0085730_32E51_mosin_v_g_matematicheskie_osnovy

5.2. Производные

121

Теорема 58 (о дифференцировании частного) Пусть функции f (x) и g(x) имеют производные в точке x0. Тогда их частное также имеет производную в точке x0, причем:

f = f g − f g . g x2

Доказательство Пусть y = f /g. Придадим переменной x бесконечно малое приращение ∆x в точке x0. Тогда функция y получит приращение ∆y, причем:

y + ∆y = f + ∆f . g + ∆g

Выразим отсюда инетересующее нас приращение функции y:

∆y =	f + ∆f	f		=	∆f g − f ∆g	.
	g + ∆g	− g
					g2 + g∆g

Для вычисления производной функции y в точке x0 воспользуемся определением (см. опр. 53, стр. 117):

y = f g

= lim		∆y	=	lim	(∆f /∆x) · g − f · (∆g/∆x)					=
∆x→0		∆x		∆x→0		g2 + g∆g
=	lim ∆f /∆x · g − f · lim ∆g/∆x						=	f g − f g	.
		g2 + g lim ∆g						g2

В течение всей выкладки мы так же, как и в доказательстве предыдущей теоремы (см. теор. 57, стр. 120), пользовлись свойствами пределов (см. теор. 48, стр. 109) и доказанными выше свойствами непрерывных функций. (см. теор. 51, стр. 114).

Теорема доказана.

5.2.3Производные простейших элементарных функций

Впредыдущем разделе мы установили, что при помощи правил дифференцирования можно сводить вычисления производных сумм функций, произведений функций и частных функций к вычислению производных отдельных функций.

Вданном разделе мы докажем формулы для вычисления производных простейших элементарных функций. Комбинируя эти формулы с прави-

лами дифференцирования, мы получим инструмент дифференцирования довольно-таки широкого (хотя и не окончательного9) набора функций.

Теорема 59 (о производной постоянной) Функция, являющаяся тождественной константой y = C, дифференцируема в любой точке, причем

C = 0 .

9Последний шаг в развитии техники дифференцирования мы сделаем в следующем разделе (см. раздел 5.2.4, стр. 129), когда получим формулы для дифференцирования сложных функций.

122 Глава 5. Математический анализ

Доказательство Очевидно, что если функция является тождественной константой, то ее приращение в любой точке равно нулю. Отсюда

y = lim	∆y	=	lim 0 = 0 .
∆x→0	∆x		∆x→0
Теорема доказана.
Теорема 60 (о производной независимой переменной)				Функция
y = x является дифференцируемой в любой точке, причем

x = 1 .

Доказательство Зафиксируем произвольное значение переменной x = x0, и придадим переменной x приращение ∆x в этой точке. Тогда функция y получит приращение ∆y = ∆x. Отсюда

	y = lim	∆y	=	lim	∆x	=	lim 1 = 1 .
		∆x			∆x
	∆x→0			∆x→0			∆x→0

Теорема доказана.

Теорема 61 (о производной степенной функции) Функция y = xn является дифференцируемой в любой точке, причем

(xn) = nxn−1 .

Доказательство Зафиксируем произвольное значение переменной x = x0, и придадим переменной x приращение ∆x в этой точке. Тогда функция y получит приращение

∆y = y(x0 + ∆x) − y(x0) = (x0 + ∆x)n − xn0 =

= x	0	+ nxn−1	∆x +	n(n − 1)	xn−2	∆2x +	· · ·	+ ∆nx	−	xn =
		0	2 0							0

= nxn0 −1∆x + o(∆x) ,

где o(x) — бесконечно малая более высокого порядка, нежели ∆x. Разделим полученное равенство на ∆x и перейдем к пределу. Тогда:

∆y

nxn−1

∆x + o(∆x)

y = lim

=

lim

0

=

∆x

∆x→0 ∆x

∆x→0

xn−1

∆x

o(∆x)

lim xn−1

+ 0 = nxn−1 .

= n lim

0

+

lim

= n

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

∆x→0

0

0

Здесь мы, как обычно, пользовались свойствами пределов (см. теор. 48, стр. 109), а так же сравнением бесконечно малых функций (см. опр. 48, стр. 112).

В силу произвольности выбора точки x0, полученная формула дифференцирования является справедливой в любой точке.

Теорема доказана10.

10Мы доказали теорему в частном случае — мы предполагали, что показатель степенной функции является натуральным число n и воспользовались для доказательства формулой бинома Ньютона. Более сложные рассуждения (которые мы не будем здесь приводить) позволяют доказать справедливость этой формулы для любого показателя.

