Васюков В_Н_ Теория электрической связи_

2.10. Ряд Фурье и интеграл Фурье

73

ций является переход к непрерывному представлению сигналов из

L2 ( , ) интегралом Фурье

x(t) X ( f )e j2		ft df ,		(2.45)
где
X ( f )	x(t)e j2		ft dt	(2.46)

– спектральная плотность.

Между рядом и интегралом Фурье имеется тесная связь. Рассмотрим непериодический сигнал x(t) конечной длительности c .

(Функция, равная нулю всюду за пределами интервала конечной длины, называемого носителем функции, называется финитной.)

Спектральная плотность X ( f ) сигнала x(t) определяется выражением прямого преобразования Фурье (2.46). Повторение финит-

ного сигнала x(t) с периодом T , большим,					чем длительность c ,
			x(t		kT ) , который в силу
дает периодический сигнал x(t)

k

своей периодичности может быть представлен рядом Фурье со спектральными коэффициентами, определяемыми выражением (2.41). Сравнивая выражения (2.46) и (2.41) и учитывая, что интеграл в бесконечных пределах от финитной функции равен интегралу по интервалу, содержащему носитель функции, можно записать равенство

1

T 2

j

2

kt

dt 1

X k

C

x(t)e

T

.

(2.47)

k

T T 2

T

T

Таким образом, спектральная плотность импульсного сигнала имеет форму огибающей спектральных коэффициентов ряда Фурье периодической последовательности, образованной повторением данного импульсного сигнала с произвольным периодом. Заметим, что с ростом периода повторения спектральные составляющие следуют друг за другом по оси частот все более плотно. Непериодический сигнал представляет собой предельный случай периодического при T , поэтому можно считать (нестрого!), что спектральная плотность – это «сплошная» совокупность спектральных коэффициентов. Следует, однако, иметь в виду, что «амплитуда» каждой спектральной составляющей при этом также стремится к

74	2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

нулю, в отличие от спектральной плотности. Кроме того, не следует забывать, что для сигнала x(t) , имеющего размерность напря-

жения, спектральная плотность X ( f ) имеет размерность

[Вольт/Герц], в то время как единицей измерения коэффициентов ряда Фурье (2.41) является Вольт35. Поэтому спектр периодического сигнала и спектральная плотность финитного сигнала – два различных объекта. Тем не менее формальное сходство, выражаемое формулой (2.47), можно использовать, например, для расчета спектра последовательности, полученной периодическим повторением финитного сигнала с известной спектральной плотностью.

Рассмотрим основные свойства преобразования Фурье, которые полезно знать при практическом его использовании. Для крат-

кости будем использовать обозначение x(t) X ( f ) для функций

времени и частоты, связанных парой преобразований Фурье. 1. Линейность

	k xk (t) k Xk ( f ) .
k	k
2. Дуальность (частотно-временная симметрия)
	x( f ) X ( t) ,	(2.48)

где x( ) понимается как спектральная плотность временной функции X ( ) .

Читателю предлагается доказать это свойство в качестве упражнения.

3. Теорема сдвига

Рассмотрим сигнал x (t) x(t ) . Его спектральная плотность

X ( f ) x(t )e j 2

ft dt x( )e j 2 f ( )d

e j 2 f X ( f ) .

Таким образом, x(t ) e j 2 f

X ( f ) .

4. Теорема изменения масштаба

Рассмотрим сигнал

xm(t) x(mt), представляющий собой сиг-

нал x(t) , сжатый по оси времени в m раз,

m 0 . Его спектральная

плотность

j 2 f

1

f

d

X

m

( f ) x(mt)e

j 2

ft dt

x(

)e

m

X

. (2.49)

m

m

m

35 Подразумевается, что функция exp( j

2

ft) физической размерности не имеет.

