Васюков В_Н_ Теория электрической связи_

2.9. Частотное описание ЛИС-цепей

63

ражение Y( f ) H ( f )X ( f ) , связывающее выходной сигнал ЛИС-

цепи с входным сигналом. Заметим, что это выражение соответствует в конечномерном случае умножению вектора на диагональную матрицу (2.29).

Подытоживая, можно сказать, что представление входного сиг-

нала относительно собственного базисного ядра e j 2 ft имеет пре-

имущество перед динамическим представлением, так как вместо

интегрального выражения свертки связь входного сигнала с вы-

ходным описывается произведением спектральных плотностей. Уместно еще раз напомнить, что «естественное» временнóе пред-

ставление сигнала x(t)	– это	также спектральная плотность,
только относительно ядра	(t	) .
Выражение
Y( f ) H ( f )X ( f ) ,

устанавливающее связь спектральных плотностей сигналов на входе и выходе ЛИС-цепи через еѐ комплексную частотную характе-

ристику, служит основой спектрального метода анализа линей-

ных стационарных цепей, широко используемого благодаря своей простоте. Именно этим объясняется исключительная роль ряда и интеграла Фурье в теории сигналов и цепей.

Функция H ( f ) в общем случае является комплексной, H( f ) K( f )e j ( f ) , что неудобно. Часто рассматривают еѐ модуль и аргумент по отдельности, при этом модуль K( f ) H ( f ) назы-

вают амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент ( f ) – фазочастотной характеристикой (ФЧХ) цепи.

Пример 2.18. RC-фильтр нижних частот, представленный на рис. 2.18, имеет амплитудно-частотную характеристику и фазочастотную характеристику, показанные на рис. 2.21.◄

K(f)
0	f

(f)

f

а б

Рис. 2.21. Амплитудно-частотная характеристика (а) и фазочастотная характеристика (б) RC-фильтра нижних частот

64	2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

Значение комплексной частотной характеристики при заданной частоте f может в принципе быть измерено как отношение сигна-

ла на выходе ЛИС-цепи к входному сигналу, если этот входной

сигнал – функция e j 2 ft . Таким образом, функция e j 2 ft при произвольно задаваемой частоте f может рассматриваться, как ис-

пытательный сигнал, позволяющий получить описание цепи (КЧХ). Другим испытательным сигналом является -функция, ко-

торая могла бы быть использована для получения отклика цепи в виде импульсной характеристики. Поскольку КЧХ и импульсная характеристика связаны друг с другом взаимно однозначно (через пару преобразований Фурье), должна существовать связь и между соответствующими им испытательными сигналами. В самом деле,

-функция может рассматриваться как интегральная сумма одно-

временно воздействующих на вход цепи функций e j 2 ft , так как еѐ спектральная плотность

	(t)e j 2 ft dt 1.

Каждая из комплексных гармонических функций умножается цепью на соответствующее значение КЧХ, поэтому импульсная

характеристика – отклик на	-функцию
h(t)	H ( f ) 1 e j 2	ft df

представляет собой, образно говоря, «равнодействующую» откликов на все такие функции.

Заметим, что указанные измерения КЧХ и импульсной характеристики на практике точно выполнить нельзя. Даже если бы существовали абсолютно точные измерительные приборы, потребо-

валось бы бесконечное время для генерирования функций e j 2 ft

(нельзя забывать, что они определены на всей временнóй оси!) и измерения отношений выходных сигналов к входным с бесконечной

точностью при всех значениях частоты f . В свою очередь, -функ-

ция представляет собой «бесконечно короткий импульс бесконечно большой амплитуды», который также не может быть реализован точно. На практике КЧХ и импульсная характеристика ЛИС-цепи могут быть измерены приближенно с помощью отрезков гармонических испытательных сигналов конечной продолжительности и коротких импульсов большой (но конечной) амплитуды.