5.2. Производные	123
Теорема 62 (о производной показательной функции)	Функция
y = ax является дифференцируемой в любой точке, причем
(ax) = ax ln a .

Доказательство Зафиксируем произвольное значение переменной x = x0 и придадим переменной x приращение ∆x в этой точке. Тогда функция y получит приращение

∆y = y(x0 + ∆x) − y(x0) = ax0+∆x − ax0 = ax0 (a∆x − 1) .

Воспользуемся асимптотическими формулами (см. теор. 50, стр. 112). С их помощью мы можем представить скобку (a∆x − 1) в следующей форме:

a∆x − 1 = ∆x ln a + o(∆x) ,

где o(∆x) — бесконечно малая более высокого порядка, нежели ∆x. Следовательно, окончательное выражение для приращения функции таково:

∆y = ax0 (∆x ln a + o(∆x)) .

Разделим полученное равенство на ∆x и перейдем к пределу при бесконечно убывающем приращении аргумента. Тогда:

	∆y			ax0 (∆x ln a + o(∆x))
y = lim		= lim						=
					∆x
∆x→0	∆x		∆x→0			= a
∆x→0			∆x	∆x→0	∆x				∆x→0	∆x
= ax0	lim		∆x ln a	+ lim	o(∆x)			x0	ln a lim	∆x	+ 0 = ax0 ln a .

Здесь мы, как обычно, пользовались свойствами пределов (см. теор. 48, стр. 109), а также сравнением бесконечно малых функций (см. опр. 48, стр. 112).

В силу произвольности выбора точки x0, полученная формула дифференцирования является справедливой в любой точке.

Теорема доказана.

Теорема 63 (о производной синуса) Функция y = sin x является дифференцируемой в любой точке, причем

(sin x) = cos x .

Доказательство Зафиксируем произвольное значение переменной x = x0 и придадим переменной x приращение ∆x в этой точке. Тогда функция y получит приращение

∆y = y(x0 + ∆x) − y(x0) = sin(x0 + ∆x) − sin x0 =

= sin x0 cos ∆x + cos x0 sin ∆x − sin x0 = sin x0(cos ∆x − 1) + cos x0 sin ∆x .

Воспользуемся асимптотическими формулами (см. теор. 50, стр. 112). С их помощью мы можем представить скобку (cos ∆x − 1) в следующей форме:

cos ∆x − 1 = −∆2x + o(∆2x) , 2

124	Глава 5. Математический анализ

где o(∆2x) — бесконечно малая более высокого порядка, нежели ∆2x. Кроме того, в силу все тех же асимптотических формул,

sin ∆x = ∆x + o(∆x) .

Следовательно, окончательное выражение для приращения функции тако-

во:

∆y = sin x0 −∆2x + o(∆2x) + cos x0 (∆x + o(∆x)) . 2

Разделим полученное равенство на ∆x и перейдем к пределу при бесконечно убывающем приращении аргумента. Тогда:

y = lim

∆y

=

lim

sin x0 −∆2x/2 + o(∆2x)

+ cos x0 (∆x + o(∆x))

=

∆x

→

→

∆

∆x 0

∆x

0

x

= sin x

lim

−∆2x

+

lim

o(∆2x)

+

2∆x

∆x

0

∆x→0

∆x→0

∆x→0

0

∆x

∆x→0

∆x

=

+ cos x

lim

∆x

+

lim

o(∆x)

= sin x0 (0 + 0) + cos x0 (1 + 0) = cos x0 .

Здесь мы, как обычно, пользовались свойствами пределов (см. теор. 48, стр. 109), а также сравнением бесконечно малых функций (см. опр. 48, стр. 112).

В силу произвольности выбора точки x0, полученная формула дифференцирования является справедливой в любой точке.

Теорема доказана.

Теорема 64 (о производной косинуса) Функция y = cos x является дифференцируемой в любой точке, причем

(cos x) = − sin x .

Доказательство Зафиксируем произвольное значение переменной x = x0, и придадим переменной x приращение ∆x в этой точке. Тогда функция y получит приращение

∆y = y(x0 + ∆x) − y(x0) = cos(x0 + ∆x) − cos x0 =

= cos x0 cos ∆x − sin x0 sin ∆x − cos x0 = cos x0(cos ∆x − 1) − sin x0 sin ∆x .

Далее поступим так же, как и при доказательстве предыдущей теоремы. Воспользуемся асимптотическими формулами (см. теор. 50, стр. 112). С их помощью мы можем представить скобку (cos ∆x − 1) в следующей форме:

cos ∆x − 1 = −∆2x + o(∆2x) , 2

где o(∆2x) — бесконечно малая более высокого порядка, нежели ∆2x. Кроме того, в силу все тех же асимптотических формул,

sin ∆x = ∆x + o(∆x) .

