Васюков В_Н_ Теория электрической связи_

5.4. Амплитудная модуляция гармонического переносчика

163

Найдем спектр тонального АМК. Напомним, что спектр – это совокупность коэффициентов, определяющих амплитуды гармонических колебаний, составляющих рассматриваемое колебание. Тогда «найти спектр» означает представить АМК в виде суммы гармонических колебаний и определить их амплитуды. Раскроем выражение (5.19) и получим

uАМ (t) Um cos(	0t	) UmM cos (			0		)t
			2
UmM cos (			0	)t		.			(5.20)
	2

Следовательно, амплитудная спектральная диаграмма тонального АМК имеет вид, показанный на рис. 5.9, а, а фазовая – на рис. 5.9, б.

Другой формой наглядного представления АМ-колебаний служит векторная диаграмма (рис. 5.10). Здесь принято, что комплексная плоскость вращается по часовой стрелке с угловой скоростью

0

, тогда вектор несущего колебания длиной Um

неподвижен, а

векторы боковых колебаний вращаются в противоположных на-

правлениях с одинаковыми угловыми скоростями

и , так что

Um

UmM / 2

UmM / 2

0

0

0

0

а

0

0

0

0

б

Рис. 5.9. Амплитудная (а) и фазовая (б) спектральные диаграммы тонального амплитудно-модулированного колебания

Рис. 5.10. Векторная диаграмма тонального амплитудно-моду- лированного колебания

Re

0

UmM / 2

UmM / 2

0

Um

164

5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ

их сумма всегда лежит на линии, вдоль которой направлен вектор несущего колебания. Таким обра-

зом, сумма всех трех векторов со

временем изменяет только длину,

оставаясь на той же линии, т.е. име-

ет место модуляция (изменение)

только амплитуды. Очевидно, то же справедливо и при любом первичном сигнале, который всегда можно представить суммой гармонических колебаний. При этом векторная диаграмма приобретает сложный

вид и на практике не используется. Спектральная диаграмма может быть найдена с использованием теоремы умножения (см. п. 2.10.2).

Предположим, что первичный сигнал b(t) имеет спектральную

плотность B(	) . При модуляции происходит умножение колеба-
ния 1 Mb(t)	на колебание Um cos 0t (для простоты начальную

фазу положим равной 0). Согласно теореме умножения спектральная плотность результата равна свертке спектральных плотностей сомножителей.

Um (	0)		2 ( )	Um (	0)
			MB(	)
	0		0	0
			а
Um (	0)			Um (	0)
	MUm	B(	0)		MUm B(	0	)
	2				2
	0		0	0

б

Рис. 5.11. Спектральные плотности несущего и модулирующего сигналов (а) и амплитудно-модулированного колебания (б)

5.4. Амплитудная модуляция гармонического переносчика										165
Спектральная плотность первого сомножителя, очевидно, равна
2 ) MB(		) , а несущего колебания
2 Um			0 )		0 )	Um		0 )		0 ) .
			2

Поэтому результирующее модулированное колебание имеет спектральную плотность (рис. 5.11)

UАМ ( ) Um	0 ) MUmB		0 )
	2
Um	0 ) MUmB	0 ) .	(5.21)
	2
Таким образом, спектральная плотность АМК имеет вид двух
масштабированных (в MUm / 2 раз) копий спектральной плотности

первичного сигнала, сдвинутых вправо и влево по оси частот на величину несущей частоты. Несущее колебание представлено в

спектральной плотности АМК двумя -функциями с весом Um .

5.4.2. ПОЛУЧЕНИЕ АМ-КОЛЕБАНИЙ

Реализовать амплитудную модуляцию можно при помощи структурной схемы, показанной на рис. 5.12, где полосовой фильтр ПФ предназначен для подавления ненужных составляющих спектра колебания. (Если перемножитель идеальный, фильтр не нужен, однако на практике умножение осуществляется при помощи реальных нелинейных устройств, что приводит к возникновению комбинационных частот, в том числе ненужных.)

Другой способ получения АМ-колебания можно реализовать, подавая на НЭ сумму несущего и модулирующего колебаний и выделяя на частотно-зависимой нагрузке (фильтре) полезные составляющие. В схеме на рис. 5.13 нелинейным элементом является диод, а полосовым фильтром – параллельный контур.