2.10. Ряд Фурье и интеграл Фурье

65

Часто в выражениях, связанных со спектральным анализом сигналов и ЛИС-цепей, вместо частоты f используется круговая

частота 2 f . Пара (2.18) – (2.19) преобразований Фурье в результате замены переменных принимает вид

H ( ) h(t)e j t dt ,
	1			j t
h(t)			H ( )e		d .
	2

2.10. РЯД ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

Как было показано выше, гармонические функции e j 2 ft иг-

рают исключительно важную роль в анализе цепей, как собственные функции любого линейного стационарного оператора. Благодаря этому среди всех базисов пространств сигналов, применяемых в теории и практике, базис Фурье получил наибольшее распространение и заслуживает более детального изучения.

2.10.1.РЯД ФУРЬЕ, ЕГО ФОРМЫ, СВОЙСТВА СПЕКТРОВ

Для пространства сигналов конечной длительности и огра-

1

j

2

kt

ниченной энергии L (T)

ортонормальный

базис

e

T

,

2

T

k

является полным,

следовательно, всякий

сигнал

,

x(t) L2(T)

можно на интервале

T / 2, T / 2

представить обоб-

щенным рядом Фурье по ортонормальным функциям

1

2

x(t)

e j T

kt

(2.38)

k k

T

или рядом Фурье по ортогональным функциям

j

2

kt

x(t) C e

.

(2.39)

T

k

k

66	2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

Спектральные коэффициенты для этих рядов определяются выражениями

1

T / 2

j

2

kt dt

k

x(t)e

T

T T / 2

и

1

T / 2

2

Ck

x(t)e

j

T

kt dt .

T

T / 2

Для ряда (2.38) справедливо равенство Парсеваля

T / 2	x(t)		2 dt			2 .
					k
T / 2				k

(2.40)

(2.41)

Для ряда (2.39) выполняется равенство

T / 2		2 dt T				2 .
	x(t)			C	k
T / 2		k
До сих пор базисные функции рассматривались на конечном
временнóм интервале T / 2, T / 2 .			Нетрудно видеть, что эти

функции могут рассматриваться и вне этого интервала, т.е. на всей

бесконечной						временнóй оси. Поскольку все функции
	j	2	kt
e		T		, k ,				периодичны, причем для их периодов величина

T – наименьшее общее кратное, ряды (2.38) и (2.39), рассматриваемые на всей временнóй оси, определяют периодическую функ-

цию, которая представляет собой сигнал x(t) , повторяющийся с

периодом T .

Таким образом, ряд Фурье одинаково пригоден для представления сигналов конечной длительности и периодических сигналов.

Коэффициенты в обоих случаях находятся по формулам (2.40) или (2.41). Далее будет рассматриваться комплексный ряд Фурье в

форме (2.39).

Коэффициенты ряда Фурье (2.39) даже для вещественного сигнала в общем случае являются комплексными. Для удобства графического представления рассматривают отдельно модули и аргу-

менты коэффициентов

C

C

k

e j

k , при этом

совокупность

k

Ck

, k

называется

амплитудным

спектром, а

,

2.10. Ряд Фурье и интеграл Фурье

67

k , k , – фазовым спектром сигнала. Для наглядности

амплитудный и фазовый спектр изображают решетчатыми спектральными диаграммами, на которых соответствующие величины показаны длинами отрезков, а сами эти отрезки размещены на частотной оси с шагом, равным в выбранном масштабе частоте повто-

рения сигнала F 1T (рис. 2.22).

С

С–1

С1

–4

–3

С–2

С2

–2

–1

С–4 С–3

С3 С4

F

2F 3F 4F

f

–4F –3F–2F –F 0

–4F –3F–2F –F 0 F 2F 3F 4F

f

1

2

3

4

а

б

Рис. 2.22. Амплитудная и фазовая спектральные диаграммы вещественного сигнала

Если сигнал x(t) принимает вещественные значения, ампли-

тудный спектр обладает свойством четности, а фазовый – свойством нечетности. Действительно, для произвольного спектрального коэффициента

	1	T / 2		j	2	kt dt
Ck		x(t)e			T
	T
		T / 2

с учетом вещественности сигнала x*(t) x(t) и

1

T / 2

j 2 kt

1

T / 2

j

2

kt

*

*

C k

x(t)e

T

dt

x(t)e

T

dt

Ck .

