строймех часть1

61

Лекция 15 Трехшарнирные арочные фермы

Трехшарнирная система, у которой каждая полуарка выполнена в виде фермы, называется трехшарнирной арочной фермой или сквозной аркой.

62

Порядок расчета арочных ферм

Рассмотрим на примере.

1.	Определяют опорные реакции, как для обычных трехшарнирных систем
	∑M A = 0 =VB ;		∑MB = 0; VB
	∑Mслев = 0	или	∑Мспр		= 0 H
2.	Определяют усилия в стержнях
	M лев = 0;	О h +V a − Pa − Hy						= 0
	∑ 2	2 2	14243			{
			A	1	2		2
				I		II

I - усилие в стержне балочной фермы II - усилие в стержне от распора

O	= −VAa2 + P1a2		+ Hy2
2		h2	h2

V a		− Pa	−	Hy	2
= −	A 2	1 2		h
		h
				2
14243 {
		I		II

Вывод: усилия в стержнях трехшарнирных арочных ферм меньше усилий в стержнях балочных ферм.

Если ферму необходимо рассчитать на подвижную нагрузку, строят линии влияния усилий в стержнях:

1) Р=1 левее узла 1:

∑Mспр = 0;

−S12h3 −VB(l −aЗ )+ Hy3 = 0;

63

S

= −

l −a

V

+

y

3

H = −

M

0

+

y

H

h

3

З

3

h

h

h

12

B

3

3

3

3

2) Р=1 правее узла 2:

∑Mзлев

= 0;

S12h3 +VAa3 − Hy3 = 0;

S

= −

a

V

+

y

3

H

= −

M 0

+

y

H;

3

A

з

3

h

h

12

h

h

3

3

3

3

64

Статически определимые комбинированные системы

Комбинированные статически определимые системы состоят обычно из двух какихлибо жестких дисков (балочных ферм, сплошных балок, полуарок), связанных между собой промежуточным шарниром и гибкой части в виде шарнирно-стержневой системы.

Висячие системы

Висячей называется такая система, у которой основная несущая конструкция, перекрывающая пролет, работает на растяжение. Простейшим видом висячей системы является нить (трос), перекинутая через перекрываемое пространство и несущая подвешенные к ней элементы конструкции, воспринимающие местные нагрузки.

В отличии от арочных, распор в висячих системах направлен наружу.

Опорные реакции висячей системы:

∑ M A = 0;	−(VB′ +VB′′) l+ P1a1 + P2a2 + P3a3 = 0;
	′	″				M A
	VB	+VB	=						;
						l
∑MB = 0;	VA′+VA′′=			MB				;
					l

65

∑Х = 0;

- HA + HB = 0;

HA = HB = H

∑Mcлев = 0;

- Н(f +h)+ H h+(VA′ +VA′′)

l

− P1(

l

−a1 ) = 0;

2

123

2

V A

0

V

l

− P(

l

−a )

2

H =

MC

=

A

1 2

1

;

f

f

RA =

H

VA′ = RA sinα = H tgα ,

;

cosα

аналогично

VB′ = H tgβ;

если α =β, то VA′

=VB′, тогда

VA′′ =(VA′ +VA′′)−VA′ =(VA′ +VA′′)− H tgα

VB′′= (V ′B+VB′′) − H tgβ

Усилия в элементах гибкой нити определяют из условия, что проекция усилия в любом элементе нити на горизонтальную ось равна Н.

S	K	=	H	;	S	k+1	=	H	;
								cosϕk+1
			cosϕk
∑Y = 0;					−Vk + Sk sinϕk −Sk+1 sinϕk+1 = 0;

Vk = Sk sinϕk −Sk+1 sinϕk+1 или Vk = H(tgϕk −tgϕk +1 )

Момент в любом сечении жесткой балки

M I = M I0 − H fI

Лекция 16 Теория перемещений. Основные понятия и теоремы

Теория перемещений является одним из важных разделов строительной механики. Перемещения определяют для проверки жесткости и устойчивости сооружений, при расчете любых статически неопределимых систем.

Под перемещением какой-либо точки сооружения понимается изменение ее координат в результате деформации элементов сооружения.

Рассматривать будем линейно деформируемые системы, подчиняющиеся закону Гука:

= k P ,

где k - коэффициент пропорциональности.

66

И принципу наложения, согласно которому результат действия системы сил равен сумме результатов действия отдельных сил:

	кр = Р1δк,1 + Р2δк,2 + ...+ Рпδк,п ,
где	кр - перемещение системы; первый индекс показывает точку и направление

перемещения, а второй – причину, вызвавшую перемещение;

δк,п - перемещение в направлении k от действия силы Рn=1.

Встроительной механике используются понятия обобщенной силы и обобщенного перемещения.

Под обобщенной силой понимается любая сила или группа сил (например пара сил, равномерно распределенная нагрузка и т.п.).

Обобщенное перемещение - это перемещение, соответствующее обобщенной силе, которое при умножении на обобщенную силу дает работу, т.е. это множитель при обобщенной силе в выражении работы:

А= Р 1 ,

здесь 1 – обобщенное перемещение для двух сил Р.

Действительная и возможная (виртуальная) работа внешних сил

При статическом приложении силы Р, т.е. при постепенном возрастании силы от нуля до своего конечного значения, зависимость между перемещением и значением силы Р выражается диаграммой

Работу силы Р на перемещении определяет площадь треугольника ОАА1 :

А = 12 Р ,

т.е. при действии на упругую систему статической силы действительная работа этой силы равна половине произведения конечного значения этой силы на конечное перемещение.