Рис. 5.12. Структура амплитудного модулятора

166

5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ

Пусть ВАХ нелинейного элемента

имеет квадратичный вид

i a

a u a u2 ,

(5.22)

ut()

uАМ()t

0

1

2

а сумма напряжений

u(t) Um1 cos

0t Um2 cos t .

(5.23)

Рис. 5.13.

Схема модулято-

Подставим (5.23) в (5.22) и после

преобразований получим (пренебрегая

ра на диоде

всеми составляющими, лежащими вне

полосы пропускания фильтра)

iAM(t) a1Um1 cos

0t a2Um1Um2 cos( 0

)t

a2Um1Um2 cos(

0 )t

a1Um1 1 M cos

t cos

0t ,

где M 2 a2 Um2 . Видно, что, во-первых, глубина модуляции тока a1

пропорциональна амплитуде первичного сигнала, так что модуляция на квадратичном элементе является линейной71. Во-вторых, модуляция тем глубже, чем больше отношение коэффициентов аппроксимации ВАХ. Для выбора рабочей точки ВАХ используется постоянное напряжение смещения, прибавляемое к входному напряжению. Заметим, что параллельный контур оказывает максимальное сопротивление току на резонансной частоте, а при отклонении частоты от резонансной сопротивление убывает тем быстрее, чем выше добротность контура. Поэтому коэффициент модуляции напряжения на контуре всегда будет меньше коэффициента модуляции тока.

При любом законе амплитудной модуляции вектор несущего колебания не меняется (по модулю) во времени и поэтому не может нести информацию. Мощность несущего колебания равна

Um2 / 2 , в то время как суммарная мощность боковых составляю-

	щих при тональной модуляции равна	2	M 2Um2		M 2Um2	и при
			4 2		4

M 1 составляет лишь половину мощности несущего колебания.

71Имеется в виду линейная зависимость огибающей от первичного сигнала; операция АМ является, конечно, нелинейной.

частоты, самые вредные из которых – частоты

5.4. Амплитудная модуляция гармонического переносчика

167

Таким образом, 2/3 мощности передатчика затрачивается впустую72. Поэтому на практике часто применяют частичное или полное подавление несущего колебания (во втором случае амплитудная модуляция называется балансной, поскольку реализуется в балансных схемах).

Сущность балансной модуляции легко понять, если подойти к построению схемы модулятора с точки зрения обеспечения четности ВАХ. В самом деле, частоты боковых составляющих АМколебания являются комбинационными частотами (5.18) второго

порядка, т.е. n1 n2 1, а частота несущего колебания представляет собой комбинационную частоту первого порядка ( n1 1, n2 0 ). Поэтому если ВАХ нелинейного элемента имеет четный

характер, в спектре тока будут отсутствовать все нечетные комбинационные частоты, включая несущую. Схема, показанная на рис. 5.14, а, реализует четную характеристику и применяется для балансной модуляции.

Другая разновидность балансной схемы, показанная на рис. 5.14, б, применяется для подавления вредных комбинационных составляющих. Например, если нелинейные элементы имеют кубическую ВАХ, то появляются нежелательные комбинационные

0 2 , так как их

трудно подавить (они слишком близки к несущей частоте). Выход заключается в том, чтобы сделать схему модулятора нечетной по отношению к модулирующему колебанию. При этом относительно несущей частоты схема является четной, вследствие чего подавляется и несущее колебание.

	+	Д1	+	Д1
				Rн
	– U0	Rн	– 0
0				2
	+		+	R2н
	–	Д2	–
				Д2
		а		б
		Рис. 5.14. Балансные модуляторы

72В случае амплитудной модуляции гармонического несущего колебания реальным речевым сигналом доля полезной мощности составляет всего около 0,1 % полной мощности АМК [14].

168		5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ
Выходное напряжение в такой схеме равно Uвых R(i1 i2 ) ,
где	i1 и i2 – токи, протекающие через верхний и нижний НЭ,
R	Rн	.
	2
Обозначим напряжение на половине вторичной обмотки через
u2 ,	а напряжение несущей частоты через u1 . Полагая R малым,

можно записать напряжение, приложенное к первому диоду, в виде uд1 u1 u2 , а напряжение, приложенное ко второму диоду, в виде

uд2 u1 u2 .

