Kon_lin_an3

Поэтому приходим к неравенству

mm

i=1 ixi		< i=1 ixi	;
X		X
	m
1 =	Pi= m = 0:
что невозможно. Следовательно,		=1 ixi = 0 и потому

Следовательно, векторы fPNx1; : : : ; PNxmg линейно независимы и принадлежат подпространству N. Таким образом,

m = dim M dim N = k:

Противоположное неравенство доказывается аналогично.

Утверждение 3.2.11. Если P1, . . . , Pk 2 P(H), то оператор

P = P1 + + Pk

является ортопроектором тогда и только тогда, когда PiPj = 0 при i 6= j, i; j = 1, . . . , k.

Доказательство. Если PiPj = 0 при i 6= j, i; j = 1, . . . , k, то

P 2 = P1 + + Pk; P1 + + Pk = P1 + + Pk = P:

Так как, очевидно, P = P , то P ортопроектор.

Обратно, пусть P = P1 + + Pk ортопроектор. Зафиксируем произвольное 1 i k. Тогда для любого x 2 fPiy : y 2 Hg имеем:

		k	Pjx; x	k
kxk2 > kP xk2 = (P x; P x) = (P x; x) =		j=1		= j=1	(Pjx; x) =
k	k	X		X

XX

=(Pjx; Pjx) = kPjxk2 kPixk2 = kxk2:

i=1

j=1

Следовательно,

k

X

kPjxk2 = kPixk2;

j=1

т.е. kPjxk2 = 0, и потому Pjx = 0 при j 6= i. Таким образом, для любого y 2 H при j 6= i

PjPiy = 0:

Поэтому, PjPi = 0 при j 6= i.

61

Определение 3.2.12. Система попарно ортогональных ортопроекторов fPigki=1 P(H) называется ортогональной системой ортопроекторов.

Таким образом, если P1, . . . , Pk 2 P(H), и оператор

P = P1 + + Pk

является ортопроектором, то fPigki=1 ортогональная система ортопроекторов. При этом, если Pi = PMi , то

P = PM1 M2 Mk :

Следствие 3.2.13. Если P1, . . . , Pk 2 P(H) и

P1 + + Pk = I;

то fPigki=1 ортогональная система ортопроекторов. При этом, если

Pi = PMi , то

k

M

M1 Mk = Mi = H:

i=1

Определение 3.2.14. Ортогональная система ненулевых ортопроекторов fPigki=1 называется разложением единицы или ортогональным разложением единицы, если

P1 + + Pk = I:

Рассмотрим матричное представление ортопроектора P = PM.

Пусть dim M = k и fe1; : : : ; ek; ek+1; : : : ; eng такой ортонормированный базис гильбертова пространства H, что fe1; : : : ; ekg ортонормированный базис в M. Тогда матрица [P ] ортопроектора P имеет вид:

	0 (P e1; e1)
		.
[P ] =	B ..
	B(P e1;1ek+1)
	B	(P e ; ek)
	B ..
	B .
	B
	B	(P e1; en)
	@

Так как

: : :			(P ek; e1)	(P ek+1; e1)
.	.		.	.
		.	.	.
			.	.
: : :			(P ek; ek)	(P ek+1; ek)

: : : (P ek; ek+1) (P ek+1; ek+1)

.	.		.	.
		.	.	.
			.	.

: : :		(P ek; en) (P ek+1; en)
P ei	=	0i;	i = k + 1; : : : ; n;
		e ;	i = 1; : : : ; k;

: : : (P en; e1)

... ...

:: : (P en; ek)

:: : (P en; ek+1

... ...

:: : (P en; en)

1

C

C

C

C:

)C

C

C

A

62

то

	01...	:.:.:.		0...	0...	:.:.:.		0...1
[P ] =	B0 : : :			1	0	: : :		0C	;
	B0 : : :			0	0	: : :		0C
	B							C
	B.. ..		.. .. ..				.	..C
	B.		. . .					.C
	B							C
	B0 : : :			0	0	: : :		0C
	@							A

или

[P ] =	Ik	0	;
	0	0

где Ik единичная матрица размерности k. Отметим, что элементы матрицы Ik могут быть сдвинуты вдоль главной диагонали, если векторы ортонормированного базиса подпространства M занимают другие места в общем ортонормированном базисе H.

