Васюков В_Н_ Теория электрической связи_

2.6. Непрерывные представления сигналов

53

иное, как спектральная плотность. Таким образом, с математиче-

ской точки зрения временно´е представление сигнала является не более (и не менее) естественным, чем частотное (2.18) или любое другое представление относительно самосопряженного базисного ядра. ◄

Пример 2.15. Очень важную роль в теории сигналов играет

представление	относительно ядра вида	u(t, )	1	(вместо
			( t)
переменной s	использована переменная	, имеющая смысл вре-

мени). Это ядро является самосопряженным. Поэтому спектральная плотность сигнала x(t) относительно данного ядра определя-

ется выражением

	xˆ( ) 1			x(t)
						dt ,	(2.24)
				t
	а интегральное представление сигнала – формулой
	x(t) 1			xˆ( )
					d .		(2.25)
				t

Выражения (2.24) и (2.25) называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Гильберта и используются, в част-

ности, для описания узкополосных детерминированных и случайных колебаний, см. разд. 2.12 и 3.6. ◄

Пример 2.16. Для представления дискретных сигналов из про-

странства l2 используется ядро u( f , n) e j 2 fn , зависящее от непрерывной переменной f , имеющей смысл частоты, и от дискрет-

ной (целой)	переменной n . Спектральную плотность дискретного
сигнала x[n]	относительно данного ядра можно определить выра-
жением
	X ( f ) x[n]e j 2 fn ,	1 f 1,			(2.26)
	n
а интегральное представление сигнала – выражением
	0.5
	x[n] X ( f )e j 2 fndf ,	n	,	.	(2.27)
	0.5

Эти выражения называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье для последовательностей и используются

в цифровой обработке сигналов (подробнее см. разд. 12). ◄

54	2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

Полезно иметь в виду, что дискретное представление сигнала в виде ряда можно истолковать как частный случай интегрального представления. В самом деле, введем для базисных функций

{vk (t), k , } обозначение {v(t,sk ), k , }, понимая базис-

ные функции, как различные сечения некоторой функции двух переменных v(t,s) , соответствующие фиксированным значениям пе-

ременной s {s sk , k , }. Подставим выражение для сигнала

x(t)		k vk (t)		k v(t, sk )
	k		k

в формулу для нахождения спектральной плотности относительно некоторого ядра с помощью сопряженного ядра (2.16)

(s)			k	v(t, s )w*(s, t)dt				k	v(t, s )w*(s, t)dt .
	k			k			k		k
С учетом условия сопряженности ядер (2.17) получим
				(s)		k	(s sk ) .
					k

Таким образом, дискретное представление действительно можно понимать как интегральное представление со спектральной

плотностью (s) , сосредоточенной в счетном множестве точек

sk , k , .

2.7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОПЕРАТОРЫ

Всюду, где применяются сигналы, они подвергаются преобразованиям. Под преобразованием можно понимать любое изменение сигнала – как целенаправленное, так и непреднамеренное. Целена-

правленные преобразования осуществляются в созданных специ-
									ально для этого устройствах, которые да-
x(t)							y(t)		лее будем называть цепями. Непреднаме-
				T					ренными являются преобразования, про-
									исходящие, например, в линиях связи.
									В наиболее общей форме преобразова-
Рис. 2.17. Преобразова-									ние изображается схемой рис. 2.17. Обо-
			ние сигнала						значая входной сигнал x(t) , а выходной

2.7. Преобразования и операторы		55
сигнал y(t) , можно записать	y(t) T x(t) ,	где T – обозначе-

ние преобразования.

С математической точки зрения преобразование представляет собой отображение множества входных сигналов во множество

выходных сигналов . Эти множества могут быть одинаковыми,

но могут и существенно различаться. Например, в задаче обнаружения24 полезного сигнала во входном колебании на временнóм

интервале T входные колебания принадлежат L2 T , а множество

выходных сигналов состоит из двух значений, условно обозначаемых 0 («сигнала нет») и 1 («сигнал есть»). Здесь будем полагать, что входные и выходные сигналы принадлежат одному и тому же

пространству L2 (или l2 ); в этом случае преобразование называет-

ся оператором. Такая постановка соответствует, в частности, задаче фильтрации сигналов. Канал связи представляет собой соеди-

нение25 многих устройств и сред распространения, поэтому осуществляемое им отображение имеет сложный, составной характер. Некоторые из составных частей этого отображения являются операторами, другие, например аналого-цифровые и цифроаналоговые преобразования, описываются отображениями более общего вида.

