- •Міністерство освіти та науки України
- •Передмова
- •Вибір варіанту, рекомендації до виконання і вимоги до оформлення робіт
- •3. Статика Основні поняття
- •Основні типи в'язей. Реакції в'язей
- •Завдання с-1. Рівновага тіла під дією плоскої системи сил
- •Приклад с-1
- •Завдання с-2. Рівновага складеної конструкції під дією плоскої системи сил
- •Завдання с-3. Рівновага тіла під дією просторової системи сил
- •4. Кінематика Основні поняття
- •Завдання к-1. Кінематика точки
- •Приклад к-1
- •Завдання к-2. Кінематика простих рухів тіл
- •Завдання к-3. Дослідження плоского руху твердого тіла
- •Завдання к-4. Складний рух точки
- •5. Література
- •П р и м і т к и
Приклад к-1
Рух точки відбувається в площині і заданий параметричними рівняннями:
(1)
Визначити:
Рівняння траєкторії руху точки. Зобразити траєкторію на рисунку.
Положення точки на траєкторії в момент часу і.
Швидкість точки в момент часу .
Прискорення точки в момент часу .
Дотичне і нормальне прискорення точки в момент часу .
Радіус кривизни траєкторії точки в момент часу .
Усі знайдені величини зобразити на рисунку в масштабі.
Розв’язування.
Для визначення рівняння траєкторії точки виключимо параметр із рівнянь руху (1). Ураховуючи, що часвходить в аргумент тригонометричних функцій, скористаємося формулою:
, тобто (2)
З рівнянь руху знаходимо вирази відповідних функцій і підставляємо в рівність (2)
чи (3)
Рівняння параболи (3) є рівнянням траєкторії руху точки. Враховуючи , що
-1та -1, маємо обмеження для та :
-1та -2, тобто траєкторією руху точки є частина параболи. Побудуємо траєкторію точки на рисунку К1.а з масштабним коефіцієнтом.
Визначимо початкове положення точки і положення точки в момент часу на траєкторії. Для цього підставимо в рівняння (1) часі. Отримаємо:
(4)
(5)
Таким чином (1;-2) , а(1,77; -1,41). Покажемо ці точки на траєкторії (рис.К1.а).
Визначимо швидкість точки. Проекції швидкості в довільний момент часу дорівнюють:
(6)
В момент часу
Модуль швидкості для моменту :
.
Побудуємо вектор швидкості точкипо його складовим
, , деів масштабі(рис.К1.а).
Визначимо прискорення точки. Проекції прискорення в довільний момент часу дорівнюють:
(7)
У момент часу одержимо:
Модуль прискорення точки :
Вектор повного прискорення точкипобудуємо по його складових, деів масштабі(рис.К1.б).
Визначимо дотичне і нормальне прискорення точки в момент часу , використовуючи формули :
Побудуємо вектор повного прискорення точкипо проекціяхі(рис.К1.б). Для зображення векторів використовуємо той же масштаб, тобтоЗначення дотичного прискореннявиявилося додатнім, тому відкладаємо його по осі М(дотичної до траєкторії) у напрямку вектора швидкості. Вектор нормального прискореннянаправимо перпендикулярно до осі Мпо нормалі М(вбік увігнутості траєкторії).
Збіг векторів повного прискорення при вирішенні задачі в нерухомій системі координат Оxy і рухомій системі координат Мговорить про правильність результату.
6. Радіус кривизни траєкторії в точці визначимо по формулі:
В
Рівняння
траєкторії
Положення
точок
(1;-2)
;(1,77;
-1,41). Швидкість
точки при
Прискорення
точки при
Дотичне
та нормальне прискорення
і. Радіус
кривизни траєкторії при
Завдання к-2. Кінематика простих рухів тіл
Умова завдання. Механізм складається зі ступінчастих коліс 1-3, зубчастої рейки 4 і вантажу 5 (рис.К2.0 – К2.9, табл.К2). Колеса пов'язані між собою зубчастою або пасовою передачею; рейка знаходиться у зубчастім зачепленні з одним із коліс; а вантаж прикріплений до нитки, яка намотана на колесо. При русі механізму відносне ковзання його елементів не відбувається, а пас і нитка вважаються нерозтяжними.