Полагая, что
u1(t) Um1 cos	0t ,	(5.24)
u2 (t) Um2 cos	t ,	(5.25)

а ВАХ диода имеет вид кубического полинома, запишем токи диодов:

			i a			a (u u					) a (u				u )2	a (u				u )3		,	(5.26)
			1		0	1	1		2			2	1		2			3	1		2
			i	a		a (u		u			) a (u				u )2		a (u			u )3 .			(5.27)
			2		0	1	1		2			2	1		2			3	1		2
	Разность токов равна
				i i 2a u					4a u u					6a u2u				2a u3 .					(5.28)
				1		2	1	2			2	1	2		3 1		2			3	2
Тогда напряжение на выходе схемы
				u	вых	2R a u			2	2a u u				2	3a u2u			2	a u3 .				(5.29)
								1				2	1		3		1			3	2
	Учитывая выражения (5.24) и (5.25), замечаем, что в это на-
пряжение			входят спектральные										составляющие							с	частотами			,
0		, 2	0			и 3	. Отсутствуют четные гармоники частоты
и	соответствующие						комбинационные									частоты					(в	том	числе
0 2		),	а также нечетные гармоники частоты																		0 (в том числе
сама частота					0 ). Все составляющие, кроме полезных (с частотами

0 ), легко подавляются резонансной нагрузкой в виде параллельного контура, включаемой вместо Rн .

Предельная степень компенсации ненужных составляющих достигается в кольцевом модуляторе, показанном на рис. 5.15.

5.4. Амплитудная модуляция гармонического переносчика

169

	+	Д3	Д1
	–		Rн
	+
		Д2	2
			Д4
	–		R2н
		0

Рис. 5.15. Схема кольцевого модулятора

Считая по-прежнему, что сопротивление нагрузки пренебрежимо мало, и обозначая u1 – напряжение несущей частоты (с час-

тотой	0 ) , а u2	– напряжение на половине вторичной обмотки,
запишем для токов, протекающих через диоды Д1 – Д4:
		i1 F(u1 u2 ) ,	(5.30)
		i2 F(u1 u2),	(5.31)
		i3 F( u1 u2) ,	(5.32)
		i4 F( u1 u2) ,	(5.33)

где F( ) – ВАХ одного диода (диоды считаются одинаковыми), а

направления токов соответствуют прямому включению диодов. Тогда выходное напряжение равно

uвых R(i1 i3) R(i2 i4) R(i1 i2) R(i3 i4) .

Учитывая, что токи i1 и i2 по-прежнему определяются выражениями (5.26), (5.27), а i3 и i4 отличаются от них знаком аргумента

[см. (5.30) – (5.33)], видим, что

i3 a0 a1(u1 u2 ) a2 (u1 u2 )2 a3(u1 u2 )3 , i4 a0 a1(u1 u2 ) a2 (u1 u2 )2 a3(u1 u2 )3 ,

откуда

i	i	2a u		4a u u			6a u2u		2a u3 .		(5.34)
3	4	1	2	2	1	2	3 1	2	3	2

170	5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ

Складывая выражения (5.28) и (5.34) и умножая на R , получаем выходное напряжение

uвых 8Ra2u1u2 .

Таким образом, если ВАХ диодов имеют кубический вид, то кольцевая схема является точным перемножителем сигналов. Ба- лансно-модулированное колебание имеет вид (при тональной модуляции)

uБМ (t) Um cos t cos 0t ;

его график показан на рис. 5.16.

uБM(t)

t

Рис. 5.16. Балансно-модулированное колебание

Учитывая симметрию спектра вещественного первичного сигнала, вследствие которой спектр АМ-сигнала также оказывается симметричным, можно сократить вдвое требуемую полосу частот канала, если сформировать АМ-сигнал, имеющий одну боковую полосу (ОБП-сигнал). Это возможно с использованием сигнала, сопряженного по Гильберту.

Аналитический сигнал, соответствующий первичному сигналу

		b(t)		ˆ	и спектральную плотность 2B( )
b(t) , имеет вид b(t)				jb(t)

на положительных частотах. Сдвиг спектральной плотности вправо

по оси частот на

0

достигается умножением сигнала на

e j 0t .

