Kon_lin_an3

Замечание 3.7.24. Если самосопряженный оператор A представлен в виде

A = A+ A ;

(см. пример 3.7.15), то f k(A+)gnk=1 являются неотрицательными собственными значениями оператора A, причем

(

k(A+) =

k(A); если k(A) > 0; 0; если k(A) 0:

В свою очередь, f k(A )gnk=1 являются модулями неположительных собственных значений оператора A, причем

k				(0;	если n k+1(A) 0:
	(A		) =	n k+1(A);	если n k+1(A) < 0;

Утверждение 3.7.25. Пусть самосопряженный оператор A 2 Bh(H) представлен в виде разности неотрицательных операторов B1 и B2 из

Bh(H):

A = B1 B2:

Тогда

k(A+) k(B1); k(A ) k(B2); k = 1; : : : ; n;

где f k(A+)g, f k(A )g, f k(B1)g и f k(B2)g собственные значения операторов A+, A , B1 и B2 соответственно, занумерованные в убывающем порядке с учетом кратности.

Доказательство. Для любого x 2 H имеем:

(B1x; x) = (Ax; x) + (B2x; x) (Ax; x):

В силу утверждения 3.7.23, k(B1) k(A), k = 1, . . . , n. Отсюда следует, что

k(B1) k(A+):

С другой стороны, B2 B1 = A, откуда

(B2x; x) = (B1x; x) + ( Ax; x) ( Ax; x):

Следовательно, в силу утверждения 3.7.23, k(B2) k( A), k = 1, . . . , n. Наконец, отсюда следует, что

k(B2) k(A ):

91

Глава 4

Унитарные операторы

4.1Унитарные операторы и изометрии

Определение 4.1.1. Оператор U 2 B(H) называется унитарным, если

UU = U U = I;

т.е. если U = U 1;

Определение 4.1.2. Оператор U 2 B(H) называется изометрическим или изометрией, если

U U = I:

Определение 4.1.3. Оператор U 2 B(H) называется коизометрическим или коизометрией, если

UU = I:

Утверждение 4.1.4. Следующие свойства оператора U 2 B(H) эквиваленты:

(i)Оператор U изометрический;

(ii)(Ux; Uy) = (x; y) для любых x; y 2 H;

(iii)kUxk = kxk для любого x 2 H.

Доказательство. (i) ) (ii).			Пусть оператор U изометрический, т.е.
U U = I	. Тогда для любых	x y		2	H
		,

(Ux; Uy) = (U Ux; y) = (x; y):

92

(ii) ) (iii). Для любого x 2 H имеем:

kUxk2 = (Ux; Ux) = (x; x) = kxk2;

т.е. kUxk = kxk.

(iii) ) (i). Для любого x 2 H имеем:

(x; x) = (Ux; Ux) = (U Ux; x):

В силу следствия 2.1.4, U U = I, т.е. оператор U изометрический.

Упражнение 4.1.5. Доказать, что оператор U 2 B(H) изометрический тогда и только тогда, когда оператор U коизометрический.

Вконечномерных гильбертовых пространствах классы изометрических

иунитарных операторов совпадают.

Утверждение 4.1.6. Для того, чтобы оператор U 2 B(H) был унитарным, необходимо и достаточно, чтобы он был изометрическим.

Доказательство. Очевидно, каждый унитарный оператор является изометрическим. Обратно, пусть оператор U 2 B(H) изометрический, т.е. U U = I. Тогда, в силу следствия I(L).2.3.4, оператор U обратим и U 1 = U . Поэтому

UU = UU 1 = I;

т.е. U унитарный оператор.

Заметим, что в свойства (i), (ii) и (iii) утверждения 4.1.4 можно принять за определение унитарного оператора.

Обозначим через U(H) множество всех унитарных оператора U в B(H). Легко видеть, что тождественный оператор I 2 U(H).

Утверждение 4.1.7. Для унитарных операторов справедливы утверждения.

(i)Если U, V 2 U(H), то UV 2 U(H);

(ii)Если U 2 U(H), то U 1 2 U(H).

