поперечной силе, поделенной на sin угла между раскосом и поясом фермы.

2)Усилия в стойках этих ферм равны балочной поперечной силе, причем сечение в балке нужно проводить между теми же силами (узловыми нагрузками), между которыми проведено рассечение фермы.

3)Так как балочная поперечная сила у опор балки больше, чем в середине пролета, то раскосы и стойки у фермы с параллельными поясами испытывают большие усилия возле ее опор, уменьшаясь к середине пролета.

Как правило, при расчете ферм методом моментной точки или проекций, сечение необходимо проводить через три стержня. Однако существуют фермы, которые позволяют делать рассечение более чем через три стержня и получать уравнение с одним неизвестным.

Условие в этом случае таково: сколько бы стержней мы не рассекали, все стержни, кроме одного исследуемого, должны иметь одну общую точку пересечения, которая и принимается за моментную точку.

Пример 1.

Многораскосная ферма. Необходимо определить усилие в стержне О3.

Проводим сечение I-I через 5 стержней, но 4 из этих 5 стержней пересекаются в точке

О3.

Составляем уравнение , отсюда определяем усилие О3.

Пример 2.

Полураскосная ферма. Требуется определить усилия в стержняхО3 и U3.

40

Нужно провести сложное сечение I-I через четыре стержня и для определения О3 и U3 выбрать соответствующие моментные точки, в которых пересекаются по три направления стержней, кроме исследуемого.

Из уравнений

Мт. р.O3 - находим О3

Мт. р.U 3 - находим U3, так как каждое уравнение содержит одну неизвестную.

Лекция 9 Особенности расчета шпренгельных ферм

В принципе шпренгельные фермы рассчитываются так – заданную ферму нужно расчленить на две схемы:

а) на основную ферму;

б) на шпренгельные элементы, которые условно рассматриваются как треугольные фермы, опирающиеся на узлы основной фермы.

Заданная схема

Схема I

Удалить шпренгельные элементы. Всю нагрузку перенести в узлы основной фермы. Эту схему рассчитываем отдельно.

Схема II

Отдельно выделяем треугольные шпренгеля и загружаем их своей местной нагрузкой Р. Их также рассчитывают отдельно.

Каждая из двух схем рассчитывается отдельно любым из известных способов.