строймех часть1
.pdf
71
Здесь: Mp, Np, Qp - внутренние усилия в стержнях системы от действия внешних
нагрузок (первое состояние); М, Q, N - от действия силы Р=1 (второе состояние).
Порядок определения перемещений с помощью интеграла Мора
1)Записывают аналитические выражения усилий Mp, Np, Qp от заданной внешней
нагрузки.
2)По направлению искомого перемещения прикладывают единичную силу Р=1 или единичный момент М=1 (если определяется угол поворота сечения). Записывают выражения
усилий М, Q, N от единичной силы.
3) Полученные аналитические выражения усилий Mp, Np, Qp и М, Q, N подставляют
в правую часть формулы (8) и интегрированием по участкам в пределах всего сооружения, определяют искомое перемещение.
Примечания: В частных случаях формула Мора принимает более простой вид. Так, при расчете ферм, в стержнях которых возникают только продольные усилия, формула имеет вид:
КР = ∑∫NP Ndx = ∑NP Nl , l EF EF
при расчете балок и рам, где влияние на перемещения продольных и поперечных сил незначительно, формула (8) принимает вид:
КР = ∑∫MPMdx . |
|
l |
EI |
Пример.
Определить вертикальное перемещение сечения В рамы от заданной нагрузки:
1) |
2) |
|
|
qx |
2 |
|
|
|
на ригеле, участок 1 |
Мр = − |
М = −X , |
||||
2 |
, |
|||||
|
|
|
|
|
||
|
Мр = − |
ql2 |
|
|
||
на стойке, участок 2 |
М = −l . |
|||||
2 |
, |
|||||
|
|
|
|
|
||
72
Тогда искомое перемещение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MP |
|
dx |
l |
|
qx2 |
dx |
h |
|
ql2 |
|
dx |
|
q |
l |
|
ql3 |
h |
|||||
|
|
|
|
|
верт |
|
M |
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
в = ∑∫ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
= |
|
∫x dx + |
|
∫dx = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
EI |
|
|
= ∫ |
2 |
(− x) |
2EI |
+∫ |
2 |
(−l) |
EI |
4EI |
2EI |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
||||||||
= |
|
qx4 |
|
l |
+ |
ql3x |
|
h |
= |
|
ql4 |
|
+ |
ql3h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
16EI |
|
0 |
2EI |
|
0 |
16EI |
|
2EI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Лекция 18 Вычисление интеграла Мора путем перемножения эпюр (правило
Верещагина, формула Симпсона)
Определение перемещений в системах, состоящих из прямолинейных элементов постоянной жесткости, можно значительно упростить путем применения специальных приемов вычисления интегралов типа
l |
|
КР = ∑∫MPMdx . |
|
0 |
EI |
Предположим, что для какого-то элемента системы с постоянной жесткостью
построены эпюры Mp и М, причем одна из них, например М, прямолинейна. Вычислим:
∫b |
MP |
|
dx |
|
1 |
∫b MP |
|
|
|
M |
= |
||||||||
Mdx |
|||||||||
|
|
EI |
|||||||
a |
EI |
|
a |
||||||
Из приведенного ниже рисунка следует, что M = Хtgα, тогда:
b |
b |
b |
∫MPMdx = ∫MP Xtgαdx = tgα∫XMPdx .
a |
a |
a |
Вычислим:
∫b |
MP |
|
dx |
|
1 |
∫b MP |
|
|
|
M |
= |
||||||||
Mdx |
|||||||||
|
|
EI |
|||||||
a |
EI |
|
a |
||||||
Из рисунка следует, что M = Хtgα,
73
тогда
b |
b |
b |
∫MPMdx = ∫MP Xtgαdx = tgα∫XMPdx .
a |
a |
a |
Из рисунка Мрdx = dω, а интеграл ∫b Xdω представляет собой статический момент
a
площади эпюры Мр относительно оси Y. Этот статический момент можно выразить иначе:
b
∫Xdω = ωX0 .
a
где X0 - расстояние от центра тяжести эпюры Мр до оси Y. Тогда
b
∫MPMdx = ωX0tgα ,
a
но так как X0tgα = y0 (см. рисунок), то
b
∫MPMdx = ωy0
a
или |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
= |
(9) |
|
|
|
|||
∫MPMdx |
ωy0 |
||||
a |
EI |
|
EI |
||
Таким образом, результат перемножения двух эпюр равен произведению площади одной из них на ординату y0 другой (прямолинейной) эпюры, взятую под центром тяжести площади первой эпюры.
Эскиз эпюры и расстояния до центра тяжести |
Площадь эпюры |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1h |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1h |
= |
ql3 |
|
3 |
12 |
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
74
Порядок определения перемещений с использованием правила Верещагина.
1)Строится грузовая эпюра Мр, от действия заданных внешних нагрузок.
2)По направлению искомого перемещения прикладывается единичная сила Р=1 или единичный момент М=1 и строится единичная эпюра.
3)Перемножая эпюры по правилу Верещагина, определяют искомое перемещение. Эпюры перемножают по участкам, результат перемножения берут со знаком "+", если эпюры расположены по одну сторону элемента и со знаком минус "–", если по разные.
Пример. Перемножить по правилу Верещагина показанные на рисунке две эпюры.
ωy0 |
= |
1 |
−a l |
1 c − |
1 |
(b −a) l |
2 c + ql3 1 c |
|
|
2 |
|||||||
EI |
|
EI |
2 |
|
3 |
12 2 |
||
В некоторых случаях интеграл Мора удобно вычислять с помощью формулы Симпсона-Корноухова. Эта формула применима, если сумма порядков линий эпюр подинтегральных функций не превышает трех (кубической параболы).
Стержневую систему разбивают на отдельные участки, элементов с постоянной жесткостью, и на этих участках интеграл Мора вычисляют по формуле:
|
|
|
|
|
|
(10) |
∫MPEIMdx |
= |
li |
(a c +4 fe +bd) |
|||
6EI |
|
|||||
li |
|
|
|
|
||
Здесь: f,e - ординаты эпюр Мр и М посредине длины участка.
УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
Часть 1
Составители: д.т.н., проф. Мущанов Владимир Филиппович к.т.н., доц. Жук Николай Романович к.т.н., доц. Пчельников Сергей Борисович к.т.н., доц. Денисов Евгений Валерьевич