Kon_lin_an3

Этот вектор yM называется ортогональной проекцией вектора x на подпространство H.

Пусть M подпространство в H. Легко видеть, что множество

M? = fx 2 H: (x; y) = 0 для любого y 2 Mg

тоже является в подпространством в H.

Определение 1.3.4. Подпространство M? называется ортогональным дополнением к подпространству M.

Замечание 1.3.5. Если N подпространство H, такое, что N M?, то прямую сумму подпространств M и N обозначают

M+N = M N

и называют ортогональной суммой подпространств M и N.

Теорема 1.3.6. Если M подпространство в H, то

M?? = (M?)? = M

и H = M M?:

Доказательство. Пусть fe1; : : : ; emg ортонормированный базис в M и

z 2 H. Если x = Pmi=1(z; ei)ei, то x 2 M и, в силу утверждения 1.2.5, y = z x ? M. Следовательно, z = x + y, где x 2 M, y 2 M?.

Очевидно, M \ M? = f0g. Далее,

(z; x) = (x + y; x) = (x; x) = kxk2; (z; y) = (x + y; y) = (y; y) = kyk2:

Поэтому, если z 2 M??, то (z; y) = 0, откуда y = 0 и потому z = x + y = x 2 M. Так как, очевидно, M M??, то M?? = M.

Упражнение 1.3.7. Пусть M и N подпространства в H. Тогда

(i)(M + N)? = M? \ N?;

(ii)(M \ N)? = M? + N?;

(iii)dim M + dim M? = dim H.

Обозначим через H векторное пространство, сопряженное к H, т.е. пространство всех линейных функционалов на H.

21

Определение 1.3.8. Взаимно однозначное отображение

: H 7!H

называется сопряженным изоморфизмом, если

(i) (x + y) = (x) + (y), x, y 2 H;

(ii) ( x) = (x), x 2 H, 2 C.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1.3.9 (теорема Рисса). Отображение

H 3 y ! fy 2 H ;

определяемое равенством

(y)(x) = fy(x) = (x; y)

для любого x 2 H, является сопряженным изоморфизмом.

Доказательство. 1). Пусть y 2 H и fy(x) = (x; y). Тогда

fy(x1 + x2) = (x1 + x2; y) = (x1; y) + (x2; y) = fy(x1) + fy(x2); fy( x) = ( x; y) = (x; y) = fy(x):

Поэтому fy линейный функционал на H.

2). Пусть f 2 H . Покажем, что тогда существует такой вектор y 2 H, что f(x) = fy(x) = (x; y) для любого x 2 H.

Если f = 0, то достаточно положить y = 0.

Если f 6= 0, то рассмотрим линейное подпространство

M = Ker f = fx 2 H : f(x) = 0g:

Выберем некоторый вектор z 2 M?, kzk = 1, и положим

y = f(z)z:

Ясно, что y 2 M? и

(z; y) = (z; f(z)z) = f(z)(z; z) = f(z):

Если x 2 M, то

(x; y) = (x; f(z)z) = 0 = f(x):

22

Для любого x 2 H положим:

f(x) z0 = x f(z) z:

Так как

f(x)

f(z0) = f(x) f(z) f(z) = 0;

то z0 2 M. Тогда

f(x) x = z0 + f(z) z

и

	f(x)			f(x)		f(x)
(x; y) = (z0 +		z; y) = (z0	; y) +		(z; y) = 0 +		f(z) = f(x):
	f(z)			f(z)		f(z)

3). Покажем, что для любого f 2 H существует единственный y 2 H, что f(x) = (x; y) для любого x 2 H. Действительно, если y1, y2 такие элементы, что

f(x) = (x; y1) = (x; y2)

то (x; y1 y2) для любого x 2 H. Но тогда y1 = y2. 4). Осталось заметить, что

( y)(x) = (x; y) = (x; y) = (y)(x);

то есть f y = fy.

Замечание 1.3.10. В пространстве H можно ввести скалярное произведение

(fy1 ; fy2 ) = (y1; y2);

которое превращает H в гильбертово пространство.

1.4Системы векторов, матрицы Грама

1.4.1Определитель Грама и его основные свойства

Пусть fx1; : : : ; xmg система векторов n-мерного гильбертова пространства H.

23

Определение 1.4.1. Матрица
[ (x1; : : : ; xm)] =	0(x1;...x1) :.:.:.	(x1;...xm) 1
	B(xm; x1) : : : (xm; xm)C
	@	A

называется матрицей Грама системы векторов fx1; : : : ; xmg, а ее определитель j (x1; : : : ; xm)j определителем Грама.

Теорема 1.4.2. Для того, чтобы система векторов fx1; : : : ; xmg n-мер- ного гильбертова пространства H была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы определитель Грама j (x1; : : : ; xm)j этой системы векторов был равен нулю.

