- •Классическая статистическая физика Основные положения
- •Фазовое пространство системы частиц
- •Число степеней свободы
- •«Вымерзание» степеней свободы
- •Размерность фазового пространства
- •Число микросостояний в элементе объема Элемент объема фазового пространства равен
- •Объем и площадь n-мерной сферы
- •Фазовая траектория
- •Фазовый ансамбль
- •Теорема Лиувилля
- •, . (2.5)
- •Следствия теоремы Лиувилля
- •Пример. Идеальный газ двухатомных молекул
- •Микроканоническое распределение Основные понятия и определения
- •Распределение микросостояний по фазовому пространству
- •Энергетическая плотность состояний
- •Пример энергетической плотности состояний
- •Нормировочная постоянная микроканонического распределения
- •Микроканоническое распределение
- •Число микросостояний газа
- •Число микросостояний частицы
- •Энергетическая плотность состояний газа
- •Энергетическая плотность состояний частицы
- •Характеристики макросостояния
- •Вариация числа микросостояний при изменении объема
- •Статистический смысл давления
- •Соотношение между статистическими и термодинамическими характеристиками
- •Статистический смысл температуры
- •Статистический смысл энтропии
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Каноническое распределение
- •Распределение микросостояний газа по энергии
- •Макрохарактеристики и статистический интеграл
- •Принцип Ландауэра
- •Статистический интеграл поступательного движения
- •Статистический интеграл колебательного движения
- •Статистический интеграл вращательного движения
- •Теорема Бора – Ван-Лёвен
- •Распределение тепловой энергии по степеням свободы
- •Примеры
- •Вопросы коллоквиума
Распределение тепловой энергии по степеням свободы
Равновесный газ с фиксированными обменивается энергией с термостатом. Микросостояния газа имеют разные энергии, энергия частицы хаотически меняется с течением времени. Макросостояние не зависит от времени, средняя тепловая энергия частицы газа постоянна, зависит от температуры, от числа степеней свободы частицы и от ее гамильтониана.Если степени свободы частицы входят в гамильтониан симметрично, то на каждую степень свободы приходится одинаковая тепловая энергия, пропорциональная температуре. Теорему предложил Уотерстон в 1845 г., количественное выражение дал Максвелл в 1860 г. и Больцман в 1868 г. Теорема не применима для квантовых систем.
Джон Джеймс Уотерстон (1811–1883)
Джеймс Клерк Максвелл (1831–1879)
Людвиг Больцман (1844–1906)
Используя гамильтониан, найдем средние значения кинетической, потенциальной и полной энергий частицы, обусловленные тепловой энергией.
Гамильтониан частицы характеризует ее микросостояние. Рассмотрим частицу с f степенями свободы и с гамильтонианом, зависящим от модуля проекций импульса и от проекций координаты степенным образом:
, (2.103)
где
–число активизированных степеней свободы с кинетической энергией и с импульсами в пределах;;
–число активизированных степеней свободы с потенциальной энергией и с координатами в пределах;.
Получим средние по фазовому ансамблю значения кинетической, потенциальной и полной энергии частицы при температуре Т.
Средняя энергия частицы складывается из кинетических и потенциальных составляющих вдоль ортогональных осей. Среднюю полную энергию частицы выражаем через статистический интеграл согласно (2.94)
. (2.104)
В статистическом интеграле (2.81)
с гамильтонианом (2.103) все интегралы расцепляются, получаем произведение независимых интегралов для каждой активизированной степени свободы
.
Кинетическая и потенциальная составляющие статистического интеграла частицы равны
,
, (2.105)
Используем
,
где ,, вычисляем интегралы
,
,
где ,. С учетом
,
из (2.104)
находим
.
Разделяем вклады разных видов энергии и степеней свободы
,
. (2.106)
Для
,
,
учитываем
, ,
, .
Получаем
,
.
Величины ине зависят отi и j, следовательно, выполняется теорема о равном распределении тепловой энергии по активизированным степеням свободы. С учетом всех степеней свободы находим
,
.
В результате средние значения потенциальной, кинетической и полной энергий частицы пропорциональны температуре
,
,
. (2.107)
Газ в ограниченном объеме. Если координата ограничена , то потенциальная составляющая (2.105)
статистического интеграла частицы равна
.
Результат из (2.107) не применим, выражениеможно использовать, если.
Рассмотрим газ в сосуде размером A по оси j, вдоль которой действует однородное потенциальное поле
,
например, электрическое или гравитационное. Тогда верхний предел интеграла , и получаем
.
Из (2.106)
находим среднюю потенциальную энергию частицы при температуре Т
. (2.108)
Тепловое движение разбрасывает частицы газа равномерно по всему объему. Этому противостоит внешнее поле, действующее с силой
,
направленной при в сторону уменьшения координатыx.
При низкой температуре силовое действие преобладает над тепловой энергией , тогда из (2.108) получаем
. (2.109)
Следовательно, и частицы благодаря действию силы оказываются около стенки сосуда при. Стенку приможно считать расположенной на бесконечности и результат совпадает с (2.107)
при .
С увеличением температуры тепловое движение растет и средняя координата увеличивается. При высокой температуре используем разложение, и из (2.108)
находим
, (2.110)
тогда
.
При тепловое движение преобладает над силовым полем и разбрасывает частицы с равной вероятностью по всему объему, среднее положение частицы совпадает с серединой сосуда.