T

T / 2

T

T / 2

Таким образом, коэффициенты комплексного ряда Фурье ве-

щественного сигнала попарно комплексно сопряжены. Пользуясь этим свойством, для вещественных сигналов можно получить дру-

гую форму ряда Фурье, также находящую применение. Просуммируем пару базисных функций с номерами (индексами)

k и ( k) с учетом соответствующих спектральных коэффициентов:

Ck e j 2T kt C k e j 2T kt Ck e j 2T kt Ck*e j 2T kt

68

2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

e j

j

2

kt

j

j

2

kt

2

C

k e

T

C

e

k e

T

C

kt

. (2.42)

2

cos

k

k

k

T

k

Тогда ряд Фурье (2.39) можно записать в тригонометрической форме

2

x(t) A

kt

,

(2.43)

cos

T

k 0

k

k

Ck

,

k 0,

2

где Ak

C0 ,

k 0;

все коэффициенты Ak вещественны.

Ещѐ одна форма ряда Фурье для вещественных сигналов основана на разложении по тригонометрическим функциям, образующим ортогональный базис

a

2

2

x(t)

0

a

cos

kt b

sin

kt

,

T

T

2

k

k

k

1

со спектральными коэффициентами

2

T / 2

2

a

x(t)cos

kt dt,

k 0, ,

k

T T / 2

T

2

T / 2

2

b

x(t)sin

kt dt,

k 1, .

k

T

T / 2

T

Сложим с учетом коэффициентов две функции этого базиса, имеющие одинаковую частоту, и воспользуемся формулой Эйлера:

j 2

kt

j

2

kt

j 2

kt

j

2

kt

2

2

e

e

e

e

a

cos

kt

b sin

kt a

T

T

b

T

T

k

T

k

T

k

2

k

2 j

a jb

j

2

kt

a jb

j

2

kt

k

k

e

T

k

k

e

T

.

2

2

Сравнивая полученное выражение с выражениями (2.42), ви-

дим, что

C

ak

jbk

, а

C

k

ak jbk

,

откуда следуют связи

k

2

2

2.10. Ряд Фурье и интеграл Фурье

69

между спектральными коэффициентами для различных форм ряда Фурье:

							a2	b2
		Ck					k	k		,
								2
A							A a0
	a2		b2			,					,
k	k			k				0	2

C0 a20 ,

k arctg bk . ak

Очевидно, если сигнал представляет собой четную функцию, то все синусоидальные компоненты ряда равны 0; аналогично, все косинусоидальные компоненты равны нулю, если сигнал – нечетная функция (при этом равна нулю и постоянная составляющая).

Пример 2.19. Периодическая с периодом T последовательность прямоугольных импульсов амплитуды U и длительности и

показана на рис. 2.23.

Спектральные коэффициенты комплексного ряда Фурье находятся как

1

T / 2

j

2

kt dt

1

и / 2

2

U и

sin k

и / 2 ,

C

x(t)e

T

U cos

kt

dt

k

T T / 2

T и / 2

T

T

k

и / 2

где введено обозначение круговой частоты

2

2 F . Таким

T

образом, диаграмма амплитудного спектра сигнала, показанная на

рис. 2.24, имеет огибающую в форме известной функции вида sinx x . Заметим, что все коэффициенты Ck оказались вещественными, так что фазовый спектр равен нулю для всех k . Значение

постоянной составляющей сигнала C0 UT и Uq , где q T и –

параметр импульсной последовательности, называемый скважно-

стью.

		u(t)
		U
–2Т	–Т		и		Т	2Т t
			2

Рис. 2.23. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

70	2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

1/

и

0

f

Рис. 2.24. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Последовательности прямоугольных импульсов широко применяются в радиотехнике и связи в качестве моделей реальных сигналов, поэтому спектр данного сигнала достоин более внимательного рассмотрения. Прежде всего, обратим внимание, что оги-

	бающая спектра впервые пересекает ось частот при			и		, т.е.
				2
		2
	при		или при f 1 и . Таким образом, численное значение

и

скважности прямоугольной импульсной последовательности показывает, во сколько раз полуширина главного лепестка огибающей

спектра больше шага F 1T следования по оси частот спектраль-

ных составляющих.