Рассмотрение преобразований в такой общей постановке не дает каких-либо содержательных результатов именно в силу своей предельной общности. Для того чтобы получить практическую пользу, математическую модель следует конкретизировать (сузить). Очень плодотворный подход состоит в ограничении рассмотрения так называемыми линейными операторами26.

Оператор называется линейным, если он обладает свойствами аддитивности

x y x y

и однородности

x x ,

24Подробно эта задача рассматривается в разд. 9.

25В простых случаях это каскадное соединение; при многолучевом распростране-

нии некоторые части канала соединены параллельно.

26Некоторые нелинейные преобразования колебаний будут рассмотрены в разд. 5, посвященном модуляции и демодуляции.

56	2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

обычно объединяемыми в одну формулу, выражающую принцип суперпозиции:

x y x y .

Таким образом, если оператор, описывающий некоторое устройство (цепь), является линейным, то отклик этой цепи на входной сигнал, представленный обобщенным рядом Фурье

		kuk (t) , равен сумме ряда, составленного из откликов
x(t)
	k
на базисные функции с теми же весовыми (спектральными) коэф-
фициентами:
						k uk (t) . (2.28)
	y(t) x(t)			kuk (t)
		k			k

Выражение (2.28) описывает спектральный метод анализа линейных цепей. Вместо обобщѐнного ряда Фурье может быть использовано интегральное представление входного сигнала. Чтобы уяснить смысл обсуждаемых понятий, рассмотрим действие линейного оператора в конечномерном линейном пространстве.

Линейные операторы в конечномерных пространствах описываются квадратными матрицами. Рассмотрим пространство дис-

кретных сигналов, каждый из которых представляется N комплексными отсчетами ( N -мерное пространство). Результатом

воздействия линейного					оператора,		описываемого			матрицей
		, i, j		, на вектор-столбец			x (x , ..., x		)T	является
	ij		1, N					N
							1
вектор-столбец y (y , ..., y					N	)T , при этом
		1

	y1			11	12
	y
	2			21	22
	...		...		...
				N1	N 2
yN

...	1N	x1
...		x			,
...	2N		2
	...		...
...
	NN xN

и значение (отсчет) выходного сигнала описывается выражением

N

yk kj xj , k 1, N . j 1

Наглядно представить себе поведение линейного оператора можно на примере его действия на базисные векторы

2.7. Преобразования и операторы

57

e1 1, 0, ..., 0 T , e2 0,1, ..., 0 T , ... , eN 0, 0, ...,1 T . Легко видеть,

что вектор e1 преобразуется в вектор 11, 21, ..., N1 T , аналогично

остальные векторы ортонормального базиса преобразуются в векто- ры-столбцы, из которых составлена матрица линейного оператора.

Из линейной алгебры известно, что существуют векторы, которые данным оператором преобразуются наиболее простым образом: изменяются лишь их длины (нормы); такие векторы называются собственными векторами, а коэффициенты, определяющие изменение длин27, называются собственными значениями оператора. Нетрудно видеть, что если базис пространства составить из

собственных векторов данного оператора, то матрица оператора будет диагональной

	y1			11
	y			0
	2
	...		...
				0
y
	N

0

22

...

0

...	0		x1
...	0		x			,	(2.29)
...	...			2
			...
...
	NN		x
				N

где главная диагональ матрицы составлена из собственных значений, и отсчѐты выходного сигнала находятся наиболее просто:

y		x ,	k 1, N	(штрихами отмечены компоненты векторов
k		kk k

относительно собственного базиса). Далее будет показано, что ана-

логичное упрощение может быть достигнуто и для пространства аналоговых сигналов L2 при соответствующем выборе базисных

векторов (функций).

Переход от конечномерного пространства к бесконечномерному пространству дискретных сигналов l2 приводит к тому, что

векторы x и y содержат бесконечно много компонент, соответст-

венно	матрица линейного			оператора		становится бесконечной
	ij , i, j		. Значение (отсчет)			выходного сигнала опре-
		,
деляется выражением yk					kj xj , k		,	, представляющим
			j

собой скалярное произведение строки матрицы оператора на век- тор-столбец входного сигнала.

27Сказанное верно для пространства над полем вещественных чисел; операторы, действующие в комплексном пространстве, имеют комплексные собственные значения.

