- •Классическая статистическая физика Основные положения
- •Фазовое пространство системы частиц
- •Число степеней свободы
- •«Вымерзание» степеней свободы
- •Размерность фазового пространства
- •Число микросостояний в элементе объема Элемент объема фазового пространства равен
- •Объем и площадь n-мерной сферы
- •Фазовая траектория
- •Фазовый ансамбль
- •Теорема Лиувилля
- •, . (2.5)
- •Следствия теоремы Лиувилля
- •Пример. Идеальный газ двухатомных молекул
- •Микроканоническое распределение Основные понятия и определения
- •Распределение микросостояний по фазовому пространству
- •Энергетическая плотность состояний
- •Пример энергетической плотности состояний
- •Нормировочная постоянная микроканонического распределения
- •Микроканоническое распределение
- •Число микросостояний газа
- •Число микросостояний частицы
- •Энергетическая плотность состояний газа
- •Энергетическая плотность состояний частицы
- •Характеристики макросостояния
- •Вариация числа микросостояний при изменении объема
- •Статистический смысл давления
- •Соотношение между статистическими и термодинамическими характеристиками
- •Статистический смысл температуры
- •Статистический смысл энтропии
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Каноническое распределение
- •Распределение микросостояний газа по энергии
- •Макрохарактеристики и статистический интеграл
- •Принцип Ландауэра
- •Статистический интеграл поступательного движения
- •Статистический интеграл колебательного движения
- •Статистический интеграл вращательного движения
- •Теорема Бора – Ван-Лёвен
- •Распределение тепловой энергии по степеням свободы
- •Примеры
- •Вопросы коллоквиума
Принцип Ландауэра
Преобразование информации связано с затратой энергии. Найдем минимальную энергию, необходимую для стирания или для получения бита информации.
Рассмотрим ящик, содержащий одну частицу и имеющий в середине съемную перегородку, показанную на рис. 2.12, а. Частица находится в левой половине ящика. Далее перегородка вынимается, что соответствует рис. 2.12, б. Найдем изменение энтропии системы и минимальное количества энергии, связанной с этим процессом.
Для изолированных объемов фазовое пространство системы распадается на независимые подпространства. Формула Больцмана для энтропии (2.101)
получает вид
, (П.3.16)
где – вероятность обнаружения частицы в объеме с номеромi. Соответствующие вероятности приведены на рисунке.
а б
Рис. 2.12. Частица в сосуде с перегородкой (а), и без нее (б)
Для состояний на рис. 2.12 а и б находим
,
.
При изотермическом переходе между состояниями увеличение энтропии пропорционально количеству рассеянного тепла
,
откуда
. (П.3.17)
Состояние а соответствует биту информации о частице в системе. Переход к состоянию б приводит к потере этой информации. В результате выполняется принцип Ландауэра (1961 г.) – стирание бита информации приводит к рассеянию энергии в окружающую среду с температурой Т. При получаем 0,0178 эВ. Другие формулировки для
– энергия, затрачиваемая на создание бита информации;
– высота барьера, необходимая для разделения двух состояний электрона, или другого носителя информации;
– нижний предел для энергии реального процесса преобразования информации, как показано экспериментально (Nature (2012) 483, 187).
С учетом огромного количества преобразуемой компьютером информации результат (П.3.17) имеет важные технические приложения, поэтому получил собственное имя.
До Ландауэра результат (П.3.17) получил в 1949 г. фон Нейман – американский математик, заложивший принципы работы компьютера и математические основы квантовой механики.
Рольф Ландауэр (1927–1999) Джон фон Нейман (1903–1957)
Статистический интеграл поступательного движения
Идеальный газ из N микрочастиц находится в объеме V при температуре Т. Найдем статистический интеграл поступательного движения, внутреннюю энергию и давление газа.
1. Статистический интеграл частицы
Используем
,
,
и гамильтониан поступательного движения материальной точки
.
Подстановка дает
.
Учтено, что координаты и разные проекции импульса разделены. Использовано
.
Последний интеграл в квадратных скобках является интегралом Пуассона
,
и равен . Получаемстатистический интеграл поступательного движения частицы (2.22)
. (П.3.1)
С учетом
находим статистический интеграл поступательного движения газа
.
Внутренняя энергия газа
Вычисляем (2.26)
.
Из находим
,
тогда
, (П.3.1а)
средняя энергия частицы
. (П.3.1б)
Выполняется
,
. (П.3.1в)
Действительно, из
, ,
находим
,
С учетом (П.3.1)
,
получаем (П.3.1в).
Из (П.2.26)
и (П.3.1в)
получаем
,
.
Результат совпадает с выражением, найденным из микроканонического распределения, а также с известной формулой термодинамики идеального газа.
3. Давление газа
Из (2.98)
и (П.3.1в)
находим
и получаем уравнение идеального газа .