2.10. Ряд Фурье и интеграл Фурье

75

Теперь положим, что множитель m

0 . Тогда

j 2 f

Xm ( f )

x(

t)e

j 2

ft

dt

x( )e

d

1 x( )e j 2 f

		1		f
d			X		.	(2.50)

Итак, объединяя (2.49) и (2.50), можно окончательно записать

		x(mt)		1		X		f
									.
				m
							m
5. Теорема дифференцирования
Обозначим через		xd (t) dx(t)				dt		производную по времени
сигнала x(t) . Спектральная плотность производной равна
	dx(t) e j 2
Xd ( f )		ft dt x(t)e j 2 ft						j 2 f		x(t)e j 2	ft dt .
	dt

Здесь использована формула интегрирования по частям. Первое

слагаемое полученного выражения равно нулю, так как сигнал x(t)
в силу принадлежности L2( , ) , т.е. ограниченности энергии,
стремится		к	нулю		при	t .		Таким		образом,
dx(t)	j 2 f X ( f ) .
dt	Теорема интегрирования
6.
Обратной к теореме дифференцирования является теорема ин-
тегрирования
			t		1		X (0)	( f )
			x(t)dt			X ( f )			.	(2.51)
					j 2 f
						2
7. Теорема модуляции
Под модуляцией здесь					подразумевается			умножение		сигнала
x(t) на комплексную экспоненциальную функцию e j 2 f0t :
	x(t)e j 2		f0te j 2 ft dt x(t)e j 2 ( f f0 )t dt X ( f f0 ) ,
так что x(t)e j 2			f0t X ( f f0 ) .

76 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

8. Теорема свѐртки

x(t) y(t) X ( f )Y( f )

была фактически доказана в разд. 2.9. 9. Теорема умножения

x(t)y(t) X ( f ) Y( f )

справедлива в силу теоремы свѐртки и свойства дуальности преобразования Фурье.

10. Теорема сопряжения

Если комплексному сигналу x(t) соответствует спектральная плотность X ( f ) , то для комплексно сопряженного сигнала спра-

ведливо соответствие x*(t) X*( f ) :

			*	X *( f ) .
x*(t)e j 2	ft dt		x(t)e j 2 ( f )t dt

11. Теорема обращения

Обращение сигнала означает перемену знака аргумента (време-

ни). Обозначим сигнал	x(t) ,	обращенный во времени,
x _(t) x( t) . Его спектральная плотность:
X ( f ) x( t)e j 2	ft dt x( )e j 2		f	( d )
x( )e j 2 ( f ) d		X ( f ) ,

так что обращение временнóй оси в обычном временнóм описании сигнала эквивалентно обращению оси частотной в его спектраль-

ном представлении: x( t) X ( f ) .

Рассмотренные свойства преобразования Фурье справедливы для произвольных комплексных сигналов. На практике часто имеются дополнительные сведения о сигнале, которые позволяют упростить решение задачи спектрального анализа с учѐтом частных свойств спектральных плотностей.

Например, предположение о том, что сигнал x(t) является ве-

щественным, приводит к свойству сопряженной симметрии спек-

тральной плотности:

X ( f ) X*( f ) ,

2.10.	Ряд Фурье и интеграл Фурье							77
или,	что равносильно,		X ( f )				X ( f )		и arg X ( f ) arg X ( f ) .
В самом деле,

X ( f )

x(t)e j2 ft dt

*			*
x(t)e j2 ft dt			x(t)e j2 ( f )t dt .

Это обстоятельство следует учитывать при решении практических задач, так как в большинстве случаев рассматриваются именно вещественные сигналы. В частности, такая симметрия спектра (спектральной плотности) используется в технике связи: для уменьшения требуемой пропускной способности каналов связи применяются амплитудно-модулированные сигналы с одной боко-

вой полосой (ОБП-сигналы).

Если сигнал является вещественным и четным, то его спектральная плотность также вещественна и чѐтна:

X ( f ) X ( f ) .

Это утверждение следует из того, что обращение во времени не изменяет вещественного чѐтного сигнала, а следовательно, не влияет и на его спектральную плотность, которая должна, таким образом, быть инвариантной к обращению частоты, т.е. вещест-

венной и чѐтной.

Если сигнал является вещественным и нечетным, то его спектральная плотность – мнимая и нечетная:

X ( f ) X ( f ) .

Действительно, обращение во времени изменяет знак нечѐтного сигнала, следовательно, его спектральная плотность также должна при обращении частоты лишь менять знак, но, поскольку спектральная плотность вещественного сигнала сопряженносимметрична, отсюда следует, что еѐ вещественная часть равна нулю, т.е. спектральная плотность является мнимой.