58 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

Гильбертово пространство аналоговых сигналов L2 отличается

тем, что множество компонент каждого его вектора несчетно, поэтому дискретные индексы заменяются непрерывными переменными, а место матрицы занимает функция ( , ) двух переменных,

называемая ядром оператора. Тогда действие линейного оператора на сигнал x(t) описывается интегральным выражением

y(t) (t, s)x(s)ds .	(2.30)

Здесь переменная s имеет физический смысл и размерность, соответствующие базису, выбранному для описания сигнала x . В частности, это может быть частота, если сигнал задан спектральной плотностью (2.18), или время, если сигнал x задан во временной области (2.22).

2.8.ВРЕМЕННÓЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ИНВАРИАНТНЫХ К СДВИГУ (ЛИС) ЦЕПЕЙ

Используя выражение (2.28), найдѐм отклик цепи на сигнал, представленный выражением (2.23). Очевидно,

		x( )	(t	)d
y(t) x(t)

x( )h(t, )d

где весовая функция (ядро оператора)

x( ) (t ) d
,		(2.31)
h(t, ) (t	)	пред-

ставляет собой отклик (реакцию) цепи в момент t на входной сигнал в виде -функции, воздействующий на цепь в момент .

Особое значение в анализе цепей имеет случай, когда весовая функция фактически зависит только от разности переменных h(t, ) h(t ) , тогда цепь называется линейной инвариантной к

сдвигу (ЛИС-цепью), или линейной стационарной28, а выражение

(2.31) приобретает вид

y(t) x(	)h(t )d .	(2.32)

28Нестационарные, или параметрические, цепи широко применяются при модуляции и демодуляции сигналов (см. разд. 5).

2.8. Временнóе описание линейных инвариантных к сдвигу (ЛИС) цепей

59

Выражение (2.32) известно под названием свѐртки, или интеграла Дюамеля29. (Иногда используется символическое обозначение свертки выражением x h.)

Если подставить в	(2.32)		в качестве входного сигнала
x(t) (t) , выходной сигнал
y(t)		( )h(t )d h(t) .
Таким образом, функция	h(t)		представляет собой отклик ЛИС-

цепи на «бесконечно короткий импульс» ( -функцию) и называется импульсной характеристикой цепи. Зная входной сигнал и импульсную характеристику цепи, всегда можно точно определить выходной сигнал. Поэтому импульсная характеристика (ИХ) со-

ставляет исчерпывающее		описание	ЛИС-цепи. Условие
h(t,	) h(t ) означает, что, зная реакцию h(t) цепи на воздейст-
вие	(t) , можно определить	отклик на	сдвинутое воздействие
(t	) путем простого сдвига импульсной характеристики на та-

кую же величину . Иными словами, поведение такой цепи неиз-

менно во времени.

Пример 2.17. RC-фильтр нижних частот, представленный на

рис. 2.18, имеет импульсную характеристику h(t)	1	e	t /	,		RC

(рис. 2.19).◄

Для уяснения физического смысла интеграла Дюамеля, играющего важнейшую роль в анализе линейных стационарных цепей, полезно выполнить в (2.32) замену переменных, так что

y(t)	x(t )h( )d .	(2.33)

R	1 ht()
	RC
	C
	0	t

Рис. 2.18. RC-фильтр нижних	Рис. 2.19. Импульсная характери-
частот	стика RC-фильтра нижних частот

29 Жан Мари Констан Дюамель (1797 – 1872) – французский математик.

60	2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

Кроме того, для простоты примем, что импульсная характеристика удовлетворяет условию каузальности (причинности)

h(t) 0 при t < 0 .

(2.34)

Согласно (2.23) входной сигнал представляется «плотной» последовательностью -функций с «амплитудными» коэффициентами, равными значениям сигнала в соответствующие моменты времени. Тогда выражение (2.33) описывает выходной сигнал в момент времени t , как интегральную сумму откликов на все эти

-функции, воздействовавшие на вход цепи в прошлом. Каждая такая -функция отстоит от текущего момента t на величину в

прошлое, поэтому еѐ вклад в текущее значение выходного сигнала определяется значением импульсной характеристики, соответствующим интервалу . Импульсная характеристика любой реаль-

ной цепи со временем убывает (затухает), таким образом, цепь постепенно «забывает» значения входного сигнала (рис. 2.20).

