строймех часть1

51

Для определения опорных реакций мы можем составить три уравнения статики, а наличие ключевого шарнира С позволяет составить дополнительное уравнение:

∑Мсправ = 0 или ∑Мслев = 0

и определить все четыре опорные реакции.

3)Трехшарнирные системы могут быть симметричными и несимметричными

4)Опорные шарниры А и В могут располагаться в одном уровне (рис.3) и могут располагаться в разных уровнях (рис.4) – такие системы называются ползучими арками или рамами.

5) В практике часто встречаются системы, у которых распор воспринимается затяжкой:

арка с затяжкой

арка с повышенной затяжкой

7) Если каждая полуарка выполнена в виде фермы, то такая система называется сквозной аркой или трехшарнирной фермой.

52

Сплошные трехшарнирные арки. Определение опорных реакций

При действии на арку внешней нагрузки в каждой ее опоре возникают по две реакции: горизонтальная и вертикальная.

Для определения всех опорных реакций мы можем записать для плоской системы три уравнения статики и для трехшарнирной арки можно составить четвертое уравнение, приравняв к нулю сумму моментов правых либо левых сил относительно шарнира С.

Следовательно реакции определяются:

1)	∑МА = 0;				−VB l + P2 a2 + P1 a1 = 0;
	V	=		P2 a2 + P1 a1
	B				l
2)	∑Мв = 0;
			VA l −P1(l −a )−P2(l −a2 ) = 0;
	VA =		P(l − a ) + P (l − a					2	)
			1		1	2
						l

Глядя на полученные выше уравнения, можно сделать вывод, что вертикальные составляющие опорных реакций трехшарнирных систем равны балочным.

3)

∑Мспр = 0; − RB

l

+ HB f + P2

( a2

−

l

) = 0;

2

2

R

l

− P ( a

−

l

)

HB =

B

2

2

2

2

f

∑Х = 0;

4)

HA − HB = 0;

HA = HB

Если на трехшарнирную арку действует только вертикальная нагрузка, то распоры равны между собой

HA = HB = H

Чем больше стрела подъема арки, тем меньше распор.

53

Особенности определения опорных реакций в ползучих арках

Для ползучих арок в уравнение МА=0 войдут неизвестные VB и HB , что потребует совместного решения системы уравнений

∑МА = 0
	с
∑
	Мпр = 0

Этого можно избежать, если полные реакции опор RA и RB разложить не на вертикальные составляющие VA, VB и горизонтальные HA, HB , а на вертикальные составляющие VA, VB и составляющие HA и HB, направленные по прямой соединяющей опорные шарниры (см. рис.2).

2)

Тогда:

VA =VA′ + H A sinα							HA = HA′ сosα
V	B	=V	′	− H	B	sinα	H	B	= H	′ сosα
			B							B

Лекция 13 Определение внутренних усилий в сечениях трехшарнирной арки

Внутренними усилиями, возникающими в поперечных стержнях арки, являются изгибающие моменты М, поперечные силы Q и продольные силы N.

54

Правило знаков

Изгибающие моменты в сечениях арок

Определим М в сечении I-I

М	Х	=V	x − P( x −a )− H·y = M 0		− H y ;
		A	1 1	X
		1442443

M 0X

MX0 - момент в сечении простой балки, расположенном под сечением арки, причем балка имеет тот же пролет и ту же нагрузку, что и арка.

Тогда изгибающий момент в любом сечении балки определяется
МХ = MX0 −Н у	(1)

Из выражения (1) следует, что моменты в сечениях арки меньше моментов в соответствующих сечениях балки, следовательно, арка экономичнее балки и аркой можно перекрыть пролет гораздо больше, чем балкой.

Для определенного вида нагрузки можно подобрать такое очертание оси арки, что изгибающий момент М в любом сечении арки будет равен нулю. Такие арки называются арками с рациональным очертанием оси.

55

Уравнение оси арки рационального очертания.

МХ = MX0 − Н у = 0
у =	М0
	Х
	Н

Пример.

Пусть трехшарнирная арка загружена равномерно распределенной нагрузкой по всему пролету.

M X0 = ql2 x − qx22 = q2 (lx − x2 )= q2 x(l − x)

∑Mcпр = 0;

− ql

l

+q

l

l

+ H f = 0;

2

2

2

4

ql2

ql2

−

= ql2

H =

4

8

;

f

8 f

Тогда y = 2q q8 lf2 x(l − x)= 4l2f x(l − x) – уравнение квадратной параболы.

Поперечные и продольные силы в сечениях арок

Определим поперечную и продольную силу в сечении I-I арки.

56

Поперечная сила Q в сечении арки равна сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, на нормаль к касательной, проведенной к оси арки в рассматриваемом сечении.