Спектральная плотность сигнала e j 2 f0t как «обычная функ-

ция» не существует, так как e j 2 f0t не принадлежит пространству L2( , ) . В то же время решение многих задач упрощается, если

все же определить спектральную плотность комплексной экспоненты в терминах теории обобщенных функций. Отыскание спек-

тральной плотности сигнала e j 2 f0t сводится к нахождению прямого преобразования Фурье отрезка функции e j 2 f0t длительности

78	2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ
и предельному переходу при	. В том, что спектральная

плотность сигнала e j 2 f0t представляет собой -функцию (является сингулярной)36, легко убедиться, если найти сигнал, соответст-

вующий спектральной плотности		( f f0 ) , через обратное преоб-
разование Фурье:
	( f f0 )e j 2
		ft df e j 2 f0t .

Спектральные плотности гармонических сигналов cos(2 f0t) и sin(2 f0t) легко находятся с учетом формул Эйлера:

	cos(2 f0t)		1			( f f0 ) ( f f0 ) ,
			2
	sin(2 f0t)		1			( f f0 ) ( f f0 ) .
		2 j

Пример 2.20. Балансно-модулированное колебание (см. разд. 5)

может быть получено путем перемножения модулирующего сигнала x(t) и несущего гармонического колебания cos(2 f0t) . Спек-

тральную плотность балансно-модулированного сигнала можно найти, воспользовавшись теоремой умножения с учетом вида спектральной плотности косинусоидального колебания:

x(t)cos(2 f0t) X ( f 2 f0 ) X ( f 2 f0 ) .

Тот же результат можно получить на основе теоремы модуляции и свойства линейности преобразования Фурье. ◄

Во многих задачах одновременно присутствуют периодические и непериодические сигналы. Для того чтобы можно было пользоваться общим математическим аппаратом интеграла Фурье, найдем спектральную плотность T -периодического сигнала, который можно записать в виде ряда Фурье

			j	2	kt
x(t)		C e		T		.
	k	k

36От англ. single – единственный; в названии отражается тот факт, что вся спектральная «масса» сосредоточена в одной точке частотной оси.

2.10. Ряд Фурье и интеграл Фурье

79

Учитывая линейность преобразования Фурье и зная спектральную плотность комплексной экспоненциальной функции, запишем спектральную плотность в виде

						2
	X ( f )	C	k	f	k				.	(2.52)
						T
	k
	Таким образом, спектральная плотность периодического сигна-
	ла сингулярна, т.е. состоит из			-функций,					сосредоточенных на

частотах, кратных частоте повторения сигнала.

2.10.3.КОРРЕЛЯЦИОННО-СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Согласно обобщенной формуле Рэлея (2.20) скалярное произведение двух детерминированных сигналов может быть найдено как во временной, так и в частотной области:

(x, y) x(t)y*(t)dt X ( f )Y*( f )df .

Подынтегральное выражение правой части этого равенства

Wxy ( f ) X ( f )Y*( f )

называется взаимной спектральной плотностью сигналов x(t)

иy(t) .

Вчастном случае при x(t) y(t) взаимная спектральная плотность превращается в энергетический спектр сигнала

Wx ( f ) X ( f ) 2 .

Смысл энергетического спектра выясняется, если выразить энергию сигнала через скалярное произведение

E		(x, x)			W ( f )df .
	x		X ( f )X *( f )df
					x

Таким образом, функция Wx ( f ) описывает распределение

энергии сигнала по частотной оси (поэтому правильнее было бы называть ее спектральной плотностью энергии). Заметим, что

80	2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

спектральная плотность сигнала X ( f ) является комплексной функцией, аргумент которой теряется при переходе от X ( f ) к

Wx ( f ) , поэтому в общем случае сигнал нельзя восстановить по

его энергетическому спектру37.

Взаимная спектральная плотность характеризует сходство сигналов в том смысле, что интеграл от нее равен их скалярному произведению. В частности, для ортогональных сигналов взаимная спектральная плотность такова, что при интегрировании дает 0, т.е. различные частотные составляющие взаимной спектральной плотности ортогональных сигналов при интегрировании компенсируют друг друга.