Доказательство. (i). Пусть U, V 2 U(H). Тогда

(UV )(UV ) = UV V U = U(V V )U = UU = I;

т.е. UV 2 U(H).

(ii). Пусть U 2 U(H). Тогда оператор U обратим и

U 1(U 1) = U (U ) = U U = I;

т.е. U 1 2 U(H).

93

Утверждение 4.1.7 показывает, что множество всех унитарных операторов U(H) образует группу, которая называется унитарной группой или

группой унитарных операторов.

Упражнение 4.1.8. Пусть U 2 U(H); 2 C. Показать, что U 2 U(H) тогда и только тогда, когда j j = 1.

Утверждение 4.1.9. Пусть U 2 U(H). Тогда

(i)kUk = 1;

(ii)kAk = kUAk = kAUk для любого оператора A 2 B(H).

Доказательство. (i). Так как, в силу утверждения 4.1.4(iii), kUxk = kxk для любого x 2 H, то

kUk = sup kUxk = 1:

kxk=1

(ii). В силу утверждения 2.2.3(v),

kAUk 6 kAkkUk = kAk; kUAk 6 kUkkAk = kAk:

С другой стороны, A = (AU)U 1 и A = U 1(UA). Поэтому

kAk = k(AU)U 1k 6 kAUk; kAk = kU 1(UA)k 6 kUAk:

Следовательно, kAk = kUAk = kAUk.

Упражнение 4.1.10. Для любого оператора A 2 B(H) и любого унитарного оператора U 2 U(H) kAk = kUAU k.

Утверждение 4.1.11. Для любого оператора A 2 B(H) и любого унитарного оператора U 2 U(H)

(A) = (UAU ):

Доказательство. Пусть 2 (A) и x 6= 0 соответствующий собственный вектор. Тогда Ax = x и

UAx = Ux:

Обозначим Ux = y 6= 0. Тогда x = U y, и потому

UAx = UAU y = y;

т.е. 2 (UAU ) и следовательно, (A) (UAU ): Обратное вложение следует из равенства: A = U (UAU )U:

94

Упражнение 4.1.12. Докажите утверждения.

Для любого оператора A 2 B(H) и любого унитарного оператора

U 2 U(H)

tr(A) = tr(UAU ):

Если оператор A 2 Bh(H), то для любого унитарного оператора U 2 U(H) оператор U AU 2 Bh(H).

Если P 2 P(H), то для любого унитарного оператора U 2 U(H) оператор U P U тоже ортопроектор.

Выясним, каким условиям удовлетворяет матрица [U] унитарного оператора U в некотором ортонормированном базисе fe1; : : : ; eng в H. Пусть

[U] = ( ij)i;jn	=1	=	0 ...	... ...		1
			11	: : :	1n
			B n1	: : :	nnC
			@			A

матрица, отвечающая оператору U в данном базисе . Тогда сопряженному оператору U в этом базисе соответствует матрица

[U ] = ( ji)i;jn	=1	=	0 ...	... ...		1	:
			11	: : :	n1
			B 1n	: : :	nnC
			@			A

Условие унитарности UU = I означает, что произведение матриц [U] и [U ] есть единичная матрица I. Таким образом,

nn

XX

	ik ik = j ikj2 = 1;
k=1	k=1
n
Xk	ik jk = 0; j 6= i:	(4.1)
=1

Итак, условие унитарности UU = I в ортонормированном базисе означает, что сумма произведений элементов какой-либо строки матрицы [U] на элементы, сопряженные к элементам другой строки, равна нулю, а сумма квадратов модулей элементов любой строки равна единице. Такие матрицы принято называть унитарными. Множество U(n; C) всех унитарных матриц в Mn(C) образует группу, изоморфную группе U(H).

95

Так как U U = I тоже есть условие унитарности, то

nn

X	X
	ki ki = j kij2 = 1;
k=1	k=1
n
Xk	ki kj = 0; j 6= i:	(4.2)

=1

Рассмотрим геометрический смысл условия (4.2). Так как

Uej = 1je1 + + njen;

Uei = 1ie1 + + nien

то их скалярное произведение равно

(

(Uej; Uei) = 1; j = i; 0; j 6= i:

Другими словами, векторы fUe1; : : : ; Ueng тоже образуют ортонормированный базис пространства H. Оказывается, это свойство является характеристическим свойством унитарного оператора.