При этом получается комплексное колебание, вещественная часть

которого представляет

собой

действительный

сигнал с

одной

(верхней) боковой полосой

uОБПверх (t)

Re

j 0t

b(t)cos 0t

ˆ

0t .

b(t)e

b(t)sin

b(t)

ˆ

имеет спектральную

плотность,

Колебание b'(t)

jb(t)

сосредоточенную на отрицательных частотах, поэтому умножение

его на e j 0t формирует комплексное колебание с одной боковой (нижней) полосой

uОБПнижн (t)			(t)e	j	0t	b(t)cos 0t	ˆ
		Re b					b(t)sin 0t .

5.4. Амплитудная модуляция гармонического переносчика

171

5.4.3. ДЕТЕКТИРОВАНИЕ АМ-КОЛЕБАНИЙ

Детектирование, или демодуляция, представляет собой процесс, обратный модуляции. Результатом детектирования, следовательно, должен быть первичный (модулирующий) сигнал. В случае АМ это означает, что при детектировании должен получиться сигнал, повторяющий по форме огибающую АМ-колебания.

Известны методы детектирования АМ-колебаний на основе нелинейных и параметрических устройств.

Детектирование АМК параметрической цепью имеет много общего с модуляцией. В самом деле, амплитудная модуляция представляет собой фактически перенос спектра первичного сигнала на несущую частоту без изменения его формы (см. рис. 5.1). Демодуляции соответствует, очевидно, обратный перенос спектра на такую же величину. Поэтому умножение АМ-колебания на опорное гармоническое колебание несущей частоты с последующей фильтрацией нижних частот позволяет получить первичный сигнал, т.е. выполнить детектирование, при помощи параметрического устройства, показанного на рис. 5.17.

Рис. 5.17. Структура синхронного детектора

Умножив АМ-сигнал (5.19) на опорное колебание, получим

uАМ(t)cos( 0t	) U(t)cos(			0t )cos(		0t	)
U(t) cos(2	0t		) U(t) cos(			) .
2				2

Очевидно, первое слагаемое не представляет интереса и должно быть подавлено фильтром нижних частот. Второе слагаемое является полезным сигналом, при этом полезный эффект будет максимальным, если опорное колебание будет иметь не только ту же частоту, что и несущее колебание АМ-сигнала, но и ту же начальную фазу, т. е. для наилучшего детектирования должно вы-

полняться условие

0 . Поэтому такое детектирование назы-

вается синхронным или когерентным (см. пример 2.24).

172	5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ

Другой способ детектирования АМ-сигналов основан на использовании нелинейного элемента с последующей фильтрацией нижних частот. Пусть ВАХ нелинейного элемента аппроксимируется полиномом второго порядка

i a0 a1u a2u2 .

Ток, протекающий через НЭ при воздействии на него тональ-

ного АМ-сигнала, равен (здесь и далее												0 )
i(t) a	a U			m	1 M cos	t cos		t	a U 2		1 M cos					t 2 cos2			t
0		1						0	2	m									0
					a0 a1Um 1 M cos					t cos		0t
a U 2					2M cos t	M	2	M	2			1		1	cos2
		1				2		2	cos2		t	2		2				t
2	m																0

a0	a U 2		a U 2 M 2
	2	m	2	m
		2		4

a U 2 M cos	t	a U 2 M 2
		2	m	cos2 t ВЧ ,
2 m			4

где символом ВЧ для краткости обозначены высокочастотные составляющие, подавляемые фильтром нижних частот. Из полученного выражения видно, что помимо постоянной составляющей и полезного сигнала (в данном случае это колебание с частотой ), а также высокочастотных составляющих в спектре тока содержится также колебание с частотой 2 , которое и является наиболее вредным, так как его трудно подавить фильтром нижних частот73 (частота 2 находится слишком близко от частоты полезного колебания ). Если модулирующий сигнал отличается от гармонического тонального колебания (а на практике это всегда так) и имеет спектр конечной ширины, то полезные и вредные составляющие разделить практически невозможно74. Таким образом, нелинейное (квадратичное) детектирование сопровождается нелинейными ис-

73Здесь под трудностью подавления вредных составляющих подразумевается то, что для достижения нужной степени подавления может потребоваться очень сложный (многозвенный) фильтр.

74Например, для полосы частот телефонного канала 300…3400 Гц вторая гармоника нижней частоты равна 600 Гц и не может быть отделена от полезной составляющей сигнала с такой же частотой.