Васюков В_Н_ Теория электрической связи_

5.4. Амплитудная модуляция гармонического переносчика

173

кажениями. Нелинейные искажения принято характеризовать ко-

эффициентом нелинейных искажений

				kн		I22 I32 I42 ...	,
						I1
где	In		–	амплитуда n -й		гармоники тока. В данном случае
kн	I2		M	25 %. Такой		уровень нелинейных искажений в
	I1		4

большинстве практических приложений (в частности, в радиове-

щании) совершенно недопустим. Заметим, что реальные ВАХ полупроводниковых приборов могут быть аппроксимированы квадратичным полиномом лишь в пределах небольшого участка (при малом сигнале).

При сильном сигнале более подходящей является кусочнолинейная аппроксимация (см. п. 5.2.3). Рассмотрим детектор на биполярном транзисторе, принципиальная схема которого показана на рис. 5.18.

Полагая, что зависимость тока коллектора от напряжения база – эмиттер аппроксимируется кусочно-линейной функцией

0	при	u Uн ,
iк (u)	при	u Uн ,
S(u Uн )
и что напряжение смещения U0 равно напряжению начала линей-
ного участка характеристики Uн ,	видим, что угол отсечки со-

гласно (5.13) равен 90 , тогда при воздействии на вход схемы напряжения АМ-сигнала (5.19) ток коллектора имеет вид импульсов

Eп

R

uд (t)

uAM (t)

U0		Eп

Рис. 5.18. Детектор на биполярном транзисторе

174 5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ

гармонической формы с частотой следования		0 , скважностью 2 и
амплитудой
Im SUm 1 M cos	t ,

меняющейся медленно (по закону модулирующего сигнала). Постоянная составляющая75 импульсного тока также медленно

меняется

I0 (t)

0 ( )SUm 1 M cos

t 0.318SUm 1 M cos

t .

Таким образом, низкочастотная составляющая выходного напряжения транзисторного детектора

uн (t) 0.318SUmR 1 M cos

t .

(5.35)

Детекторы характеризуются коэффициентом детектирования

kUmвых ,

дMUmвх

где Umвых и Umвх – амплитуды низкочастотной составляющей вы-

ходного напряжения и несущего колебания соответственно. В данном случае

kд 0.318SUmRM 0.318SR .

MUm

Низкочастотная составляющая выходного напряжения прямо пропорциональна модулирующему колебанию, т.е. нелинейные искажения отсутствуют (если пренебречь отличиями реальной ха-

рактеристики от кусочно-линейной). Отметим, что если U0 Uн ,

угол отсечки будет зависеть от времени и появятся нелинейные искажения.

Наиболее простое устройство для детектирования АМ-коле- баний – диодный детектор (рис. 5.19).

В этой схеме в отличие от транзисторного детектора угол отсечки определяется не внешним источником напряжения смещения, а выходным постоянным76 напряжением, приложенным к диоду в обратном направлении. В самом деле, ток, протекающий через

75На самом деле это не постоянная, а низкочастотная составляющая сигнала, но для каждого отдельного импульса тока она находится как постоянная составляющая тока на протяжении одного периода.

76См. предыдущую сноску.

5.4. Амплитудная модуляция гармонического переносчика											175
		Д
						R			C		uд (t)
uАМ (t)

Рис. 5.19. Диодный детектор

диод в прямом направлении, заряжает конденсатор до некоторого напряжения, полярность которого такова, что оно стремится «запереть» диод. В результате открытое или запертое состояние диода в

каждый момент времени определяется разностью u(t) входного напряжения uAM(t) и выходного напряжения uд (t) , показанной

сплошной линией на графике рис. 5.20. Медленно меняющееся выходное напряжение показано пунктирной линией.