Заметим, что ЛИС-цепи представляют собой сравнительно узкий класс цепей (вообще говоря, никакая цепь не может быть строго линейной хотя бы потому, что любое реальное устройство

состоит из веществ, имеющих конечную температуру плавления или возгорания; точно так же реальная цепь не может быть строго

стационарной уже в силу конечности времени ее существования).

Однако очень многие цепи и каналы связи могут считаться приближенно линейными инвариантными к сдвигу, а вместе с удобст-

вом анализа и синтеза ЛИС-цепей это составляет огромное преимущество линейной стационарной модели и обусловливает ее широкое использование. Нелинейные и/или нестационарные цепи значительно труднее анализировать (не существует, в частности, общего метода анализа всех нелинейных цепей, аналогичного спек-

тральному методу) и синтезировать, однако некоторые преобразования сигналов, необходимые для практики, невозможно осуще-

ствить при помощи ЛИС-цепей. Преобразования гармонических

x(t)

t0 t

Рис. 2.20. Иллюстрация смысла интеграла Дюамеля

2.9. Частотное описание ЛИС-цепей

61

колебаний в нелинейных безынерционных и линейных нестационарных цепях, используемые при модуляции и демодуляции сигналов, будут рассмотрены в разд. 5.

2.9. ЧАСТОТНОЕ ОПИСАНИЕ ЛИС-ЦЕПЕЙ

Интеграл Дюамеля описывает действие оператора ЛИС-цепи на входной сигнал, представленный интегральным выражением

(2.23) относительно базисного ядра (t ) . Проводя аналогию с

конечномерным линейным пространством, можно ожидать, что возможно представление сигнала относительно ядра, аналогичного собственному базису; при этом действие оператора должно описываться более простым выражением. Другими словами, линейному оператору соответствуют векторы (функции), обладающие следующим свойством: действие данного оператора на эти функции сводится к их умножению на скалярные коэффициенты. Обозначим такую собственную функцию (t) ; она должна удовлетворять

уравнению

	(t,s) (s)ds (t) ,

где – некоторый числовой множитель (собственное значение,

соответствующее данной собственной функции). Различным линейным операторам соответствуют различные наборы собственных функций и собственных значений.

Для линейного инвариантного к сдвигу (стационарного) оператора собственная функция должна удовлетворять уравнению, записываемому с учетом (2.33):

	(t )h( )d	(t) .

Легко убедиться, что решением этого интегрального уравнения

является комплексная гармоническая функция e j 2 ft , где f – еѐ параметр, имеющий смысл частоты:

e j 2	f (t )h( )d e j 2	ft	e j 2	f	h( )d H ( f )e j 2 ft .

Итак, если на вход ЛИС-цепи поступает сигнал e j 2 ft , то на выходе наблюдается этот же сигнал, умноженный на комплексное

62	2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

число, зависящее от частоты сигнала. Функция H ( f ) , описываю-

щая эту зависимость, называется комплексной частотной характеристикой (КЧХ)30 цепи и связана с импульсной характеристикой

парой преобразований Фурье:

H ( f )	h(t)e j 2	ft dt ,	(2.35)
h(t) H ( f )e j 2		ft df .	(2.36)

Таким образом, функции времени e j 2 ft при различных значениях f являются собственными функциями оператора любой

ЛИС-цепи, при этом конкретной цепи соответствует определенная КЧХ H ( f ) , определяющая масштабный коэффициент (собствен-

ное значение) для каждой функции e j 2 ft при любом значении частоты f .

Запишем входной сигнал в виде интегрального выражения относительно ядра e j 2 ft :

x(t)	X ( f )e j 2 ft df .		(2.37)
Напомним, что это выражение		представляет x(t)	«сплошной»
суммой базисных функций e j2	ft	с «амплитудными31 коэффициен-
тами» X ( f ) . Следовательно,	отклик ЛИС-цепи с КЧХ H ( f ) на
этот сигнал представляется интегралом
y(t) H ( f )X ( f )e j 2 ft df ,
так как каждая функция e j 2 ft	в разложении (2.37) умножается на

H ( f ) . Учитывая, что y(t)	Y( f )e j 2	ft df , можно записать вы-

30Эту характеристику называют также комплексным коэффициентом передачи, передаточной функцией и т.п.

31Ясно, что на самом деле амплитуды гармонических составляющих бесконечно малы.