Утверждение 4.1.13. Для того чтобы оператор U 2 B(H) был унитарным, необходимо и достаточно, чтобы он переводил любой ортонормированный базис fe1; : : : ; eng в ортонормированный базис fUe1; : : : ; Ueng.

Доказательство. Пусть U 2 B(H) унитарный оператор и fe1; : : : ; engортонормированный базис в H. Тогда

(Uei; Uej) = (ei; ej) = ij:

Если вектор x 2 H ортогонален каждому из векторов fUe1; : : : ; Ueng, то для любого i = 1, . . . , n

0 = (x; Uei) = (U x; ei):

Следовательно, U x = 0, откуда следует, что x = 0. Таким образом, fUe1; : : : ; Ueng ортонормированный базис в H.

Обратно, пусть оператор U переводит любой ортонормированный базис fe1; : : : ; eng в ортонормированный базис fUe1; : : : ; Ueng. Тогда

(Uei; Uej) = ij = (ei; ej); i; j = 1; : : : ; n:

96

Следовательно, по линейности, для любых x; y 2 H

(Ux; Uy) = (x; y);

откуда, в силу утверждения 4.1.4, U унитарный оператор.

Определение 4.1.14. Оператор U 2 B(H), который одновременно является унитарным и самосопряженным, т.е. U = U = U 1; называется

отражением.

Утверждение 4.1.15. Оператор U 2 B(H) является отражением тогда и только тогда, когда U унитарный и U2 = I.

Доказательство. Пусть U отражение, т.е. U = U = U 1. Тогда UU =

U U = I и

U2 = UU = UU 1 = I:

Обратно, пусть U унитарный оператор и U2 = UU = I. Тогда, в силу следствия I(L).2.3.4, оператор U обратим и U 1 = U. Кроме того, из равенства U U = I и единственности обратного оператора следует, что

U 1 = U = U;

т.е. оператор U отражение.

Существует простая связь между отражениями и ортопроекторами.

Утверждение 4.1.16. P 2 P(H) тогда и только тогда, когда оператор U = 2P I является отражением.

Доказательство. Пусть P 2 P(H) и U = 2P I. Тогда

U = (2P I) = 2P I = U;

т.е. оператор U самосопряжен. Кроме того,

U U = (2P I) (2P I) = (2P I)(2P I) = 4P 2P 2P + I = I;

т.е., U 2 U(H). Поэтому оператор U = 2P I отражение. Обратно, пусть U = 2P I отражение. Тогда

P = 12(U + I):

97

Поэтому

P = 12(U + I ) = 12(U + I) = P;

и, в силу утверждения 4.1.15,

P 2 = 12(U + I) 12(U + I) = 14(U2 + 2U + I) = 14(2U + 2I) = = 12(U + I) = P;

т.е. P 2 P(H).

Заметим, что (P ) f0; 1g , (2P I) f 1; 1g

4.2Спектральная теорема для унитарного оператора

Утверждение 4.2.1. Если U 2 U(H) и 2 (U), то j j = 1.

Доказательство. Пусть 2 (U) и x 2 H, x 6= 0 соответствующий собственный вектор. Тогда

kxk	2		2	2	:
		= (x; x) = (Ux; Ux) = ( x; x) = (x; x) = j j		kxk

Следовательно, j j = 1.

Таким образом, в силу утверждения 4.2.1, все собственные значения f 1; : : : ; ng унитарного оператора U, соответствующие его собственным векторам fx1; : : : ; xng, лежат на единичной окружности: j kj = 1, k = 1,

. . . , n.

Замечание 4.2.2. Так как для любого унитарного оператора U 2 U(H)(U) f : j j = 1g, то его спектральный радиус (U) = 1:

Утверждение 4.2.3. Собственные векторы унитарного оператора U 2 U(H), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть U 2 U(H), 1, 2 2 (U), 1 6= 2 и x1; x2 6= 0

соответствующие собственные векторы:

Ux1 = 1x1; Ux2 = 2x2:

Тогда

(x1; x2) = (Ux1; Ux2) = 1 2(x1; x2);

причем j 1j j 2j . Следовательно, 1 2 .

