Kon_lin_an3

Pr

Утверждение 5.2.8. Пусть A = k=1 kPk спектральное разложение нормального оператора A. Тогда существуют вещественные полиномы pk(t), 1 6 k 6 r, такие, что

(

pk( j) = kj = 1; k = j;

0; k =6 j;

и pk(A) = Pk.

	A =	r	kPk
		Pk=1
Доказательство.	Пусть r		r			. Тогда		r	k2Pk;
	A2 = k=1 kPk j=1			jPj			= k=1
	X		X				X
q(t)						r	k
					Pk=1				и для любого полинома
так как PkPj = jkPk: Аналогично An =							nPk

r

X

q(A) = q( k)Pk:

k=1

Рассмотрим полиномы

pk(t) = Y t j :

j6=k k j

Тогда

(0; k = j;

pk( j) = kj =

1;

k = j;

6

и

r

r

p

(A) =

A jI

=

1

i=1

P

P

=

k j

i

j

i=1

k

j6=k k j

j6=k

i

i

Y

Y

X

X

1

r

1

r

i=1 ( i j)Pi =

j6=k

i=1 j6=k( i j) Pi

= j6=k k j

k j

Y

X

Y

X Y

=

j6=k

1

j6=k( k j)Pk = Pk:

k j

Y

Y

121

5.3Функциональное исчисление для нормального оператора

Пусть A 2 B(H) нормальный оператор и A = Pr kPk его спек-

k=1

тральное разложение. Для любой функции f : C ! C, определенной на спектре (A) оператора A, определим оператор

r

X

f(A) = f( k)Pk:

k=1

Оператор B = f(A) называется функцией от оператора A.

Упражнение 5.3.1. Пусть оператор A 2 B(H) нормальный и B = f(A). Показать, что операторы A и B коммутируют.

Если f(z) = p(z) = 0 + 1z + + mzm =				P	m	jzj полином, то
					j=0
r	r	m				r
p(A) = k=1 p( k)Pk	= k=1			m
		j=0 j kj Pk = j=1 m k=0 kj Pk =
X	X X			X		X
r		r				r	=
= 0 k=1 Pk	+ 1 k=1 kPk		+ + m k=1 kmPk
X		X				X

= 0I + 1A + + mAm:

Таким образом, p(A) полиномиальный оператор и определение функции от оператора согласуется с определением полинома от оператора.

Замечание 5.3.2. Для любой функции f : C ! C и для любого нормального оператора A 2 B(H) оператор

r

X

f(A) = f( k)Pk:

k=1

полиномиальный оператор.

Действительно, рассмотрим интерполяционный полином Лагранжа функции f:

r			r
XY	z j		X
p(z) =		f( k) =	pk(z)f( k):
k=1 j=k	k j		k=1
6
Тогда
r		r

XX

p(A) =	pk(A)f( k) = f( k)Pk = f(A):
k=1	k=1

122

Рассмотрим несколько примеров функций от нормального оператора

A 2 B(H), имеющего спектральное разложение A = Pr kPk.

k=1

Если 0 62 (A), то оператор A обратим и для функции f(t) = t 1 имеем:

rr

X	X
f(A) = f( k)Pk =	k 1Pk = A 1:
k=1	k=1

Таким образом, (A 1) = f 1 : 2 (A)g:

Если f(z) = z, то

r	r
X	X
f(A) = f( k)Pk =			kPk = A :
k=1	k=1

5.4Операторы, коммутирующие с нормальным оператором

	Утверждение 5.4.1. Пусть A =	r	kPk спектральное разложение
		Pk=1
	нормального оператора A. Тогда

(i)Оператор B 2 B(H) коммутирует с оператором A тогда и только тогда, когда он коммутирует с каждым ортопроектором Pk, k = 1, . . . , r.

(ii)Оператор B 2 B(H) коммутирует с оператором A тогда и только тогда, когда он коммутирует с оператором A .

