Kon_lin_an3

s2k(A) = k(A A), k = 1, . . . , n;

Для любого 2 C справедливо sk( A) = j jsk(A), k = 1, . . . , n.

Утверждение 6.5.4. s-числа оператора A обладают следующими свойствами:

(i) s-числа операторов A и A совпадают,
sk(A) = sk(A );	k = 1; : : : ; n;	(6.5)
(ii) Для любого оператора B 2 B(H) имеют место неравенства:		(6.6)
sk(BA) kBksk(A);	k = 1; : : : ; n;
sk(AB) kBksk(A);	k = 1; : : : ; n:	(6.7)

Доказательство. Первое свойство мы получим ниже (следствие 6.5.8). Докажем второе свойство.

По определению,

s2k(BA) = k(A B BA); s2k(A) = k(A A):

С другой стороны,

(A B BAx; x) = kBAxk2 kBk2kAxk2 = kBk2(A Ax; x):

Поэтому

A B BA kBk2A A:

Следовательно, в силу утверждения 3.7.23,

s2k(BA) = k(A B BA) k(kBk2A A) = kBk2 k(A A) = kBk2s2k(A);

откуда

sk(BA) kBksk(A); k = 1; : : : ; n:

Далее, используя свойство (6.5) и приведенные выше рассуждения, по-

лучим:

sk(AB) = sk(B A ) kB k2sk(A ) = kBk2sk(A):

Упражнение 6.5.5. Показать, что

Знак равенства в (6.6) имеет место для всех k = 1, . . . , n в том и только в том случае, когда оператор B является изометрическим на

Ran(A);

Знак равенства в (6.7) имеет место для всех k = 1, . . . , n в том и только в том случае, когда оператор B является изометрическим на Ran(A ).

151

6.5.2Разложение Шмидта линейного оператора

Теорема 6.5.6 (Разложение Шмидта). Для любого линейного оператора A 2 B(H) существуют два ортонормированных базиса fe1; : : : ; eng и fe01; : : : ; e0ng гильбертова пространства H такие, что оператор A пред-

ставим в виде:

n

X

Ax = sk(A)(x; ek)e0k; x 2 H:

k=1

Доказательство. Пусть оператор A 2 B(H), A = UjAj его полярное разложение с унитарным оператором U 2 U(H), и fe1; : : : ; eng ортонормированный базис гильбертова пространства H, состоящий из собственных векторов оператора jAj, отвечающих собственным значениямk(jAj) = sk(A). Тогда для любого x 2 H имеем (см. замечание 3.4.2):

n

X

jAjx = sk(A)(x; ek)ek;

k=1

т.е.

n

X

jAj = sk(A)( ; ek)ek:

k=1

Применяя к обеим частям этого равенства оператор U, получим:

n

X

A = UjAj = sk(A)( ; ek)Uek:

k=1

Так как U унитарный оператор, то fUe1; : : : ; Ueng тоже ортонормированный базис H. Полагая Uek = e0k, k = 1, . . . , n, получим:

n
Xk		2 H:
Ax = sk(A)(x; ek)ek0 ; x
=1
Следствие 6.5.7. Если
	n
	Xk	(6.8)
A =	sk(A)( ; ek)ek0 ;
	=1
то	n
	Xk	(6.9)
A =	sk(A)( ; ek0 )ek:
	=1

152

Доказательство. Так как

	n	n
(Ax; y) =	k=1 sk	(A)(x; ek)ek0 ; y = k=1 sk(A)(x; ek)(ek0	; y) =
=	Xn	X
	x; k=1 sk(A)(y; ek0 )ek = (x; A y);
то	X
		n
		Xk
		A = sk(A)( ; ek0 )ek:
		=1
Следствие 6.5.8. Для любого оператора A 2 B(H) выполнено
	sk(A) = sk(A ); k = 1; : : : ; n:

Доказательство. Согласно (6.8) и (6.9) для любого j = 1, . . . , n имеем:

	n		= A (sj(A)ej0 ) =
A Aej = A	k=1 sk(A)(ej; ek)ek0
	X	n
		Xk
= sj(A)A (ej0 ) = sj(A)			sk(A)(ej0 ; ek0 )ek = sj2(A)ej:
		=1

Аналогично, AA e0j = s2j (A)e0j. Следовательно, sj(A) = sj(A ).