QX	=VA cosϕ− P1	cosϕ− H sinϕ = (VA − P1 ) cosϕ− H sinϕ
		14243
			Q0X
QX0 - балочная поперечная сила. Тогда можно записать
					(2)
			QX = QX0 cosϕ− H sinϕ

Поперечная сила в арке меньше поперечной силы в сечениях простой балки.

Продольная сила N в сечении арки равна сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, на касательную к оси арки, проведенную в данном сечении.

NX	= −VA sinϕ+ P1 sinϕ− H cosϕ = −(VA − P1			)sinϕ− H cosϕ
			14243
			Q0X
				3)
		NX = −QX0 sinϕ− H cosϕ

Выводы:

1) преимуществом арки перед балкой является уменьшение величин M и Q в сечениях

арки;

2) недостатками арки являются:

а) появление значительных продольных сил в сечениях;

57

б) необходимость восприятия распора, что требует устройства более могучих

опор.

Построение эпюр M, Q, N в арках

Для построения эпюр пролет арки разбивается на несколько равных частей (10-15) и в каждом сечении, в соответствии с выражениями (1), (2), (3) определяют значения Mx, Qy, Nz и по этим значениям строят эпюры.

Расчет обычно сводят в таблицу.

- H·y

-

sinφ-

0 x

φcos

0

=M

cosφ

0

sinφ

-=Q -

сеч

0 x

0 y

=Q

Х

Y

sinφ

cosφ

H·y

x

0

H sinφ

y

0

Hcosφ

z

Hcosφ

№

M

Q

M

Q

Q

Hsin- φ

Q

N

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

у= f(x); tgϕ = y′ = f ( x ) ϕ sinϕ,cosϕ

Эпюры Q и N криволинейны, т.к. в формулы (2) и (3) входят sinφ и cosφ.

На эпюре Q в точке приложения сосредоточенной силы должен быть скачок на величину Pcosφ, а на эпюре N - на Psinφ.

Расчет трехшарнирных арок с затяжками

58

В таких арках распор воспринимается затяжкой. Опорные реакции определяются:

1)∑M A = 0 VB

2)∑MB = 0 VA

Для определения усилия в затяжке, проводят сечение через затяжку и шарнир С и составляют одно из уравнений:

∑Mcлев = 0 или ∑Mcправ = 0

откуда определяют Hз.

Усилия в сечениях арки с затяжкой определяются по формулам (1) - (3), только вместо распора Н принимают Нз.

МХ = MX0 − НЗ у

QX = QX0 cosϕ− HЗ sinϕ NX = −QX0 sinϕ− HЗ cosϕ

Арка с повышенной затяжкой

Опорные реакции:

∑МА = 0 VB

∑МВ = 0 VA

∑Мслев = 0 или ∑Мсправ = 0 HЗ

Усилия M, Q, N:

1) на участках АД и FB

МХ = MX0

QX = QX0 cosϕ NX = −QX0 sinϕ

59

2) на участке ДCF

МХ = MX0 − НЗ у′

QX = QX0 cosϕ− HЗ sinϕ NX = −QX0 sinϕ− HЗ cosϕ

здесь у′ = у− уЗ .

Лекция 14 Линии влияния усилий в трехшарнирных арках

	Рассмотрим трехшарнирную арку, ось которой очерчена по кривой y =	4 f	x(l − x ).
		l2

Так как вертикальные составляющие опорных реакций арок определяются как балочные опорные реакции

V	A	=	MB	V	=	M A	,
			l	B		l

то и их линии влияния аналогичны линиям влияния опорных реакций балок. Чтобы построить линию влияния распора Н, рассмотрим два положения груза Р=1:

1)	Р=1 левее шарнира С
	∑Мсправ = 0;	−VАl1 + Hf = 0;	H =		l1		VА
					f
2)	Р=1 правее шарнира С
	∑Мслев = 0;	−VBl2 + Hf = 0 ;	H =		l2		Vе
					f

Изгибающий момент в сечении арки:

МХ= МХ0 −Hy

Мn = Mn0 − Hyn , т.е. линии влияния Mn могут быть получены как разность линий

влияния Mn0 и Hyn .

Поперечная сила в сечении арки:

QX = QX0 cosϕ− H sinϕ

Qп = Qп0 cosϕ−H sinϕ, т.е. линии влияния Qn0 можно получить как разность линий влияния Qn0 cosϕ и H sinϕ.

Продольная сила в сечении арки:

NX = −QX0 sinϕ− H cosϕ

Nп = −Qп0 sinϕ− H cosϕ, следовательно линии влияния Nп могут быть получены как алгебраическая сумма линий влияния −Qп0 sinϕ и − H cosϕ

60