Радіуси зовнішніх та внутрішніх ободів (ступіней) коліс дорівнюють відповідно: у колеса 1 - і; у колеса 2 -і; у колеса 3 -і. На ободах коліс розташовані точкиі.
У стовпці «Дано» табл.К2 зазначений закон руху ведучої ланки механізму. Додатний напрямок для кута - проти руху годинникової стрілки; для відстані- униз ;- виражено врад, - усм, час - усек.
Визначити. В момент часу визначити указані в стовпцях «Знайти» швидкості та прискорення відповідних тіл і точок тіл. Знайдені величини показати на рисунку.
Табл.К2
Номер рядка даних |
Дано |
Знайти | |
Швидкості |
Прискорення | ||
0 |
| ||
1 |
| ||
2 |
| ||
3 |
| ||
4 |
| ||
5 |
| ||
6 |
| ||
7 |
| ||
8 |
| ||
9 |
|
Теоретичне обґрунтування : [4] §.48-51, [5] Разд.II, гл. 2,§ 1-3, [6] Разд.2, гл. X ,§ 78-84; [7]; [8].
Методичні вказівки. Задача К-2 – на дослідження простих видів руху твердого тіла (поступального й обертального).
Варто розрізняти кінематичні характеристики твердих тіл і кінематичні характеристики окремих точок цих тіл.
При поступальному русі тіла
Кінематичні характеристики тіла – лінійна швидкість тіла і лінійне прискорення тіла. Кінематичні характеристики точки тіла - швидкість точки і прискорення точки.
Закон руху тіла задається рівнянням руху однієї з його точок . Швидкість тіла -. Прискорення тіла -.
Кінематичні характеристики тіла й окремих точок тіла збігаються.
При обертальному русі тіла навколо нерухомої осі
Кінематичні характеристики тіла – кутова швидкість тіла і кутове прискорення тіла. Кінематичні характеристики точки тіла – лінійна швидкість точки і лінійне прискорення точки.
Закон обертального руху тіла задається залежністю кута повороту від часу: . Кутова швидкість -. Якщо алгебраїчне значення,то напрямізбігається; якщо, то вони спрямовані протилежно. Кутове прискорення -. Якщоімають однакові знаки , то рух прискорений, якщо різні – сповільнений.
Швидкість довільної точки тіла, якщо тіло обертається навколо нерухомої осі, визначається за формулою, де- відстань від точкидо осі обертання. Векторшвидкості точкилежить у площині, перпендикулярній осі обертання і спрямований по дотичній до траєкторії руху точки, тобто, за напрямком кутової швидкості.
Вектор прискорення довільної точкитіла, якщо тіло обертається навколо нерухомої осі, дорівнює геометричній сумі обертального(дотичного) і доцентрового(нормального) прискорень, тобто, деі. Вектор, збігається за напрямком зі швидкістю, якщо рух прискорений, або спрямований протилежно, якщо рух сповільнений. Векторлежить у площині, перпендикулярній осі обертання і завжди спрямований до осі обертання.
Модуль прискорення точки визначається за формулою .
Приклад К-2
Механізм складається зі ступінчастих коліс 1-3, зубчастої рейки 4 і вантажу 5 (рис.К2.а). Колеса 1 і 2 пов'язані між собою пасовою передачею; колеса 2 і 3 – зубчастою передачею; рейка 4 знаходиться в зубчастім зачепленні із колесом 1; а вантаж 5 прикріплений до нитки, яка намотана на колесо 3. Пас і нитка нерозтяжні. При русі механізму відносне ковзання елементів не відбувається.
Радіуси зовнішніх та внутрішніх ободів (ступіней) коліс дорівнюють відповідно: у колеса 1 - і; у колеса 2 -і; у колеса 3 -і.
Рейка рухається за законом. Вісьспрямована вертикально вниз. Точканалежить зовнішньому ободу колеса 3.
Визначити швидкості та прискорення всіх тіл і точки в момент часу. Усі знайдені величини зобразити на рисунку.
Розв’язування.
