Kon_lin_an3

Доказательство. (i) ) (ii). Прямо следует из теоремы 6.1.2. При этом V V = P = PM начальный ортопроектор частичной изометрии V .

(ii) ) (i). Положим M = (Ker V V )?. Поскольку V V ортопроектор, то V V = PM (ортопроектрор однозначно определяется своим ядром). Тогда, очевидно, справедливо разложение

H = M Ker V V = M M?:

Для x 2 M имеем

kV xk2 = (V x; V x) = (V V x; x) = (PMx; x) = (x; x) = kxk2;

а для x 2 M? имеем

kV xk2 = (V x; V x) = (V V x; x) = (PMx; x) = 0;

т.е. V частичная изометрия с начальным подпространством M

(i) ) (iii). Пусть V частично изометрический оператор. Как пока-

зано в теореме 6.1.2, V V = PN проектор на конечное подпространство N = fV x : x 2 Hg, поэтому для любого y 2 N имеем V V y = PNy = y:

Поскольку для любого x 2 H имеем V x 2 N, то

V V V x = PNV x = V x:

(iii) ) (ii). Пусть V V V = V . Тогда

V V = V V V V = (V V )2;

и конечно, (V V ) = V V = V V: Следовательно, V V = P ортопроектор.

Замечание 6.1.4. Отметим несколько фактов, связанных с частичными изометриями.

(i)V частичная изометрия тогда и только тогда, когда V V V = V :

(ii)Любую частичную изометрию V можно продолжить до унитарного оператора U, т.е. существует такой унитарный оператор U, что

UV V = V:

(iii)Оператор V V является ортопроектором тогда и только тогда когда V V ортопроектор.

131

Утверждение 6.1.5. Если V ненулевая частичная изометрия, то

kV k = 1:

Доказательство. Если V частично изометрический оператор с начальной областью M, то

k		k		(0;	x 2 M?:
	V x		=	kxk; x 2 M;
Поэтому					sup kV xk = 1:
kV k = sup kV xk =
kxk=1					x2M; kxk=1

6.1.2Примеры частичных изометрий

Пример 6.1.6. Любой унитарный оператор U является частичной изометрией.

Упражнение 6.1.7. Доказать, что частичная изометрия V обратима тогда и только тогда, когда она является унитарным оператором.

Упражнение 6.1.8. Найти начальное и конечное пространства частичной изометрии U, являющейся унитарным оператором.

Замечание 6.1.9. Для унитарного оператора U любая его степень Un является унитарным оператором, а следовательно, и частичной изометрией. В общем случае это не так.

Пример 6.1.10. Оператор

01

	0	c1	s1	0
	0	0	0	c2
B0		0	0	02C
S =					C
B	0	0	0	s
@					A

где 0 < c1; c2; s1; s2 < 1, c21 + s21 = 1, c22 + s22 = 1, является частичной изометрией, но S2 не является частичной изометрией при c1 6= c2.

Упражнение 6.1.11. Найти начальное и конечное пространства частичной изометрии S.

Замечание 6.1.12. Непосредственно проверяется, что построенный в примере 6.1.10 оператор S удовлетворяет соотношению: S3 = 0, т.е. является нильпотентным. Таким образом, существуют частичные изометрии, являющиеся нильпотентными операторами.

132

Пример 6.1.13. Нильпотентный оператор вида

01

	0 1	0	: : :	0
T =	B0 0	.1..	......	.
				0..C
	B			C
	B			C
	B			C

BC

B... 1C @ A

0 0 0 : : : 0

является частичной изометрией, причем при любом натуральном n оператор T n также является частично изометрическим.

Упражнение 6.1.14. Найти начальное и конечное пространства частичной изометрии T .

6.1.3Разложение частичных изометрий на унитарную и нильпотентную части

Утверждение 6.1.15. Пусть оператор S 2 B(H) частично изометрический. Тогда существуют такие инвариантные относительно операторов S и S подпространства HU и HN , что

(i)H = HU HN ;

(ii)Оператор S HU является унитарным;

(iii)Оператор S HN является нильпотентным.

Доказательство. Обозначим

Hk = Ran(Sk); k = 1; 2; : : : :

Легко видеть, что
Hm Hk при	m > k:
Обозначим
Hk0 = fx 2 Hk : x 2 Ker(S)g;	Hk1 = Hk Hk0:

Тогда

Hk = H0k H1k:

133

Если H0k = f0g при некотором k, то Hk \ Ker(S) = f0g, и поскольку Hk+1 Hk, то оператор S осуществляет изометрический изоморфизм между пространствами Hk и Hk+1. Следовательно

Hk+1 = Hk:

Таким образом, Hk инвариантное подпространство оператора S и сужение оператора S на Hk является унитарным оператором в Hk. Ясно, что Hk является инвариантным подпространством и для оператора S .