Доказательство. (i). Если BPk = PkB для любого k = 1, . . . , r, то

r	r	r
X	X	Xk
BA = B kPk = kBPk = kPkB = AB
k=1	k=1	=1

Обратно, если BA = AB, то Bp(A) = p(A)B для любого полинома p(t), в частности, для всех полиномов

pk(t) = t j ; k = 1; : : : ; r:

Y

j6=k k j

В силу утверждения 5.2.8, pk(A) = Pk, и потому

BPk = Bpk(A) = pk(A)B = PkB; k = 1; : : : ; r:

123

(ii).		Так как A =			r	kPk
					k=1
тора	A	, то, в силу	пункта (i), BA
				P

BA = A B.

спектральное разложение опера-

=BA тогда и только когда, когда

Следствие 5.4.2. Пусть A 2 B(H) нормальный оператор. Оператор B 2 B(H) коммутирует с оператором A тогда и только тогда, когда он коммутирует с каждым оператором f(A) для любой функции f : C ! C, определенной на спектре (A) оператора A.

Доказательство. Достаточность утверждения очевидна. Докажем необходимость.

r	kPk спектральное разложение оператора A. Тогда
Пусть A = Pk=1

r

X

f(A) = f( k)Pk:

k=1

Если оператор B 2 B(H) коммутирует с оператором A, то по утверждению 5.4.1(i) он коммутирует с каждым ортопроектором Pk, k = 1, . . . , r и потому

r

r

XX

f(A)B =	f( k)Pk B =		f( k)PkB =
	k=1	k=1
	r		r
	X		X
=	f( k)BPk = B		f( k)Pk = Bf(A):
	k=1		k=1

Упражнение 5.4.3. Пусть A; B 2 B(H) нормальные операторы.

Показать, что если [A; B] = 0, то [f(A); g(B)] = 0 для любой функции f : C ! C, определенной на спектре (A) оператора A, и для любой функции g : C ! C, определенной на спектре (B) оператора B.

Привести пример функции f : C ! C, определенной на спектре (A) оператора A, и функции g : C ! C, определенной на спектре (B) оператора B, для которых [f(A); g(B)] = 0, но [A; B] 6= 0.

Показать, что если [f(A); g(B)] = 0, где f : C ! C монотонная функция, определенная на спектре (A) оператора A, а g : C ! C монотонная функция, определенной на спектре (B) оператора B, то [A; B] = 0.

Рассмотрим полином от двух переменных

p(z; w) = 00 + 10z + 01w + 20z2 + 11zw + 02w2 + + nkznwk;

124

и для операторов A, B 2 B(H) положим

p(A; B) = 00I + 10A + 01B + 20A2 + 11AB + 02B2 + + nkAnBk:

Для некоммутирующих операторов можно определять оператор p(A; B) также по-другому, например, полагая

p(A; B) = 00I + 10A + 01B + 20A2 + 11BA + 02B2 + + nkBkAn;

или выбирая симетризованные однородные полиномы, но в случае коммутирующих операторов A и B они все приводят к одинаковому результату.

Пусть A и B нормальные коммутирующие операторы и

r

s

XX

A = iPi; B = jQj

i=1 j=1

их спектральные разложения. Для каждой функции двух переменных

F : C C ! C

определим оператор

r	s
Xi	X
F (A; B) =	F ( i; j)PiQj:

=1 j=1

Так как операторы A и B коммутируют, то коммутируют и ортопроекторы Pi и Qj. Поэтому операторы PiQj являются ортопроекторами для любых i = 1, . . . , r, j = 1, . . . , s, и F (A; B) является нормальным оператором, который называется функцией ок коммутирующих нормальных операторов

A и B.

