Следствия теоремы Лиувилля

А. Согласно теореме , следовательно

,

и сохраняется число микросостояний в единице объема при перемещении микросостояний по фазовому пространству. Каждое микросостояние описывает реальный объект, и число микросостояний не меняется. Тогда фазовый объем элемента ансамбля не изменяется с течением времени

,

изменяется лишь форма объема. Аналогично ведет себя объем несжимаемой жидкости. Учитываем

,

где J – якобиан преобразования между начальными и текущимиX координатами, получаем

= 1. (2.6)

Модуль якобиана, связывающего начальные и текущие фазовые координаты, равен единице. Результат используется при проверке выполнения теоремы Лиувилля для конкретной системы.

При одномерном движении частицы в плоскости из (2.6) получаем

. (2.6а)

Б. Для стационарной системы функция распределения является макрохарактеристикой. Согласно теореме Лиувилля она не изменяется с течением времени, поэтому может зависеть только от интегралов движения. Если система как целое неподвижна и не вращается, то функция распределения зависит от полной энергии, то есть от гамильтониана:

. (2.6б)

В. Для равновесной изолированной системы

.

Система с равной вероятностью обнаруживается в любом из доступных микросостояний.

Г. Теорема не выполняется для диссипативных систем, т. е. при наличии трения и неупругих соударений. Диссипативная сила, действующая на тело со стороны среды, направлена против скорости движения тела относительно среды. Уравнения Гамильтона в виде (2.1) в этом случае не применимы.

Пример. Идеальный газ двухатомных молекул

Между атомами молекулы имеется упругая связь, атомы совершают колебания. Такая система называется осциллятором. Молекулы независимы друг от друга. Полагаем, что поступательное, вращательное и колебательное движения молекулы происходят независимо, и между ними нет обмена энергией. Для колебательного движения молекулы найдем фазовую траекторию микросостояния и проверим выполнение теоремы Лиувилля.

1. Линейное колебание молекулы происходит с постоянной частотой ω и постоянной энергией E. Гамильтониан приравниваем полной энергии

.

В фазовом пространстве (x,p) микросостояние с движется по гиперповерхности с постоянной энергией. Это дает уравнение фазовой траектории микросостояния

,

являющееся уравнением эллипса

с полуосями

, ,

показанными на рисунке. Разные микросостояния отличаются друг от друга начальной фазой.

2. Находим число микросостояний, используя (2.2а):

.

Для рассматриваемого случая ,и интеграл равен площади эллипса

,

тогда число микросостояний

, (П.2.4)

где . Поскольку n – целое число, то энергия осциллятора квантуется

, (П.2.4а)

где –квант энергии. Число микросостояний равно числу квантов энергии осциллятора

На рисунке показан спектр энергии гармонического осциллятора. Горизонтальная линия – уровень энергии показывает возможное состояние осциллятора. Величина равна энергии одного кванта, или интервалуэквидистантного спектра. На уровне осциллятор имеетn квантов энергии.

3. Для получения якобиана

найдем функции

, ,

где – начальная координата и начальный импульс при.

В уравнения Гамильтона (2.1)

,

подставляем гамильтониан осциллятора

.

Получаем

–связь скорости с импульсом,

–2-й закон Ньютона ,

где – коэффициент жесткости упругой силыF;

.

Для решения системы двух уравнений дифференцируем первое уравнение

,

подставляем второе и получаем уравнение гармонических колебаний

.

Общее решение

,

тогда

.

Для нахождения параметров A и B накладываем начальные условия. При

,

,

получаем

, .

В результате закон изменения координат микросостояния с течением времени

,

.

Следовательно, микросостояния перемещаются по эллипсу по часовой стрелке с круговой частотой ω.

4. Вычисляем якобиан

.

Теорема Лиувилля выполняется.