3.3Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора

Утверждение 3.3.1. Собственные значения самосопряженного оператора вещественны.

Доказательство. Пусть A 2 Bh(H) и Ax = x, x 6= 0. Тогда для любого y 2 H имеем (Ax; y) = (x; Ay). Следовательно,

(x; x) = ( x; x) = (Ax; x) = (x; Ax) = (x; x) = (x; x):

Таким образом, .

=

Утверждение 3.3.2. Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть A 2 Bh(H), Ax1 = 1x1, Ax2 = 2x2, 1 6= 2, x1; x2 6= 0. Тогда

1(x1; x2) = (Ax1; x2) = (x1; Ax2) = 2(x1; x2):

Таким образом, (x1; x2) = 0.

63

Утверждение 3.3.3. Подпространство M H инвариантно относительно самосопряженного оператора A 2 Bh(H) тогда и только тогда, когда ортогональное дополнение M? этого подпространства инвариантно относительно оператора A.

Доказательство. Пусть подпространство M H инвариантно относительно самосопряженного оператора A 2 B(H). Тогда, в силу утверждения 2.5.6, ортогональное дополнение M? этого подпространства инвариантно относительно оператора A = A. Обратное утверждение следует из того же утверждения 2.5.6 и равенств A = A = A и M?? = M.

Следствие 3.3.4. Пусть dim H = n, оператор A 2 Bh(H) и x1 6= 0 его собственный вектор. Тогда

H1 = fx 2 H : (x; x1) = 0g

является (n 1)-мерным подпространством в H, инвариантным относительно оператора A.

Доказательство. Ясно, что множество H1 векторов, ортогональных вектору x1, образует (n 1)-мерное подпространство в H. Обозначим через

M = fx 2 H : x = x1; 2 Cg

одномерное подпространство в H, порожденное вектором x1. Тогда M инвариантное относительно оператора A подпространство и H1 = M?: Поэтому, в силу утверждения 3.3.3, H1 инвариантно относительно A.

Упражнение 3.3.5. Если M инвариантное подпространство самосопряженного оператора A 2 Bh(H), то индуцированный оператор A M является самосопряженным оператором в B(M).

Утверждение 3.3.6. Если оператор A 2 Bh(H), то существует n попарно ортогональных собственных векторов оператора A.

Доказательство. Согласно теореме I.4.2.2., существует хотя бы один собственный вектор x1 2 H оператора A. В силу следствия 3.3.4, подпространство

H1 = fx 2 H : (x; x1) = 0g

является (n 1)-мерным инвариантным подпространством оператора A. Для оператора A H1 , в силу той же теоремы I.4.2.2., существует хотя бы один собственный вектор x2 2 H1 оператора A H1 , который, очевидно,

64

является собственным вектором оператора A. В свою очередь, подпространство

H2 = fx 2 H1 : (x; x2) = 0g

является (n 2)-мерным инвариантным подпространством оператора A. Продолжая процесс, получим n попарно ортогональных собственных векторов fx1; : : : ; xng оператора A.

Заметим, что в силу утверждения 3.3.1, все собственные значения f 1; : : : ; ng оператора A, соответствующие построенным выше ортогональным собственным векторам fx1; : : : ; xng, вещественны.

3.4Спектральная теорема для самосопряженного оператора

Теорема 3.4.1 (Спектральная теорема для самосопряженного оператора). Если оператор A 2 Bh(H), то существует ортонормированный базис пространства H, состоящий из собственных векторов оператора A. Матрица [A] оператора A в этом базисе диагональна, вещественна и имеет вид

[A] = D =	0 ...1		:.:.:.	0...	1	;
	B	0	: : :	nC
	@				A

где 1, . . . , n собственные значения оператора A (среди 1, . . . , n могут быть равные).