Рассмотрим нормальный оператор

r	s	r	s
XX		Xi	X
C =	[(i 1)s + j]PiQj =		ijPiQj;
i=1 j=1		=1 j=1

где ij = (i 1)s + j. Тогда для полиномов

pij(t) =	t kl			=	t (k 1)s l
k6=Y6	ij		kl		6Y6		k)s		l + j
i;l=j					k=i;l=j

125

получим, что pij(C) = PiQj; а для полинома

r	s		t kl
p(t) =								F ( i; j) =
XXk6=Y6			ij				kl
i=1 j=1		i;l=j
r	s		t (k 1)s l
=										F ( i; j)
XXk6=Y6			(i			k)s			l + j
i=1 j=1		i;l=j
получим, что p(C) = F (A; B):
Теорема 5.4.4. Пусть A; B 2 B(H)						нормальные операторы. Опера-

торы A и B коммутируют тогда и только тогда, когда существует нормальный оператор C 2 B(H) и функции f; g : C ! C такие, что

A = f(C); B = g(C):

При этом существует такая функция h: C C ! C, что C = h(A; B).

Доказательство. Необходимость. Пусть A и B нормальные коммутирующие операторы и

r s

XX

A = iPi; B = jQj

i=1 j=1

их спектральные разложения. Тогда коммутируют и ортопроекторы Pi и Qj:

PiQj = QjPi; i = 1; : : : ; r; j = 1; : : : ; s:

Рассмотрим произвольную функцию h: C C ! C, все значения h( i; j) которой различны, i = 1, . . . , r, j = 1, . . . , s. Тогда оператор

		r		s
		Xi		X
C = h(A; B) =				h( i; j)PiQj
		=1 j=1
нормален. Выберем функции		f, g : C ! C			так, чтобы для любых
i = 1, . . . , r, j = 1, . . . , s выполнялись равенства:
f(h( i; j)) = i;				g(h( i; j)) = j:
Тогда
r	s			r	s
XX				Xi	X
f(C) =	f(h( i; j))PiQj =				iPiQj =
i=1 j=1				=1 j=1
r	s			r
Xi	X		X
= iPi		Qj = iPi = A;
=1	j=1		i=1

126

и

r	s	r	s
XX		Xi	X
g(C) =	g(h( i; j))PiQj =		jPiQj =
i=1 j=1		=1 j=1
r	s	s
Xi	X	X
= Pi		jQj = jQj = B:
=1	j=1	j=1

Достаточность. Пусть существует нормальный оператор C и функции f; g : C ! C такие, что A = f(C), B = g(C) и спектральное разложение оператора C имеет вид:

l
Xk
C = kRk:
=1
Тогда
l	l
Xk	X
A = f(C) = f( k)Rk; B = g(C) =	g( k)Rk;
=1	k=1
и поэтому операторы A и B коммутируют.

Замечание 5.4.5. Отметим, что функции f, g могут выбираться как полиномы одной комплексной переменной, а функция h как полином двух комплексных переменных.

Теорема 5.4.6. Оператор A 2 B(H) является нормальным тогда и только тогда, когда для любого оператора B 2 B(H) следующие условия эквивалентны:

(i)AB = BA;

(ii)A B = BA .

Доказательство. Пусть A нормальный оператор. Тогда, в силу утверждения 5.4.1(ii), оператор B 2 B(H) коммутирует с оператором A тогда и только тогда, когда он коммутирует с оператором A .

Обратно, пусть оператор B 2 B(H) коммутирует с оператором A тогда и только тогда, когда он коммутирует с оператором A . Тогда, полагая B = A, получим, что AA = A A, то есть оператор A нормален.

127

Глава 6

Несамосопряженные операторы

В предыдущих главах было показано, что для классов самосопряженных, унитарных и более широкого класса нормальных операторов существуют спектральные разложения, позволяющие указать для таких операторов каноническую форму. А именно, было показано, что для таких операторов существует собственный ортонормированный базис, или другими словами, что матрица произвольного нормального (самосопряженного, унитарного) оператора унитарными преобразованиями может быть сведена к диагональному виду.