Теорема 6.5.9. Пусть оператор A 2 B(H) и Rk множество всех операторов C из B(H) ранга rg C k, k = 0; 1; : : : ; n 1. Тогда

sk+1(A) = min kA Ck:

C2Rk

Доказательство. Пусть C 2 Rk. Тогда из разложение Шмидта оператора C

k

X

C = sj(C)( ; gj)gj0

j=1

следует, что dim(H Ker C) k, т.е. подпространство Ker C 2 Lk+1. Поэтому, в силу теоремы 3.7.22,

sk2+1(A) = k+1(A A) =	min	max	(A Ax; x)		=	min max	(Ax; Ax)
							(x; x)
	L2Lk+1 x2Lnf0g		(x; x)			L2Lk+1 x2Lnf0g
= min max	kAxk2	max		kAxk2		;
	kxk2			kxk2
L2Lk+1 x2Lnf0g		x2Ker Cnf0g

153

откуда

kAxk

s

k+1

(A)

x

max

0

:

Ker C

k

x

k

Для любого x 2 Ker C имеем:

2

nf g

kAxk = k(A C)xk kA Ck kxk:

Поэтому

kA Ck kxk

s

k+1

(A)

x

max

=

k

A

C

k

:

Ker C

0

g

k

x

k

Следовательно,

2

nf

s

k+1(

A

min

A

C

k

:

) C2Rk k

С другой стороны, если разложение Шмидта оператора A имеет вид

n

sj(A)( ; ej)ej0

A =

=1

и

Xj

k

sj(A)( ; ej)ej0 ;

Ck =

=1

то Ck 2 Rk,

Xj

n

A Ck =

X sj(A)( ; ej)ej0

j=k+1

и kA Ckk = sk+1(A): Следовательно, sk+1(A) = min kA Ck:

C2Rk

Замечание 6.5.10. Формула

sk+1(A) = min kA Ck:

C2Rk

означает, что sk+1(A) является расстоянием оператора A до множества Rk.

Утверждение 6.5.11. Для s-чисел выполнены следующие свойства.

(i) Если A; T 2 B(H) и T 2 Rr, то

sk+r(A) sk(A + T ) sk r(A); k + r n; k r 1;

(ii) Если A; B 2 B(H), то

sk+r+1(A + B) sk+1(A) + sr+1(B); k + r n 1;

154

(iii) Если A; B 2 B(H), то

sk+r+1(AB) sk+1(A)sr+1(B); k + r n 1;

(iv) Если A; B 2 B(H), то

jsk(A) sk(B)j kA Bk; k = 1; : : : ; n:

Доказательство. (i). Пусть

n
Xj	sj(A)( ; ej)ej0
A =
=1
разложение Шмидта оператора A и
k
Xj	sj(A)( ; ej)ej0 :
Ck =
=1
Тогда Ck 2 Rk, T + Ck 2 Rk+r и
sk+1(A) = kA Ckk = k(A + T ) (T + Ck)k sk+r+1(A + T );
откуда
sk(A + T ) sk r(A);
где k r 1. Полагая A1 = A + T и T1 = T , получим:
sk+1(A + T ) = sk+1(A1) sk+r+1(A1 + T1) = sk+r+1(A);

откуда sk+r(A) sk(A + T ); где k + r n.

(ii). Пусть разложения Шмидта операторов A и B имеют вид:

n		n
X	Xj
A =	sj(A)( ; ej)ej0 ; B =	sj(B)( ; fj)fj0;
j=1		=1
и
k		r
X	sj(A)( ; ej)ej0 ; Dr =	Xj
Ck =		sj(B)( ; fj)fj0:
j=1		=1
Тогда Ck 2 Rk, Dr 2 Rr,
n			n
X	sj(A)( ; ej)ej0 ; B Dr =		X
A Ck =			sj(A)( ; fj)fj0;
j=k+1			j=r+1

155

и

kA Ckk = sk+1(A); kB Drk = sr+1(B):

Следовательно, Ck + Dr 2 Rk+r и

sk+r+1 k(A + B) (Ck + Dr)k kA Ckk+ kB Drk = sk+1(A) + sr+1(B);

где k + r n 1.

(iii). Рассмотрим операторы Ck и Dr, построенные в доказательстве пункта (ii). Тогда

(A Ck)(B Dr) = AB ADr Ck(B Dr);

и оператор ADr + Ck(B Dr) имеет ранг, не превосходящий k + r. Следо-

вательно,

sk+r+1(AB) kAB ADr Ck(B Dr)k

где k + r n 1.

kA CkkkB Drk = sk+1(A)sr+1(B);

(iv). В силу теоремы 6.5.9,

k

C2Rk 1 k

k

s

k(

A

) = C2Rk 1 k

A

C

=

(B

C) + (A

B)

min

min

C2Rk 1 k

B

C

k

+

k

A

B

k

k

(B) +

k

A

k

:

min

= s

B

Следовательно,

sk(A) sk(B) kA Bk:

Аналогично,

sk(B) sk(A) kB Ak = kA Bk:

Таким образом,

jsk(A) sk(B)j kA Bk:

Замечание 6.5.12. Отметим некоторые факты, относящиеся к s-числам.