Доказательство. Выберем в качестве базиса пространства H построенные в доказательстве утверждения 3.3.6 попарно ортогональные ненулевые собственные векторы fx1; : : : ; xng оператора A и положим

e1 =	x1	;	: : : ; en =	xn	:
	kx1k			kxnk
Тогда для любого k = 1, . . . , n

	xk	1		1			xk
Aek = A		=		Axk =		kxk = k		= kek;
	kxkk		kxkk		kxkk		kxkk

и потому fe1; : : : ; eng ортонормированный базис пространства H, состоящий из собственных векторов оператора A. Матрица [A] оператора A в

65

этом базисе имеет вид

[A] = D =	0 ...1		:.:.:.	0...	1	;
	B	0	: : :	nC
	@				A

где все числа 1, . . . , n вещественны.

Замечание 3.4.2. Верно и обратное утверждение, т.е., если в некотором ортонормированном базисе fe1; : : : ; eng матрица оператора A 2 B(H) диагональна и вещественна, то оператор A самосопряжен, а базис fe1; : : : ; eng состоит из собственных векторов оператора A. Такой ортонормированный базис называется собственным базисом оператора A.

Замечание 3.4.3. Пусть fe1; : : : ; eng собственный базис самосопряженного оператора A и x 2 H. Тогда

n

X

x = (x; ek)ek:

k=1

и

n

X

Ax = k(x; ek)ek:

k=1

В этом случае удобно писать:

n

X

A = k( ; ek)ek:

k=1

Замечание 3.4.4. Как следует непосредственно из теоремы 3.4.1, любой самосопряженный оператор A 2 B(H) подобен диагональному, т.е. является оператором простой структуры (см. I(L), теорема 4.3.5).

Теорема 3.4.5. Пусть оператор A 2 Bh(H),

	и	(A) = inf (Ax; x) : x 2 H; kxk = 1
		(A) = sup (Ax; x) : x 2 H; kxk = 1 :
	Тогда

kAk = maxfj (A)j; j (A)jg = supfj(Ax; x)j : x 2 H; kxk = 1g:

66

Доказательство. Легко видеть, что если оператор A = 0, то утверждение теоремы очевидно. Пусть теперь оператор A ненулевой. Обозначим

K= maxfj (A)j; j (A)jg = supfj(Ax; x)j : x 2 H; kxk = 1g:

Всилу утверждения 2.2.5(iv), для x 2 H, kxk = 1 имеем:

j(Ax; x)j kAxkkxk kAkkxk2 = kAk:
Следовательно, K kAk:
С другой стороны,
			= n			Ay; y)	: y 2 H; kyk 6= 0o:
f(Ax; x); x 2 H; kxk = 1g						(
						kyk2
Поэтому для любого y 2 H, kyk 6= 0,
	y			y
(Ay; y) = kyk2 A		;
	kyk			kyk				2	2	:
supfj(Ax; x)j : x 2 H; kxk = 1gkyk									Kkyk

Очевидно, это неравенство верно и для y = 0, т.е., для любого y 2 H. Для произвольного отличного от нуля элемента z 2 H, z 2= Ker A,

положим:
= s			и u = Az:
	k zzk
		A	1
		k k
Тогда

kAzk2 = (Az; Az) = (Az; u) = (Az; u) = (A( z); u) = = 14[(A( z + u); z + u) (A( z u); z u)]

14K[k z + uk2 + k z uk2] = 12K[k zk2 + kuk2] =

	1	K 2kzk2 +	1	kAzk2		1
=					=		K[kzkkAzk + kzkkAzk]
	2		2			2

= KkzkkAzk:

Следовательно, kAzk Kkzk, и потому kAk K. Таким образом, kAk = K = supfj(Ax; x)j : x 2 H; kxk = 1g = maxfj (A)j; j (A)jg:

67

k=1

Pr

k=1

= kxk =

kPk.

Теорема 3.4.6 (Спектральная теорема для самосопряженного оператора в форме разложения единицы). Если A 2 Bh(H), то существуют такие числа f 1; : : : ; rg R и ненулевые ортопроекторы P1, . . . , Pr 2 P(H), r n, что

(i)1 < < r;

(ii)Ортопроекторы P1, . . . , Pr попарно ортогональны;

Pr

(iii)k=1 Pk = I;

r	kPk.
(iv) A = Pk=1

Условия (i)–(iv) определяют числа 1, . . . , r однозначно.