0

=

)

x

;

x

(

1

=

=

98

Утверждение 4.2.4. Подпространство M H инвариантно относительно унитарного оператора U 2 U(H) тогда и только тогда, когда ортогональное дополнение M? этого подпространства инвариантно относительно этого оператора U.

Доказательство. Пусть подпространство M H инвариантно относительно оператора U 2 U(H), размерность dim M = k и fe1; : : : ; ek, ek+1,: : : ,eng ортонормированный базис в H, такой что fe1; : : : ; ekg ортонормированный базис в M, а fek+1; : : : ; eng ортонормированный базис в M?. Тогда векторы

fUe1; : : : ; Uek; Uek+1; : : : ; Ueng

тоже образуют ортонормированный базис в H. Но M инвариантно относительно оператора U, поэтому fUe1; : : : ; Uekg ортонормированный базис в M. Следовательно, Uek+1; : : : ; Uen ортонормированный базис в M?, т.е. подпространство M? инвариантно относительно оператора U.

Обратное утверждение следует из инвариантности M? относительно унитарного оператора U (см. утверждение 2.5.6).

Следствие 4.2.5. Пусть dim H = n, оператор U 2 U(H) и x1 6= 0 его собственный вектор. Тогда

H1 = fx 2 H : (x; x1) = 0g

является (n 1)-мерным подпространством в H, инвариантным относительно оператора U.

Доказательство. Ясно, что множество H1 векторов, ортогональных вектору x1, образует (n 1)-мерным подпространством в H.

Обозначим через

M = fx 2 H : x = x1; 2 Cg

одномерное подпространство в H, порожденное вектором x1. Ясно, что Mинвариантное относительно оператора U подпространство и H1 = M?: Поэтому, в силу утверждения 4.2.4, H1 инвариантно относительно оператора U.

Если M инвариантное подпространство унитарного оператора U, то сужение U M оператора U на M является унитарным оператором в B(M). Поэтому имеет место следующая теорема:

99

Теорема 4.2.6 (Спектральная теорема для унитарного оператора). Если

U 2 U(H), то существует ортонормированный базис fe1; : : : ; eng пространства H, состоящий из собственных векторов оператора U, соответствующих собственным значениям f 1; : : : ; ng. Матрица [U] оператора U в этом базисе имеет диагональный вид:

[U] =	0 ...1	:.:.:.	0...	1	:	(4.3)
	B			C
	@			A
	0	: : :	n

Доказательство. Покажем сначала, что если U 2 U(H), то существует n попарно ортогональных собственных векторов оператора U. Действительно, согласно теореме I(L).4.2.3, существует хотя бы один собственный вектор x1 2 H оператора U. В силу теоремы 4.2.5 подпространство

H1 = fx 2 H : (x; x1) = 0g

является (n 1)-мерным инвариантным подпространством оператора U. В силу той же теоремы I(L).4.2.3, существует хотя бы один собственный вектор x2 2 H1 оператора U H1 , который, очевидно, является собственным вектором оператора U. В свою очередь, подпространство

H2 = fx 2 H1 : (x; x2) = 0g

является (n 2)-мерным инвариантным подпространством оператора U. Продолжая процесс, получим n попарно ортогональных собственных векторов fx1; : : : ; xng оператора U, отвечающих собственным значениям f 1; : : : ; ng, т.е. базис пространства H.

Теперь положим e1 = x1=kx1k, . . . , en = xn=kxnk. Тогда для любого k = 1, . . . , n

Uek = U	xk			1			xk
				=		U(xk) = k			= kek;
	kxkk				kxkk		kxkk

и потому fe1; : : : ; eng ортонормированный базис пространства H, состоящий из собственных векторов оператора U. Матрица [U] оператора U в этом базисе имеет диагональный вид:

[U] = D =	0 ...1		:.:.:.	0...	1	;
	B	0	: : :	nC
	@				A

1; : : : ; n собственные значения оператора U, j kj = 1, k = 1; : : : ; n.

100