Статистический интеграл колебательного движения
Атомы двухатомной молекулы совершают взаимные колебания с частотой ω. Найдем статистический интеграл колебаний при температуре Т.
Молекулу считаем линейным гармоническим осциллятором с гамильтонианом
.
Подставляем в (2.17)
,
,
находим
.
Используем интеграл Пуассона
,
для интегралов получаем соответственно
,
.
В результате статистический интеграл колебательного движения молекулы из разных атомов (2.23)
.
(П.3.5)
Для одинаковых атомов с учетом их тождественности используем
,
и получаем
.
(П.3.5а)
Статистический интеграл вращательного движения
Молекула массой m состоит из двух одинаковых атомов, находящихся на расстоянии 2r и вращающихся вокруг центра масс. Найдем статистический интеграл вращений при температуре Т.
При вращении изменяется угловое положение атомов. Используем сферические координаты с центром в точке симметрии молекулы. На рисунке черный круг – атом, второй атом в симметричной точке не показан.
При
вращении изменяются углы φ и θ, молекула
движется по окружностям с радиусами,
соответственно,
иr.
Линейные скорости выражаем через угловые
скорости и радиусы окружностей
–вдоль
,
–вдоль
.
Обобщенными координатами фазового пространства являются углы φ и θ. Для нахождения обобщенных импульсов, соответствующих этим координатам, используем уравнение Лагранжа, связывающее импульс со скоростью:
.
Жозеф Луи Лагранж (1736–1865)
Функция Лагранжа
зависит
от координат и скоростей. При отсутствии
потенциальной энергии функция Лагранжа
равна кинетической энергией. Для
двухатомной молекулы с
моментом инерции
относительно прямой, перпендикулярной
к оси молекулы и проходящей через центр
масс, получаем
.
Откуда обобщенные импульсы
,
.
Угловые скорости выражаем через импульсы
,
.
Результаты подставляем в
,
и находим гамильтониан
.
Статистический интеграл частицы (2.17)
,
где
,
получает вид
.
Интегрируем вначале по , затем по p, p и в конце по θ. Интегралы по p и по p сводятся к интегралу Пуассона
,
находим
,
.
В результате статистический интеграл вращательного движения молекулы
.
(П.3.6)
Теорема Бора – Ван-Лёвен
Система зарядов, подчиняющаяся классической физике, не проявляет магнитных свойств. Теорему доказал Бор в 1911 г. и независимо мисс Хендрика Йоханна Ван Лёвен в 1919 г.
Нильс Бор (1885–1962)
Доказательство
Используем
гамильтониан системы зарядов
,
где
,
в электромагнитном поле
,
где
–векторный
потенциал магнитного поля в точке
нахождения заряда
,
учитывающий магнитное взаимодействие
заряда
;
–электрическая
потенциальная энергия заряда
.
Вычисляем статистический интеграл системы
.
В интеграле по импульсам заменяем переменную интегрирования
.
Благодаря бесконечным пределам статистический интеграл оказывается не зависящим от магнитного поля. Следовательно, классический газ зарядов не обладает магнитными свойствами.
Теорема не выполняется, если энергия взаимодействия U зависит от импульсов зарядов. В этом случае замена переменных сохранит магнитное поле. Теорема не применима для частиц, проявляющих квантовые свойства.