Механізм (рис.К2.а) є механічною системою з одним ступенем вільності. Тобто рух кожного з елементів пов’язаний з рухом інших елементів жорсткими кінематичними співвідношеннями. Тому, якщо рух одного з тіл задається, кінематичні характеристики інших тіл і їх точок фактично є визначеними. В умові даної задачі задається рух рейки 4.
Визначимо швидкості тіл механізму.
Знаючи закон поступального руху рейки 4, знайдемо її швидкість
. При .
Знак « - » указує на те, що в даний момент часу вектор швидкості спрямований протилежно додатному напрямку осі, тобто вгору (рис.К2.б).
Рейка 4 контактує без ковзання з внутрішнім ободом колеса 1. Враховуючи це, отримаємо рівняння зв’язку рухів тіл 1 і 4:
. При одержимо.
Напрямок кутової швидкості залежить від напрямку швидкості рейки. У даному випадкуспрямована проти руху годинникової стрілки.
Колеса 1 і 2 з'єднуються зворотною пасовою передачею по зовнішньому ободу колеса 1 (радіус ) і внутрішньомуободу колеса 2 (радіус ) .
Швидкість точок паса і швидкість точок коліс по зазначених радіусах однакова і дорівнює:
. Звідси маємо .
При зворотній (перехресної) пасовій передачі напрямок обертання коліс 1 і 2 протилежний. Тому кутова швидкість спрямована за рухом годинникової стрілки.
Колеса 2 і 3 зв'язані між собою зубчастим зачепленням по зовнішніх радіусах коліс. Тому спільна для обох коліс точка контакту має швидкість:
. Звідси маємо .
При зовнішнім зачепленні напрямок обертання коліс протилежний, тобто колесо 3 обертається проти руху годинникової стрілки.
Вантаж 5 зв'язаний з колесом 3 за допомогою нерозтяжної нитки, намотаної на внутрішній обід колеса. У цьому випадку спільною точкою зв’язку рухів тіл 5 і 3 є точка дотику колеса й нитки, яка має таку ж швидкість як вантаж, тобто:
. У момент часу маємо.
Напрямок руху вантажу визначається напрямком обертання колеса 3, тобто вантаж має швидкість , спрямовану вниз.
Визначимо швидкість точки колеса 3 в момент часу.
Точка належить колесу 3, яке обертається з кутовою швидкістюі розташована на відстанівід осі його обертання. Тому її швидкість :
. При одержимо.
Вектор спрямований по дотичній до обода вбік обертання колеса 3 (рис.К2.б).
Визначимо прискорення тіл.
Знаючи закон руху рейки, визначимо її прискорення:
і при .
Маємо> 0, тому векторспрямований у напрямку осі, тобто вниз (рис.К2.в).
Кутове прискорення колеса 1 залежить від дотичного прискорення точки з'єднання з рейкою, що збігається з прискоренням .
Таким чином маємо:
. При
Якщо вектор спрямований вниз, то напрямок- за рухом годинникової стрілки.
Точки з'єднання коліс 1 і 2 мають однакові дотичні прискорення. Тому справедливо: .
Тоді при .
Кутове прискорення спрямоване протилежно пришвидшенню, тобто проти руху годинникової стрілки.
За аналогією можна записати , тобто примаємо
. Напрямок прискорення протилежний, тобто за рухом годинникової стрілки.
Прискорення вантажу 5 :
Вектор спрямований вгору.
4. Визначення прискорення точки .
Точка належить колесу 3, яке обертається з кутовою швидкістюі з кутовим прискоренням. Відстань точкивід осі обертання -.
Модуль прискорення точки визначимо за формулою:
Дотичне прискорення точки :
Вектор прикладений у точціі спрямований по дотичній до обода колеса 3 у напрямку кутового прискорення.
Нормальне прискорення точки :
Вектор прикладений у точціі спрямований до осі обертання колеса 3.
Таким чином : .
Напрямок повного прискорення точки визначається векторною сумою векторіві(рис.К2.в).
Кінематичні
характеристики тіл 1-5 і точки
: Колесо
1 -
; Колесо
2 -
; Колесо
3 -
; Рейка
4 -
; Вантаж
5 -
; Точка
-
Напрямок
векторів швидкостей і прискорень –
рис.К2,б,в.
Відповідь.