Положим HU = Hk. Его ортогональное дополнение H? = HN также является инвариантным подпространством для операторов S и S . Покажем, что сужение оператора S на HN нильпотентный оператор. Дей-

ствительно,

SlHN [ Ker(S) 6= f0g

при всех l, для которых SlHN 6= f0g, откуда заключаем, что размерности подпространств SlHN строго убывают, и в силу конечномерности пространства H, сужение оператора S на HN нильпотентный оператор.

6.2Полярное разложение линейного оператора

Теорема 6.2.1. Любой оператор A 2 B(H) однозначно представим в виде

A = V B;

где V частично изометрический оператор с начальной областью Ran(B) и конечной областью Ran(A), а B неотрицательный оператор.

Доказательство. Существование. Рассмотрим оператор

jAj = (A A)1 = pA A:

2

Так как оператор A A неотрицательный, то, в силу теоремы 3.7.11, оператор jAj существует.

Определим частично изометрический оператор

V : Ran(jAj) ! Ran(A)

полагая

(

V y =

Ax; y = jAjx 2 Ran jAj;

0; y 2 Ran(jAj)?:

134

Так как для y = jAj x

kV yk2 = (Ax; Ax) = (A2x; x) = (A Ax; x) = (jAj2x; x) = kjAj xk2;

то

kV yk = kjAj xk = kyk

на Ran(jAj). Поэтому частично изометрический оператор V определен корректно. По построению оператора V , для любого x 2 H и y = jAj x имеем:

Ax = V y = V jAj x:

Таким образом,

A = V jAj;

где V частично изометрический оператор с начальной областью Ran(jAj) p

и конечной областью Ran(A), а jAj = A A > 0.

Единственность. Допустим, что существует еще одно представление оператора A в виде

A = V1B;

где V1 частично изометрический оператор с начальной областью Ran(B) и конечной областью Ran(A), а B неотрицательный оператор. Тогда

A = V jAj = V1B; A = jAjV = BV1 ;

и

B2 = BPRan(B)B = B(V1 V1)B = (BV1 )(V1B) =

=(jAjV )(V jAj) = jAjPRanjAjjAj = jAj2 = A A:

Всилу единственности квадратного корня из неотрицательного оператора A A (теорема 3.7.11(i)), имеем:

p

B = A A = jAj:

Следовательно, V и V1 два частично изометрических оператора с начальной областью Ran(jAj) и конечной областью Ran(A), причем для любого x 2 H

V1jAjx = Ax = V jAjx:

Таким образом, V1 = V .

135

Определение 6.2.2. Представление оператора A 2 B(H) в виде

A = V jAj;

где V частично изометрический оператор с начальной областью Ran(jAj) p

и конечной областью Ran(A), а jAj = A A, называется полярным разложением оператора A. Оператор jAj называется модулем оператора A.

Следствие 6.2.3. Для того чтобы оператор A 2 B(H) был обратимым, необходимо и достаточно, чтобы в полярном разложении оператора A

A = V jAj

частично изометрический оператор V был унитарным.

Доказательство. Необходимость. Пусть оператор A обратим. Рассмотрим оператор U = jAjA 1. Тогда

U U = (A 1) jAjjAjA 1 = (A 1) (A A)A 1 = [(A 1) A ][AA 1] = I:

Следовательно, U унитарный оператор. Кроме того,

A 1U jAj = A 1(A 1) jAjjAj = A 1(A 1) A A =

= A 1[(A 1) A ]A = I;

поэтому оператор jAj обратим и jAj 1 = A 1U . Следовательно, оператор

U = U 1 = (jAjA 1) 1 = AjAj 1

унитарный и

A= (AjAj 1)jAj

полярное разложение оператора A.

Достаточность. Пусть A = V jAj полярное разложение оператора A, и V унитарный оператор. Так как V V = I = PRan A, то Ran A = H и потому оператор A обратим.

Замечание 6.2.4. Поскольку оператор V в полярном разложении A = V jAj есть частичная изометрия с начальным пространством Ran jAj, ортопроектор V V коммутирует с jAj:

V V jAj = jAjV V:

136

Замечание 6.2.5. Если A = V jAj полярное разложение оператора A, то частично изометрический оператор V можно продолжить до унитарного

оператора U такого, что

UV V = V:

Тогда разложение A = UjAj называют полярным разложением оператора A с унитарным оператором U. Однако, если оператор jAj в этом разложении определен однозначно, то унитарный оператор U не единственный. В силу следствия 6.2.3, этот унитарный оператор определяется однозначно только для обратимого оператора A.

Следствие 6.2.6. Для любого оператора A 2 B(H) существует единственный оператор C 2 B+(H) и (в общем случае не единственный) унитарный оператор U1 2 U(H) такие, что

A = CU1:

Доказательство. Пусть A = W jA j полярное разложение оператора A с унитарным оператором W . Тогда

A = jA jW = CU1;

где C = jA j 2 B+(H) и U1 = W 2 U(H), при этом оператор C как модуль оператора A определен однозначно.