Доказательство. Пусть векторы fx1; : : : ; xmg линейно зависимы. Тогда существую такие не равные одновременно нулю числа f 1; : : : ; mg, что

1x1 + + mxm = 0:

Умножая последовательно обе части этого равенства слева скалярно, соответственно на x1, . . . , xm, получим:

8	(x1; x1) 1 + + (x1; xm) m = 0;			(1.4)
<(xm; x1) 1 + + (xm; xm) m = 0:
:
Рассматривая числа f 1		; : : : ; mg как ненулевое решение системы однород-

ных линейных уравнений с определителем

(x1; x1)

j (x1; : : : ; xm)j = ...

(xm; x1)

: : : (x1; xm)

... ... ;

: : : (xm; xm)

получаем, что определитель Грама j (x1; : : : ; xm)j = 0.

Обратно, пусть определитель Грама j (x1; : : : ; xm)j = 0. Тогда систе-

ма уравнений (1.4) имеет ненулевое решение f 1; : : : ; mg. Систему (1.4)
можно переписать в виде
8	(x1; 1x1 + + mxm) = 0;		(1.5)
<(xm;		1x1 + + mxm) = 0:
:

24

Умножая почленно эти равенства соответственно на 1, . . . , m и складывая, получим:

( 1x1 + + mxm; 1x1 + + mxm) = 0:

Значит,

k 1x1 + + mxmk = 0;

откуда 1x1 + + mxm = 0. Следовательно, векторы fx1, . . . , xmg линейно зависимы.

Утверждение 1.4.3. Любая матрица Грама обладает следующими свойствами.

(i)Матрица Грама [ ] = [ (x1; : : : ; xm)] = ( ij)mi;j=1 эрмитово симметрична, т.е. ji = ij, i, j = 1, . . . , m.

(ii)Матрица Грама [ (x1; : : : ; xm)] = ( ij)mi;j=1 неотрицательно опреде-

лена, т.е.

mm

XX

ij i j > 0

i=1 j=1

для любого вектора y = f 1; : : : ; mg 2 Cm.

(iii)Если некоторый главный минор определителя Грама j (x1; : : : ; xm)j равен нулю, то равен нулю и сам определитель Грама.

Доказательство. (i). Так как ij = (xi; xj), то

ji = (xj; xi) = (xi; xj) = ij:

(ii). Рассмотрим вектор

		m
		Xi
		x =	ixi:
		=1
Тогда
m	m		m m			m m
	X				XX
Xi		XX
0 (x; x) =	ixi;	jxj =		i j(xi; xj) =			i j ij:
=1	j=1	i=1 j=1			i=1 j=1
Следовательно, матрица Грама [ (x1			; : : : ; xm)] = ( ij)m			неотрицательно
				i;j=1

определена.

(iii). Главный минор определителя Грама является определителем Грама для части векторов системы fx1; : : : ; xmg. Поэтому если он равен нулю, то эта подсистема векторов линейно зависима. Но тогда линейно зависима и вся система fx1; : : : ; xmg. Следовательно, j (x1; x : : : ; xm)j = 0:

25

Замечание 1.4.4. Если система векторов fx1; : : : ; xmg ортонормированная, то определитель Грама j (x1; : : : ; xm)j = 1.

1.4.2Ортогональное проектирование на подпространство

Рассмотрим в n-мерном гильбертовом пространстве H m-мерное подпространство M и вектор x, не принадлежащий M. Как следует из утверждения 1.2.5, вектор x можно представить в виде суммы

x = xM + xN;

где вектор xM 2 M, а вектор xN 2 M?. Так как H = M M? (см. теорему 1.3.6), то такое разложение единственное. Построим векторы xM и xN с помощью определителя Грама.

Пусть fx1; : : : ; xmg базис подпространства M. Тогда определитель Грама j (x1; : : : ; xm)j =6 0. Будем искать вектор xM 2 M в виде:

xM = 1x1 + + mxm;

где f 1; : : : ; mg некоторые комплексные числа. Для определения этих чисел будем исходить из соотношений:

(xN; xi) = (x xM; xi) = 0; i = 1; : : : ; m:

Получим систему уравнений:

8

> (x1; x1) 1 + + (xm; x1) m + (x; x1)( 1) = 0;

>

< : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

>(x1; xm) 1 + + (xm; xm) m + (x; xm)( 1) = 0;

>

:x1 1 + + xm m + xM( 1) = 0:

Рассматривая эту систему равенств как систему линейных однородных уравнений, имеющую ненулевое решение

f 1; : : : ; m; 1g;

получим, что определитель матрицы коэффициентов этой системы равен нулю, т.е.

	(x1;...x1) :.:.:.		(xm...; x1) (x;...x1)			= 0;
(x1; xm) : : :			(xm; xm) (x; xm)
	x1	: : :	xm	xM

26

а значит и определитель транспонированной матрицы равен нулю:

		(x1;...x1)	:.:.:.	(x1;...xm)	x...1		= 0:
			: : :	(xm; xm) xm
	(xm; x1)
		(x; x1)	: : :	(x; xm)	xM
Поэтому

(x1;...x1) :.:.:.