Согласно формуле (5.13)

cos Uн U0 ,

Um

i

i

u
		t

t

Рис. 5.20. Диаграммы напряжений и тока в схеме диодного детектора

176	5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ
а параметр аппроксимации Uн равен нулю,					поэтому cos	U0	,
						Um
но смещение в данном случае – это напряжение на нагрузке детек-
тора, равное U0 I0R , откуда
	cos		I0R	.	(5.36)
			Um
	Учитывая это уравнение и выражая I0 через функцию Берга,
запишем
	I0R SUm	0( )R Um cos .
	Раскрывая функцию 0( )	и сокращая Um , получим
	SR sin	cos cos			,
откуда, поделив обе части уравнения на cos					, будем иметь урав-
нение
	SR (tg ) 1.				(5.37)

Заметим, что в это уравнение не входит Um . Это означает, что

в линейном детекторе угол отсечки есть величина постоянная, зависящая только от параметров схемы. Используем разложение тангенса в степенной ряд, ограниченное двумя слагаемыми [8]

tg		1	3	.
		3
Тогда из выражения (5.37) получается уравнение					SR	3	1	, отку-
						3

да 3 SR3 .

Полезная составляющая тока нагрузки, как следует из формулы

(5.36),

I0		Um	cos	,
		R

5.5. Угловая модуляция

177

пропорциональна Um , что и означает линейность детекторной ха-
рактеристики77. Коэффициент детектирования, очевидно, равен
kд cos	cos 3 3 /(SR) .

Практическое применение диодного детектора предполагает правильный выбор параметров ФНЧ. Необходимо, во-первых, чтобы сопротивление нагрузки было много больше внутреннего сопротивления диода (в прямом направлении). Это обеспечивает при быстром заряде конденсатора сравнительно медленный его разряд, что приводит к выделению огибающей АМ-сигнала. Во-вторых, емкость конденсатора должна выбираться из того условия, чтобы граничная частота ФНЧ была больше верхней частоты полезного сигнала и в то же время меньше несущей частоты. Поскольку используемый ФНЧ первого порядка имеет очень пологую АЧХ, постоянная вре-

мени RC -цепи должна удовлетворять двойному неравенству

1 RC 1 .

0

Нарушение левой части неравенства приводит к слишком быстрому разряду конденсатора (напряжение на нагрузке пульсирует

с частотой 0 ), нарушение правой части – к слишком медленному

разряду, вследствие чего напряжение на нагрузке может «не успевать» за более быстрыми изменениями огибающей АМ-сигнала.

При этом форма выделяемой огибающей сильно отличается от модулирующего сигнала, что соответствует нелинейным искажениям.

5.5. УГЛОВАЯ МОДУЛЯЦИЯ

5.5.1. ОПИСАНИЕ УМ-КОЛЕБАНИЙ

При угловой модуляции гармонического колебания результирующий сигнал имеет постоянную амплитуду и зависящую от первичного (информационного) сигнала фазу, поэтому его можно записать в общем виде, как

uУМ (t) Um cos	(t) Um cos 0t (t) ,	(5.38)
где (t) – фаза колебания, а	(t) – его начальная фаза.

77Диодный детектор можно считать линейным только при сильном сигнале, когда ВАХ диода удовлетворительно аппроксимируется кусочнолинейной функцией.

178	5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ

Для описания УМ-колебаний полезно ввести понятие мгновенной частоты

(t) d	(t)		0	d (t) .	(5.39)
	dt			dt

Очевидно, при неизменной начальной фазе мгновенная частота равна частоте несущего колебания, однако изменение начальной

фазы приводит к изменению мгновенной частоты. При фазовой модуляции (ФМ) начальная фаза меняется по закону первичного

сигнала, следовательно, мгновенная частота меняется по закону его производной. При частотной модуляции (ЧМ) в соответствии с

первичным сигналом меняется мгновенная частота, значит, начальная фаза меняется как интеграл первичного сигнала. В любом

случае при угловой модуляции по виду модулированного сигнала невозможно определить вид модуляции (ЧМ или ФМ), если не из-

вестен закон модуляции.