Матрицу произвольного оператора преобразованиями подобия можно свести к нормальной жордановой форме, которая является канонической (однозначно определенной с точностью до перестановки жордановых клеток) формой в случае, когда в линейном пространстве нет скалярного произведения или по тем или иным соображениям при приведении матрицы не нужно следить за унитарностью преобразований.

Вслучае же, когда допускаются только преобразования, сохраняющие длины векторов и углы между ними (т.е. унитарные преобразования), задача приведения матрицы линейного оператора к канонической форме становится чрезвычайно сложной и в настоящее время не имеет удовлетворительного решения. (Более того, эта задача используется в качестве эталона сложности для классификационных задач подобного типа является стандартной “дикой” задачей).

Вэтой главе мы изучим некоторые общие свойства операторов, которые не приводят к спектральным разложениям, но оказываются полезными при решении различных задач.

Полезным представлением для оператора является его полярное разложение, являющееся операторным аналогом полярного разложения ком-

128

плексного числа в произведение аргумента и модуля. В операторном случае в качестве аргумента (фазы) выступает частично изометрический оператор, поэтому изложение материала о полярных разложениях операторов (параграф 6.2) мы начнем с определения и изучения свойств частично изометрических операторов (параграф 6.1).

Изучение частичных изометрий, любая степень которых опять есть частичной изометрией приводит к выделению класса центрированных частичных изометрий и общего класса центрированных операторов, общие свойства которых изложены в параграфе 6.3.

В параграфе 6.4 мы покажем, как унитарными преобразованиями матрицу произвольного оператора можно привести к верхнетреугольной форме. Такое приведение неоднозначно, поэтому треугольная форма не может считаться канонической формой матрицы линейного оператора, вместе с тем эта форма часто оказывается удобной в приложениях.

Параграф 6.5 посвящен изложению материала об s-числах линейного оператора, которые могут использоваться при оценке модулей собственных значений оператора и участвуют в представлении Шмидта для произвольного линейного оператора.

6.1Частичные изометрии

6.1.1Частичные изометрии и их свойства

Определение 6.1.1. Оператор V 2 B(H) называется частично изометрическим, если для некоторого разложения H = M M?

(

kV xk =

kxk; x 2 M;

0; x 2 M?:

Подпространство M называется начальной областью или областью изометричности, а подпространство

N = Ran(V ) = fV x : x 2 Hg

конечной областью частичной изометрии V . Ортопроектор PM называется начальным ортопроектором, а PN конечным ортопроектором

частичной изометрии V .

Теорема 6.1.2. Если V частично изометрический оператор с начальной областью M и конечной областью N, то

129

(i)V V = PM;

(ii)V частично изометрический оператор начальной областью N и конечной областью M;

(iii)V V = PN.

Доказательство. (i). Пусть V частично изометрический оператор с областью изометричности M и конечной областью N. Тогда для любого x 2 H

(V V x; x) = (V x; V x) = (V (PM + PM?)x; V (PM + PM?)x) =

=(V PMx; V PMx) = kV PMxk2 = kPMxk2 =

=(PMx; PMx) = (PMx; x):

Следовательно, V V = PM.

(ii). Если y 2 N = fV x : x 2 Hg, y 6= 0, то существует вектор x 2 M такой, что y = V x. Тогда, поскольку по доказанному выше V V = PM, имеем

V y = V V x = PMx

и kV yk = kxk = kV xk = kyk, т.е. оператор V изометрический на N. Так как, с другой стороны,

Ker V = H Ran V = H N;

Ran V = H Ker V = H M? = M;

то		k		(0; y 2 N?;
k
	V y		=	kyk; y 2 N;

и V частично изометрический оператор с начальной областью M и конечной областью N.

Пункт (iii) следует из (i) и (ii).

Теорема 6.1.3. Следующие условия эквивалентны:

(i)V частично изометрический оператор;

(ii)V V = P ортопроектор;

(iii)V V V = V .

130