Действительная работа системы сил при статическом их действии:

А =	1	n	Р		(1)
	2	∑i=1
			i	i

67

При статическом действии момента или распределенной нагрузки:

А =	1	М ϕ,	А =	1 ∫q y( x )dx .
	2			2 l

Под возможными перемещениями будем понимать такие малые перемещения точек сооружения, которые допускаются имеющимися связями и не зависят от рассматриваемой системы сил.

Здесь Р,Р

Р,К

-действительное перемещение;

-возможное перемещение.

Под возможной (виртуальной) работой внешних сил понимается работа сил на перемещениях, вызванных другими силами или воздействиями. При этом данные силы остаются неизменными и их работа:

А= Р 1

без коэффициента 12 .

Теоремы о взаимности работ и взаимности перемещений

Рассмотрим два случая последовательного загружения упругой системы силами Р1 и Р2 , изменяя очередность загружения этими силами. Запишем работу сил 1-го и 2-го состояний.

1.

А =	1	Р	+ Р	+	1	Р
1	2	1 1,1	1 1,2		2	2 2,2

2.

А2 = 12 Р1 1,1 + 12 Р2 2,2 + Р2 2,1

Т.к. для обоих случаев начальное и конечное состояния одинаковы, следовательно, в обоих вариантах загружения произведена одна и та же работа. Приравняв их, получим:

Р1 1,2	= Р2 2,1	(2)
или
А1,2	= А2,1	(3)

68

Для двух состояний упругой системы виртуальная работа сил 1-го состояния на перемещениях, вызванных силами второго состояния, равна виртуальной работе сил 2-го состояния на перемещениях, вызванных силами 1-го состояния. (Теорема Бетти).

Рассмотрим частный случай этой теоремы, когда упругая система загружается единичными силами.

1.	Применяя теорему о взаимности работ
	получим
	Р1δ1,2 = Р2δ2,1 .
	Учитывая, что Р1 = Р2 =1
2.	δ1,2 = δ2,1 .

Для двух единичных состояний упругой системы перемещение по направлению 1-ой единичной силы, вызванное действием 2-ой единичной силы, равно перемещению по направлению 2-ой единичной силы, вызванное действием первой. (Теорема Максвелла).

Потенциальная энергия упругой системы

Работа внешних сил на вызванных ими перемещениях может быть выражена через внутренние усилия, возникающие в поперечных сечениях стержневой системы. В общем случае в элементе dx возникают усилия:

Усилия N, M, Q являются внутренними усилиями по отношению к стержню. Однако, для выделенного элемента они являются внешними силами, а потому работу А можно получить как сумму работ, совершенных статически возрастающими усилиями N, M, Q на соответствующих деформациях. Рассмотрим отдельно влияние каждого из этих усилий на элемент dx.

69

Элемент dx, находящийся под действием только продольных сил

dAN = 12 N dx , dx = NEFdx ,

= N2 dx dAN 2EF .

Элемент dx, находящийся под действием только изгибающих моментов dAМ = 12 Mdϕ,

dϕ = MdxEI ,

= M 2dx dAM 2EF .

Элемент dx, находящийся под действием только поперечных сил dAQ = 12 Q y ,

y = γdx = Gτ dx .

Предположим, что касательные напряжения равномерно распределены по всей площади сечения, т.е. τ = QF .

Тогда:

y = QdxGF ,

= 1 Q2dx dAQ 2 GF .

В действительности касательные напряжения распределены по площади поперечного сечения неравномерно, что учитывается введением поправочного коэффициента η:

= 1 Q2dx η dAQ 2 GF

70

Полная работа внешних сил, выраженная через внутренние усилия:

l	2	l	2	l	2
А = ∑∫0	M2EIdx	+∑∫0	N dx	+∑η∫0	Q2GFdx	(5)
			2EF

На основании закона сохранения энергии работа А внешних сил переходит в потенциальную энергию U деформации, т.е.

l

2

l

2

l

2

(6)

U = ∑∫0

M2EIdx

+ ∑∫0

N dx

+

∑η∫0

Q2GFdx

2EF

Возможная работа внешних сил, выраженная через внутренние усилия M1, N1, Q1, на

перемещениях

M2dx

,

N2dx

и

Q2dx

EI

EF

GF

l

l

N1N2dx

l

(7)

А1,2 = ∑∫M1M2dx

+∑∫

+∑η∫Q1Q2dx

EF

0

EI

0

0

GF

Лекция 17 Интеграл Мора для определения перемещений

Пусть требуется определить вертикальное перемещение точки К при действии на сооружение заданной нагрузки. Рассмотрим два состояния системы: под действием заданной нагрузки – состояние 1; и по направлению искомого перемещения приложим силу Р=1 – состояние 2.

1)

2)

Работа А21 сил второго состояния Р2 = 1 на перемещениях, вызванных силами первого состояния 21 :

А21 = Р2 21 учитывая, что Р2=1,

21 = А21

Выразим А21 через внутренние усилия в стержнях системы

l

l

l

(8)

NP Ndx

21 = А21 = ∑∫MPMdx

+∑∫

+∑η∫QPQdx

EF

0

EI

0

0

GF