Следствие 6.2.7. Пусть A = UjAj полярное разложение оператора A 2 B(H) с унитарным оператором U. Для того, чтобы оператор A был нормальным, необходимо и достаточно, чтобы операторы jAj и U коммутировали.

Доказательство. Необходимость. Пусть A нормальный оператор. Тогда

AA = UjAjjAjU = UjAj2U 1;

A A = jAjU UjAj = jAj2:

Так как AA = A A, то

UjAj2U 1 = jAj2:

Следовательно, UjAj2 = jAj2U. Но

jAj = f(jAj2) = (jA2j)1=2:

137

Поэтому U коммутирует также с jAj, UjAj = jAjU.

Достаточность. Пусть A = UjAj и UjAj = jAjU. Тогда

AA = UjAjjAjU = jAj2UU = jAj2 = A A;

т.е. A нормальный оператор.

Теорема 6.2.8. Для любого линейного оператора A 2 B(H) существуют унитарные операторы V; W 2 U(H) и диагональный оператор D 2 B(H) такие, что

A = VDW:

Доказательство. Пусть A = UjAj полярное разложение оператора A, где U 2 U(H). Так как оператор jAj самосопряжен, то в силу замечания 4.2.7(iii), существует унитарный оператор W 2 U(H) такой, что

jAj = W 1DW;

где

01

1I1	: : :	0
D = B ...	...	... C;
@		A
0	: : :	rIr

1, . . . , r попарно различные собственные значения оператора jAj. Следовательно,

A = UW 1DW = VDW;

где V = UW 1 унитарный оператор.

Теорема 6.2.9. Если самосопряженные операторы A; B 2 B(H) подобны:

CA = BC;

и C = UjCj полярное разложение обратимого оператора C, то

UA = BU;

то есть операторы A и B унитарно подобны.

Доказательство. Пусть CA = BC и C = UjCj. Тогда

UjCjA = BUjCj:

138

Следовательно,

jCjA = U 1BUjCj; A = jCj 1U 1BUjCj и B = UjCjA jCj 1U 1:

Так как B = B, то

B = (UjCjAjCj 1U 1) = UjCj 1A jCjU 1:

Поэтому

jCj2A = jCj(jCjA) = jCjU 1BUjCj =

= jCjU 1(UjCj 1AjCjU 1)UjCj = AjCj2:

Следовательно, оператор A коммутирует с самосопряженным оператором jCj2. Поэтому, в силу следствия 3.7.13, jCjA = AjCj: Тогда

UjCjA = UAjCj = BUjCj:

Оператор jCj обратим. Поэтому UA = BU:

6.3Центрированные операторы

6.3.1Определение центрированного оператора

Определение 6.3.1. Оператор B называется центрированным, если операторы Bk(B )k, (B )kBk образуют коммутативное семейство, т.е. для всех k; j 2 N выполняются соотношения:

[Bk(B )k; Bj(B )j] = Bk(B )kBj(B )j Bj(B )jBk(B )k = 0;

[Bk(B )k; (B )jBj] = Bk(B )k(B )jBj (B )jBjBk(B )k = 0;

[(B )kBk; (B )jBj] = (B )kBk(B )jBj (B )jBj(B )kBk = 0:

Приведем примеры центрированных операторов.

Пример 6.3.2. Пусть A = A самосопряженный оператор в H. Тогда A является центрированным. Действительно, в этом случае Ak(A )k = (A )kAk = A2k и центрированность следует из того, что степени оператора коммутируют между собой.

139

Пример 6.3.3. Пусть N нормальный оператор. Тогда N является центрированным. Действительно, для нормального оператора

Nk(N )k = (N )kNk = (NN )k; k = 1; 2; : : : ;

ицентрированность следует из коммутации степеней оператора NN .

Вчастности, всякий унитарный оператор является центрированным.

Упражнение 6.3.4. Проверить, что оператор

B =	00	0	b1
	0	a	0
	@0	0	0A

является центрированным при любых a, b 2 C.

Упражнение 6.3.5. Проверить, что оператор

B =	00	0	11
	0	1	2
	@0	0	0A

не является центрированным.

6.3.2Центрированные частичные изометрии

Лемма 6.3.6. Если V такой частично изометрический оператор, что для любого k = 1; 2; : : : оператор V k тоже является частично изометрическим (т.е. V порождает полугруппу частичных изометрий), то Vцентрированный оператор.

Доказательство. Обозначим

Pk = V k(V )k; Qk = (V )kV k; k = 1; 2; : : : :

Поскольку V k частично изометрический оператор, то, в силу теоремы 6.1.3, операторы fPkg1k=1 и fQkg1k=1 являются ортопроекторами. Для доказательства центрированности оператора V согласно определению центрированнсоти нужно показать, что семейство ортопроекторов

fPk; Qk; k = 1; 2; : : : g

140