Конечная сумма ряда Фурье может служить аппроксимацией сигнала. На рис. 2.25 показаны конечные суммы комплексного ряда Фурье периодической последовательности прямоугольных импульсов при числе слагаемых 5, 11 и 25. Видно, что аппроксимация становится точнее с ростом количества слагаемых. Ошибка аппроксимации при удержании в сумме 2N 1 слагаемых (от N -го

до N -го) может быть найдена на основе равенства Парсеваля как

2 T

N 1

2

2

2

N

2

C

k

T

C

k

T

C

k

T

C

k

. ◄

k

k N 1

k

k N

При увеличении числа слагаемых ряда Фурье ошибка аппроксимации периодического сигнала стремится к нулю по норме про-

странства L2(T) , т.е.

	2		T / 2		2	dt 0 .	(2.44)
				x(t) x	(t)

T / 2

2.10. Ряд Фурье и интеграл Фурье					71
		x(t)
–2Т	–Т	и	Т	2Т	t
		2
		x(t)

–2Т	–Т	и	Т	2Т	t
		2
		x(t)

–2Т	–Т	и	Т	2Т t
		2

Рис. 2.25. Аппроксимация периодической последовательности, показанной на рис. 2.23, суммой 5, 11 и 25 членов ряда Фурье

Здесь x(t) – аппроксимация сигнала x(t) . При этом максимальное

значение разности стремится не к нулю, а к конечной величине (порядка 9 % от амплитуды импульса). Это явление известно как явление Гиббса32. Причиной явления Гиббса является неравномер-

ная сходимость33 ряда Фурье для разрывных функций. При равномерной сходимости предел последовательности непрерывных

функций, каковыми являются конечные суммы ряда Фурье, сам должен быть непрерывной функцией; в рассматриваемом же примере пределом является разрывная (скачкообразная) функция. В некоторых практических задачах таких, как синтез цифровых

фильтров, явление Гиббса нежелательно; существуют методы уменьшения гиббсовских пульсаций (осцилляций), основанные на

коррекции коэффициентов ряда Фурье [5].

32Джосайя Уиллард Гиббс (1839–1903) – выдающийся американский физик, один из основателей статистической физики.

33Сходимость, описываемая выражением (2.44), называется среднеквадратической.

72 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

2.10.2. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Ряд Фурье представляет собой удобный инструмент анализа сигналов, заданных на конечном временном интервале, а также периодических колебаний, так как позволяет заменить несчетное множество (континуум) значений аналогового сигнала счетным

множеством						спектральных коэффициентов.				Базис Фурье
	j	2	kt
e		T		, k ,				полон в пространстве	L (T) ,	поэтому любой
									2

сигнал из L2(T) можно сколь угодно точно аппроксимировать конечной суммой ряда Фурье, выбрав достаточно большое число слагаемых. Среди всех полных в L2(T) базисов базис Фурье имеет то

преимущество, что он составлен из функций, собственных для любого ЛИС-оператора. Это максимально упрощает анализ воздействия периодических сигналов на ЛИС-цепи.

Для пространства L2( , )	сигналов ограниченной энергии,
		j	2	kt
заданных на всей временной оси, базис e			T		, k ,			не явля-

ется полным ни при каком T и, следовательно, непригоден для представления сигналов, так как ошибку аппроксимации нельзя в общем случае сделать произвольно малой путем учета достаточного числа слагаемых ряда Фурье. В самом деле, если сигнал имеет бесконечную длительность и конечную энергию, т.е. принадлежит

пространству L2 ( , ) , то он должен убывать при стремлении

t , и притом достаточно быстро. При любом выборе T ряд Фурье для такого сигнала определяет периодическую функцию, которая может совпадать с заданным сигналом только на интервале длительности T , а за его пределами неизбежно будет отличаться от него. Более того, периодическая функция всегда имеет бесконечную энергию, поэтому и ошибка аппроксимации при любом T будет иметь бесконечную норму. Это и означает неполноту счет-

ного базиса Фурье в L2 ( , ) 34. Итак, единственным способом использовать комплексные экспоненты в качестве базисных функ-

34 Напомним, что в	L ( , )	существуют полные ортонормальные счетные
	2

базисы (например, базис, составленный из функций Эрмита [3]), но они, к сожалению, не являются собственными для ЛИС-цепей.