9.2. Центр ваги твердого тіла

Розглянемо тверде тіло, яке знаходиться в полі сил тяжіння. Якщо розмірами тіла можна знехтувати порівняно з розмірами Землі, то можна вважати, що на частки цього тіла діють сили ваги , які складають систему паралельних сил (рис. 9.3).

Рис. 9.3

Центром ваги твердого тіла називається центр паралельних сил ваги. Для центра ваги тіла формули (9.9) набудуть вигляду: , ,, (9.10)

де - сила ваги (тіла); - координати точки прикладання сили вагиокремої частини тіла.

9.2.1. Центр ваги однорідного твердого тіла

Якщо тіло однорідне, то вага кожної частки тіла пропорційна його об’єму:

, (9.11)

де - об’єм елементарної частки тіла;- вага одиниці об’єму тіла.

Підставивши (9.11)у(9.10), отримаємо:

аналогічно (9.12)

де V = - об’єм тіла.

Із формул (9.12) видно, що положення центра ваги однорідного тіла залежить тільки від геометричної форми і розмірів тіла. Тому точку С, яка визначається за формулами (9.12), називають центом ваги об’єму тіла.

9.2.2. Центр ваги однорідної пластини

z y x Рис. 9.4

Пластиною називають плоске тіло, один розмір якого (товщина) набагато менше двох інших (довжини і ширини): , (9.13) де - площа елементарної частки пластини;- вага одиниці площі.

Підставивши (9.13) у (9.10) і вважаючи, що координатна площина хОу збігається з площиною пластини, отримаємо:

аналогічно (9.14)

де - площа пластини.

Точку С, координати якої визначаються за формулами (9.14), називають центром ваги площі.

Вирази у чисельниках формулах (9.14) називають відповідно статичними моментами площі івідносно осейх і у:

(9.15)

9 Lk.2.3. Центр ваги однорідного стержня

z Pk zk yk xk y x Рис. 9.5

Стержнем називають тіло, один розмір якого (довжина) набагато більше двох інших. У цьому випадку вага елементарної частки тіла пропорційна її довжині (рис. 9.5): , (9.16)

де - довжина елементарної частки стержня;- вага одиниці довжини.

Підставивши (9.16) у (9.10), отримаємо:

аналогічно (9.17)

де L = - довжина стержня.

Точку С, координати якої визначаються за формулами (9.17), називають центром ваги лінії.

9.3. Способи визначення координат центра ваги

1. Спосіб симетрії. Якщо однорідне тіло має площину, вісь або центр симетрії, то його центр ваги знаходиться відповідно в площині, на осі або в центрі симетрії.

z О у х Рис. 9.6

Доведемо це твердження для тіла, що має площину симетрії (рис. 9.6). Розташуємо координатну площину хОу у площині симетрії (на рис. 9.6 ця площина заштрихована). Візьмемо в тілі дві точки і, які розташовані симетрично відносно площинихОу. У

цих точок збігаються координати , а координатирозрізняються тільки знаком. Виділимо навколо точок,рівні елементарні об’єми. Підсумуємо додатки:

.

Розглянувши всі елементарні об’єми, отримаємо:

= 0

і обчислимо координату центра ваги тіла за формулою (9.12):

.

Це означає, що центр ваги розглядуваного тіла знаходиться у площині симетрії.

Аналогічно можна довести твердження для тіла, що має вісь або центр симетрії.

Приклади. Розглянемо декілька прикладів.

а) прямолінійний стержень Рис. 9.7	Центр симетрії такого стержня є точка у середині стержня. Отже, центр ваги прямолінійного стержня – точка С – знаходиться у середині стержня (рис. 9.7).
б) прямокутник Рис. 9.8	Центром симетрії прямокутника є точка перетину його діагоналей. Тоді центр ваги прямокутника – точка С – також знаходиться у точці перетину діагоналей

(рис. 9.8). Як відомо, діагоналі в точці перетину діляться навпіл.

в) коло Рис. 9.9

Центром симетрії, а значить і центром ваги кола є його центр (рис. 9.9).