Пусть частота модулируется по гармоническому закону

(t) 0 д cos t (5.40)

(максимальное отклонение мгновенной частоты от среднего значения называется девиацией78 частоты д ). Тогда фаза модулирован-

ного колебания

t

д

(t)

(t)dt 0

0t

sin

t

0

(5.41)

0

состоит из линейно меняющегося слагаемого

0t , постоянной

0

и гармонического слагаемого, амплитудное значение которого на-

зывается индексом

модуляции

Um

(или девиацией фазы), численно79

равным при тональной модуляции

m

д

.

(t)

0

0

На рис. 5.21 показана вектор-

Re

ная диаграмма УМ-колебания.

Рис. 5.21. Векторная диаграмма

Вектор, изображающий колеба-

колебания с угловой модуляцией

ние, не изменяет своей длины, но

78От англ. deviation – отклонение.

79Индекс модуляции, очевидно, имеет размерность радиан.

5.5. Угловая модуляция

179

с течением времени он изменяет свое положение между двумя штриховыми линиями, отстоящими от среднего положения на величину индекса модуляции, при этом конец вектора перемещается по окружности.

Рассмотрим спектр колебания с угловой модуляцией по гармоническому закону. Для простоты будем считать 0 0 . Примем,

что фаза модулируется по синусоидальному закону:

uУМ (t) Um cos 0t msin		t
Um cos msin	t cos 0t Um sin msin		t sin 0t . (5.42)

Заметим, что закон модуляции подвергается нелинейным преобразованиям cos( ) и sin( ) , а это должно приводить к обогаще-

нию спектра.

Вначале рассмотрим частный случай малого индекса модуляции m 1. Тогда

cos msin		t 1;	(5.43)
sin msin	t msin t .		(5.44)

С учетом этих приближенных равенств перепишем (5.42) в виде

uУМ(t) Um cos		0t Ummsin			t sin 0t
Um cos	0t Umm cos		0	t Umm cos		0	t .
	2				2

Полученное выражение похоже на выражение (5.20) для АМколебания. Однако отличие в знаке последнего слагаемого приво-

дит к тому, что суммарный вектор								Umm / 2
колебания с течением			времени из-
меняет	свое	угловое	положение
(рис. 5.22). При этом, очевидно, ко-					Umm / 2
нец вектора суммарного колебания
движется по прямой. Это отличие							Um
от идеального УМ-колебания явля-										0
ется	следствием использования			0
										Re
приближенных		выражений (5.43),
(5.44). Если m 1, то прямая мало				Рис. 5.22. Векторная диаграм-
отличается от окружности (тем				ма колебания при				тональной
меньше, чем меньше m ).					УМ с малым индексом

180	5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ

Рассмотренный пример представляет лишь иллюстративный интерес, так как на практике используются УМ-колебания с большим индексом. Запишем УМ-колебание в виде

uУМ (t) Um cos	0t msin		t Um Re e j 0te jmsin	t .
Известна формула
e jmsin x		Jk (m)e jkx ,
		k

где Jk ( ) – функция Бесселя первого рода k -го порядка. С учетом этого равенства

	Jk (m)e jk
uУМ (t) Um Re e j 0t		t
	k

Um	Jk (m)cos	0 k	t .
	k

Таким образом, даже при тональной модуляции спектр УМколебания имеет бесконечно много составляющих, амплитуды ко-

торых определяются значениями функции Бесселя Jk (m) , рас-

сматриваемой как функция номера гармоники k при заданном значении m .

На рис. 5.23 изображены значения Jk (m) при m 40 . Видно,

что при k m они быстро убывают. Благодаря такому поведению функции Бесселя можно считать, что УМ-колебание имеет спектр с эффективной шириной, равной

	2(m 1)	2m 2 д .
0,2
0	20	40	60	80

–0,2

Рис. 5.23. Значения функций Бесселя при различных k и при m 40

5.5. Угловая модуляция

181

Таким образом, можно в первом приближении считать, что ширина спектра УМ-сигнала равна диапазону изменения частоты при модуляции, равному удвоенной девиации частоты.