Для энергетического спектра и взаимной спектральной плотности, как функций частоты, можно определить при помощи обратного преобразования Фурье (если оно существует) соответствующие временные функции. Запишем вначале обратное преобразование Фурье для взаимной спектральной плотности

B ( )
	W ( f )e j 2 f df X ( f )Y*( f )e j 2 f df .
xy	xy
Обозначим	Y*( f )e j 2 f	Y *( f ) , где		Y ( f ) Y( f )e j 2 f		–
спектральная плотность сигнала			y (t) y(t ) , равного сигналу
y(t) , задержанному на величину			. Тогда
B ( )
	X ( f )Y *( f )df		x(t)y*(t )dt (x, y ) .
xy
Полученная функция характеризует сходство сигнала					x(t)	и
сигнала y (t) y(t ) в зависимости от значения сдвига,					и назы-

вается взаимно корреляционной функцией (ВКФ) детерминирован-

ных сигналов x(t)		и y(t) .
Аналогично функция
B ( )		W ( f )e j 2 f		f df ,
			df X ( f )X *( f )e j 2
x		x

37Заметим, что в частных случаях это можно сделать, если имеются дополнительные сведения, например о том, что X ( f ) есть вещественная четная функция.

2.10. Ряд Фурье и интеграл Фурье

81

характеризующая сходство сигнала x(t) и его задержанной копии x (t) x(t )

B ( )				x(t)x*(t	)dt (x, x ) , (2.53)
	X ( f )X *( f )df
x

называется автокорреляционной функцией (АКФ) детерминированного сигнала.

Автокорреляционная функция обладает некоторыми свойствами, которые важно знать для ее правильного использования.

1. Автокорреляционная функция достигает максимума при0 и равна при этом значении аргумента энергии сигнала:

Bx (0) max Bx ( ) Ex .

(2.54)

Доказать это свойство легко при помощи неравенства Шварца.

2. Автокорреляционная функция обладает свойством сопряженной симметрии:

B ( )						)x*( )d
	x(t)x*(t )dt			x(
x
			)d	*	B*( ) .
		x( )x*(
						x

В частности, АКФ вещественного сигнала – четная функция. Взаимно корреляционная функция указанными свойствами не

обладает: например, для ортогональных сигналов она равна нулю при нулевом сдвиге; в остальном ее форма определяется формами обоих сигналов.

Введенные функции играют очень важную роль, в частности, при выборе сигналов для синхронизации систем связи, что иллюст-

рируется следующим примером.

Пример 2.21. Многие системы связи нуждаются в синхронизации, т.е. в одновременном начале (с точки зрения устройств передачи и приема) интервалов времени, в течение которых передаются и принимаются сигналы38. Для того чтобы синхронизировать приемник, необходимо время от времени передавать некоторый спе-

38Говоря здесь об одновременности, мы для простоты не учитываем время передачи сигнала по каналу связи.

82	2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

циальный сигнал, играющий роль временнóй метки, временнóе положение которой приемник должен измерить, чтобы «сверить часы». Измерение временнóго положения синхронизирующего сигнала производится при помощи многоканального устройства, структурная схема которого показана на рис. 2.26.

Рис. 2.26. Измерение временнόго положения синхронизирующего сигнала

В каждом канале вырабатывается значение взаимно корреляционной функции принятого сигнала и одного из n опорных сигна-

лов; каждый из опорных сигналов представляет собой копию входного сигнала, задержанную на величину, кратную некоторому шагу . Шаг выбирается исходя из требуемой точности измерения задержки, при этом для достижения большей точности шаг необходимо уменьшать. Число каналов n определяется диапазоном измеряемых задержек и величиной шага . Легко видеть, что величины на выходах интеграторов представляют собой отсчеты АКФ принимаемого сигнала, взятые с интервалом .

С учетом 1-го свойства АКФ, если задержка входного сигнала составляет k , то на выходе k -го канала значение ВКФ достигнет максимума и будет равно энергии сигнала. Устройство выбора максимума УВМ вырабатывает оценку по номеру канала, на выходе которого имеет место максимальное значение интеграла

	arg max(x, xk ) ◄
	k