(x1;...xm) x...1

(xm; x1) : : :

(xm; xm) xm

(x; x1) : : : (x; xm)

0

xM =

(x1; x1) : : :

(x1; xm)

...

...

...

(xm; x1) : : :

(xm; xm)

или

x1

...

xm

(x; x1) : : :

(x; xm) 0

xM

=

:

(x1

; : : : ; xm)

j

j

Наконец, находим вектор xN:

x...1

xm

(x; x1) : : :

(x; xm)

x

xN = x

xM

=

j

(x1; : : : ; xm)

j

Вычислим длину вектора xN = x xM:

kxN k2 = (xN ; xN ) = (xN ; x xM) = (xN ; x) =

(x1...; x)

(xm; x)

(x; x1) : : :

(x; xm)

(x; x)

(x1

; : : : ; xm; x)

=

=

j

j

:

j

(x1

; : : : ; xm)

j

j

(x1; : : : ; xm)

j

27

Определение 1.4.5. Вектор xM называется ортогональной проекцией

вектора x на подпространство M, а вектор xN проектирующим вектором.

Замечание 1.4.6. Длина вектора xN имеет следующую геометрическую интерпретацию. Если на векторах fx1; : : : ; xm; xg построить (m + 1)-мерный параллелепипед, то kxN k будет равна длине высоты этого параллелепипеда, опущенной из конца вектора x на m-мерное основание M.

Утверждение 1.4.7. Если y произвольный вектор подпространства M, отличный от xM, то

kx yk > kx xMk

Доказательство. Так как y, xM 2 M, то xM y 2 M, и следовательно,

(xM y; xN ) = (xM y; x xM) = 0:

Поэтому

kx yk2 = k[x xM] + [xM y]k2 =

=([x xM] + [xM y]; [x xM] + [xM y]) =

=(x xM; x xM) + (xM y; xM y) =

=kx xMk2 + kxM yk2 > kx xMk2;

так как xM 6= y. Следовательно,

kx yk > kx xMk:

Замечание 1.4.8. В приведенных выше рассуждениях не требовалось ортонормированности базиса fx1; : : : ; xmg подпространства M. В случае ортонормированного базиса результаты сравнимы с с теоремой 1.3.2.

28

Глава 2

Линейные операторы в H и их матрицы

2.1Линейные операторы в H

2.1.1Линейные операторы в H

Пусть H гильбертово пространство.

Определение 2.1.1. Отображение A: H ! H называется линейным оператором, если

A( x + y) = Ax + Ay:

для любых x, y 2 H, , 2 C.

Обозначим через B(H) множество всех линейных операторов в гильбертовом пространстве H. В B(H) определены следующие алгебраические операции:

(A + B)x = Ax + Bx; A; B 2 B(H); x 2 H; ( A)x = Ax; A 2 B(H); 2 C; x 2 H; (AB)x = A(Bx); A; B 2 B(H); x 2 H:

Относительно введенных операций B(H) является алгеброй с единицей. Роль единицы в B(H) играет тождественный оператор I:

Ix = x;	x 2 H;
а роль нуля нулевой оператор:
0x = 0;	x 2 H:

29

Заметим, что если dim H > 1, то алгебра B(H) некоммутативная, так как в общем случае AB 6= BA. Операторы A и B из B(H) называются

коммутирующими, если AB = BA. Оператор

[A; B] = AB BA

называется коммутатором операторов A и B.

Степень оператора A 2 B(H) определяется обычным образом:

A0 = I; A1 = A; A2 = AA; : : : ; Ak+1 = AkA:

Легко видеть, что для любых натуральных m, n

Am+n = AmAn:

Если A 2 B(H), то для любого многочлена

p(z) = 0 + 1z + 2z2 + + kzk 2 P[C]

определен оператор

p(A) = 0I + 1A + 2A2 + + kAk 2 B(H):

Упражнение 2.1.2. Пусть A; B 2 B(H). Если [A; B] = 0, то для любых многочленов p(z), q(z) 2 P[C] имеет место:

[p(A); q(B)] = 0:

Утверждение 2.1.3 (Поляризационное тождество). Для любого оператора A 2 B(H) и для любых x, y 2 H имеет место тождество:

(Ax; y) = 14 [(A(x + y); x + y) (A(x y); x y)]+

+ i[(A(x + iy); x + iy) (A(x iy); x iy)] :

Доказательство.

(A(x + y); x + y) = (Ax; x) + (Ay; x) + (Ax; y) + (Ay; y);

(A(x y); x y) = (Ax; x) (Ay; x) (Ax; y) + (Ay; y);

(A(x + iy); x + iy) = (Ax; x) + i(Ay; x) i(Ax; y) + (Ay; y);

(A(x iy); x iy) = (Ax; x) i(Ay; x) + i(Ax; y) + (Ay; y):

30