(i) Если A и B неотрицательные операторы, то

sk(A) = k(A); sk(B) = k(B); sk(A + B) = k(A + B); k = 1; : : : ; n:

Поэтому частным случаем формулы (ii) утверждения 6.5.11 является известное соотношение Г.Вейля

k+r+1(A + B) k+1(A) + r+1(B);

где k + r n 1.

156

(ii)Если A и B коммутирующие неотрицательные операторы, то оператор AB тоже неотрицательный (см. теорему 3.7.11(iv)). Поэтому частным случаем формулы (iii) утверждения 6.5.11 является соотношение

k+r+1(AB) k+1(A) r+1(B);

где k + r n 1.

(iii) Если A и B самосопряженные операторы, то

A = A+ A ; B = B+ B :

Поэтому

A + B = (A+ + B+) (A + B ):

Тогда из утверждения 3.7.25 и пункта (i) следует, что

k+r+1(A + B) k+1(A) + r+1(B);

где k + r n 1.

157

Глава 7

-Алгебры. Инволюции в алгебрах B(H) и Mn(C)

7.1Понятие -алгебры. -Идеалы

Пусть A алгебра над полем C.

Определение 7.1.1. Инволюцией (или операцией сопряжения) в алгебре A называется отображение

								: A ! A;
такое, что:
	(x ) = x		,		x	2	A	;
(x + y) = x + y , x; y 2 A;
( x) =				x ,		x 2 A; 2 C;
(xy) = y x ,							x; y 2 A.

Пара (A; ) называется алгеброй с инволюцией ( -алгеброй, инволютивной алгеброй).

Упражнение 7.1.2. Пусть (A; ) алгебра с инволюцией. Доказать, что

0 = 0;

Если e единица алгебры A, то e = e;

Если элемент x 2 A обратим, то x тоже обратим и (x ) 1 = (x 1) :

158

Пример 7.1.3. Приведем примеры алгебр с инволюцией:

Алгебра C комплексных чисел является алгеброй с инволюцией относительно обычного комплексного сопряжения:

: z ! z; z 2 C

Алгебра B(H) является алгеброй с инволюцией относительно перехода к сопряженному оператору:

: A ! A :

Алгебра Mn(C) является алгеброй с инволюцией относительно перехода к сопряженной матрице:

! >

:[A] [A] :

Определение 7.1.4. Алгебра с инволюцией (A; ) называется -изоморф- ной алгебре с инволюцией (B; ?), если существует изоморфизм алгебр

: A ! B

такой, что

(A ) = ( (A))?; A 2 A:

Теорема 7.1.5. Пусть dim H = n и fe1; : : : ; eng ортонормированный базис гильбертова пространства H. Тогда отображение

: A ! [A]

есть -изоморфизм алгебр c инволюцией (B(H); ) и (Mn(C); ).

Доказательство. В силу теоремы I(L).3.2.7, является изоморфизмом алгебр B(H) и Mn(C), т.е. для любых A, B 2 B(H), 2 C

(A + B) = [A + B] = [A] + [B] = (A) + (B);

( A) = [ A] = [A] = (A);

(AB) = [AB] = [A][B] = (A) (B)

Кроме того, поскольку
>	= ( (A)) :
(A ) = [A ] = [A]

то -изоморфизм инволютивных алгебр (B(H); ) и (Mn(C); ).

159

Напомним, что в алгебре Mn(C) базис образуют матрицы [Eij], у которых элемент aij = 1, а все остальные элементы равны нулю. Матрицы

[Eij] называются матричными единицами.

В следующем утверждении приведены свойства базиса f[Eij]gni;j=1 (см. I(L), x 3.3.1).

Утверждение 7.1.6. Базис матричных единиц обладает свойствами:

(i)[Eij][Ekl] = jk[Eil];

Pn

(ii)k=1[Ekk] = I;

(iii)[Ekk]2 = [Ekk];

(iv)[Ekk][Ejj] = kj[Ekj] = kj[Ekk] = kj[Ejj];

(v)Если k 6= r, то

X 2

[Ekr] + [Erk] +	[Eii] = I;
	i6=k;i6=r

(vi) Матричные единицы [Ekk] и [Err] подобны;

(vii) [Ejk] = [Ekj].

Базис f[Eij]gnij=1 алгебры Mn(C) является мультипликативным-базисом, т.е. произведение элементов базиса является элементом базиса и элемент, сопряженный к [Ejk], является элементом этого базиса.

Пример 7.1.7. Пусть J 2 B(H) отражение, т.е.

J = J 1 = J :

Если

J : A ! A J = JA J;

то (B(H); J ) является алгеброй с инволюцией .

Пример 7.1.8. Пусть [J] 2 Mn(C) такая матрица, что

[J] = [J] 1 = [J] :
Если		>
[J] : [A] ! [A]	[J]		[J];
		= [J][A]

то (Mn(C); [J]) является алгеброй с инволюцией.

160