Доказательство. Покажем, что спектр (A) = f 1; : : : ; rg оператора A, где 1 < < r, и ортопроекторы Pk = PN k на собственные подпространства

N k = fx 2 H : Ax = kxg

удовлетворяют условиям теоремы. Условия (i) и (ii) следуют из выбора f 1; : : : ; rg и утверждения 3.3.2.

Условие (iii) следует из теоремы 3.3.6 существования собственного базиса самосопряженного оператора A и равенства

r
Mk
H = N k	:
=1

Наконец, если теперь x 2 H и xk = Pkx 2 N k , то Axk = kxk и

r

r

r

X X X

Ax = A	Pk x = A Pkx = Axk =
k=1	k=1	k=1
r	r	r
X	k=1 kPkx =	k=1 kPk x:
	X	X

Следовательно, A =

При выполнении условий (i)–(iv) множество f 1; : : : ; rg совпадает со спектром (A) оператора A. Поэтому условия (i)–(iv) определяют числа1, . . . , r однозначно.

Следствие 3.4.7. Если оператор A 2 B(H) представим в виде

r

X

A = kPk;

k=1

68

где f 1; : : : ; rg = (A) R и ненулевые ортопроекторы P1, . . . , Pr, r 6 n такие, что

(i)k 6= j при k 6= j;

(ii)Ортопроекторы P1, . . . , Pr попарно ортогональны;

Pr

(iii)k=1 Pk = I,

то оператор A самосопряжен.

r	kPk, где f 1; : : : ; rg = (A) R, то
Доказательство. Если A = Pk=1

rr

A		X		Xk
		= kPk = kPk = A;
		k=1		=1

т.е., оператор A самосопряжен.

Упражнение 3.4.8. Если A 2 Bh(H), то tr A 2 R.

Определение 3.4.9. Представление оператора A 2 Bh(H) в виде

r

X

A = kPk;

k=1

где f 1; : : : ; rg = (A) и ортопроекторы P1, . . . , Pr 2 P(H), r n, ненулевые и удовлетворяют условиям (i)–(iii), называется спектральным разложением самосопряженного оператора A.

Pr

Если A = k=1 kPk спектральное разложение самосопряженного оператора A 2 Bh(H), то его матрица в собственном базисе имеет вид

[A] =	0 1...I1 :.:.:.	0...	1	:
	B		C
	@		A

0: : : rIr

3.5Коммутирующие самосопряженные операторы

Пусть A; B 2 Bh(H). Операторы A и B называются коммутирующими или перестановочными, если

AB = BA:

Если существует ортонормированный базис пространства H, в котором матрицы [A] и [B] операторов A; B 2 B(H) коммутируют, то AB = BA.

69

Упражнение 3.5.1. Путь A; B 2 Bh(H).

Доказать, что если AB = BA, то

[p(A); q(B)] = p(A)q(B) q(B)p(A) = 0

для любых полиномов p(t) и q(t).

Доказать, что если операторы A и B обратимы и (AB)2 = A2B2, то

AB = BA.

Утверждение 3.5.2. Пусть A; B 2 B(H) и операторы A и B коммутируют.

(i)Если 2 (A) и N = fx 2 H : Ax = xg собственное подпространство оператора A, соответствующее собственному значению , то подпространство N инвариантно относительно оператора B.

(ii)Подпространства Ker A и Ran A инвариантны относительно оператора B.

Доказательство. (i). Пусть x 2 N . Тогда Ax = x и

A(Bx) = B(Ax) = B( x) = Bx:

Следовательно, Bx 2 N . Таким образом, подпространство N инвариантно относительно оператора B.

(ii). Пусть x 2 Ker A. Тогда

A(Bx) = B(Ax) = 0;

т.е. Bx 2 Ker A.

Далее, если x 2 Ran A то существует y 2 H, что x = Ay. Тогда

Bx = BAy = A(By) 2 Ran A:

Утверждение 3.5.3. Любые два коммутирующих оператора A, B из B(H) имеют общий собственный вектор.

Доказательство. Пусть AB = BA, 2 (A) и

N = fx 2 H : Ax = xg:

По утверждению 3.5.2, подпространство N инвариантно относительно оператора B. Следовательно, существует вектор x 2 N , x 6= 0, который является собственным вектором оператора B: Bx = x. Так Ax = x, то x общий собственный вектор операторов A и B.

70