5.5.2.ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ ВОЗДЕЙСТВИЯ УМ-КОЛЕБАНИЙ НА ЛИС-ЦЕПИ

Сигналы с угловой модуляцией применяются в технике связи очень широко. При этом часто представляет большой практический интерес задача анализа колебаний на выходе ЛИС-цепи (фильтра, линейного стационарного канала связи) при воздействии УМ-колебания. При негармоническом первичном сигнале и большом индексе модуляции точный анализ методами, рассмотренными в разд. 4, практически невозможен. Поэтому для приближенного анализа прохождения сигналов с угловой модуляцией через частотно-избирательные цепи применяется метод мгновенной час-

тоты.
При	угловой модуляции несущего	колебания с частотой
0 2 f0	и амплитудой Um низкочастотным колебанием (первич-
ным сигналом) b(t) получается сигнал,		который можно прибли-

женно рассматривать как «гармоническое колебание с медленно меняющейся частотой»80. Под частотой здесь понимается мгновенная частота УМ-колебания, а ее изменения могут считаться медленными, если мгновенные частоты УМ-колебания и отклика на него частотно-избирательной цепи практически совпадают. Для этого, очевидно, требуется, чтобы скорость протекания переходных процессов в ЧИЦ была велика в сравнении со скоростью изменения модулирующего сигнала. Отсюда вытекает требование,

чтобы верхняя частота спектра модулирующего сигнала		была
намного меньше ширины	полосы пропускания цепи		.

Однако скорость изменения мгновенной частоты УМ-сигнала зависит также от амплитуды модулирующего сигнала, которая опре-

деляет девиацию частоты д – максимальное отклонение мгно-

венной частоты от среднего значения [см. (5.40)]. Принято считать [23], что для применения метода мгновенной частоты достаточно,

чтобы выполнялось условие д .

80Разумеется, в строгом смысле такое колебание не является гармоническим и имеет сложный спектр, рассмотренный в разд. 5.5.1.

182		5.	ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ
Перепишем (5.38) в виде
uУМ (t)		Um cos	(t)		Um Re	j	(t)		j 0t (t)	.
						e		Um Re e

Тогда колебание на выходе ЛИС-цепи с комплексной частотной

характеристикой H(		) K( )e j	(	)	имеет вид
uвых (t)		Um K( (t))Re				j	0t (t)		(t)
				e
UmK( (t))cos			0t				(t)		(t) ,

откуда видно, что выходной сигнал имеет переменную амплитуду UmK( (t)) , меняющуюся по закону, зависящему от изменений

мгновенной частоты входного сигнала (происходит паразитная амплитудная модуляция). Закон изменения начальной фазы вы-

ходного сигнала также отличается от начальной фазы входного сигнала на величину, зависящую от времени и определяемую из-

менениями мгновенной частоты входного сигнала (t)	и фазоча-
стотной характеристикой цепи ( ) . Таким образом,	ЛИС-цепь

вносит искажения и в закон угловой модуляции сигнала. Мгновенная частота выходного сигнала отличается от мгновенной частоты входного сигнала (5.39) и равна

вых (t)	0 d	(t)		d		(t)	.
		dt			dt

Пример 5.1. На колебательный контур, настроенный на частоту несущего колебания, поступает УМ-сигнал с мгновенной частотой, определяемой выражением (5.40)

(t)

0

д cos

t .

Тогда мгновенная частота выходного сигнала

вых (t)

0

d

(t)

d

(t)

dt

dt

d

0

д cos

t

dt

0

д cos

t

,

d

где

(t) dt

0

д cos

t

– периодическая функция време-

ни,

описывающая искажение закона изменения частоты УМ-ко-