5.2. Производные

125

Следовательно, окончательное выражение для приращения функции тако-

во:

∆y = cos x0 −∆2x + o(∆2x) − sin x0 (∆x + o(∆x)) . 2

Разделим полученное равенство на ∆x и перейдем к пределу при бесконечно убывающем приращении аргумента. Тогда:

y =

lim

∆y

=

lim

cos x0 −∆2x/2

+ o(∆2x) − sin x0 (∆x + o(∆x))

=

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

= cos x

lim

−∆2x

+

lim

o(∆2x)

∆x

−

0

∆x→0 2∆x

∆x→0

−

0

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

=

sin x

lim

∆x

+ lim

o(∆x)

= cos x0 (0 + 0) − sin x0 (1 + 0) = − sin x0 .

Здесь мы, как обычно, пользовались свойствами пределов (см. теор. 48, стр. 109), а также сравнением бесконечно малых функций (см. опр. 48, стр. 112).

В силу произвольности выбора точки x0, полученная формула дифференцирования является справедливой в любой точке.

Теорема доказана.

Теорема 65 (о производной тангенса) Функция y = tg x является дифференцируемой в пределах своей области определения, причем

(tg x) =	1	.
	cos2 x

Доказательство Воспользуемся теоремой о производной частного (см. теор. 58, стр. 121) и только что доказанными теоремами о производных синуса (см. теор. 63, стр. 123) и косинуса (см. теор. 64, стр. 124)

y =

sin x

=

(sin x) cos x − sin x(cos x)

=

cos2 x + sin2 x

=

1 .

cos x

cos2 x

cos2 x

cos2 x

Теорема доказана.

Теорема 66 (о производной котангенса) Функция y = ctg x является дифференцируемой в пределах своей области определения, причем

(ctg x)	1
	= −		.
		sin2 x

Доказательство Так же, как и выше, воспользуемся теоремой о производной частного (см. теор. 58, стр. 121) и теоремами о производных синуса (см. теор. 63, стр. 123) и косинуса (см. теор. 64, стр. 124)

cos x

(cos x)

sin x cos x(sin x)

2 x cos2 x

1

y =

=

−

=

− sin −

= −

.

sin x

sin2 x

sin2 x

sin2 x

126	Глава 5. Математический анализ

Теорема доказана.

Понятно, что мы еще не исчерпали весь спектр простейших элементарных функций. Его следует пополнить еще теоремами о производных логарифмической и обратных тригонометрических функций. Для доказательства этих теорем мы применим прием дифференцирования обратных функций.

Определение 57 (обратные функции) Пусть функция y = f (x) определена, неперерывна и строго монотонна на отрезке [a, b], и пусть f (x) принимает значения на отрезке [f (a), f (b)] (для определенности мы предпологаем, что f (x) строго возрастает).

Тогда для любого значения y из области значений функции f (x) существует единственное значение x из области ее определения такое, что f (x) = y.

Сопоставляя таким образом каждому значению y из области значений функции f значение переменной x из области ее определения, получим новую функцию g(y), которая называется обратной к функции f (x).

Пример 79 Функция y = ex удовлетворяет условиям определения (см. опр. 57, стр. 126). Действительно, это функция, определенная, непрерывная и строго возрастающая на всей числовой оси. Она принимает произвольные положительные значения. Поэтому, если y > 0, то функция x = ln y является обратной к исходной функции. Заметим, что аналитическое выражение для нее получается из выражения для исходной функции путем его логарифмирования.

Теорема 67 (о производной обратной функции) Пусть y = f (x) и x = g(y) — две взаимнообратные функции. Тогда

yx = 1 , xy

где нижний индекс указывает переменную, по которой ведется дифференцирование.

Доказательство Зафиксируем произвольно значение x0 из области определения функции f (x). Тогда значение производной функции y, вычисленное в этой точке, согласно определению (см.опр. 53, стр. 117) это следующий предел:

y

=

lim

∆y

=

lim

1

= lim

1

=

1

=

1

.

0 ∆x

0 ∆x/∆y

0 ∆x/∆y

lim∆y 0 ∆x/∆y

x

∆x

∆x

→

∆y

→

y

→

→

x

Комментария здесь требует лишь одно звено, а именно — тот момент, когда от предела по бесконечно убывающему приращению ∆x мы перешли к пределу по ∆y. Этот переход возможен, так как по определению обратных функций (см. пор. 57, стр. 126) они должны быть непрерывными, и, следовательно (см. теор. 51, стр. 114) бесконечно малому приращению аргумента должно отвечать бесконечно малое же приращение функции.

Теорема доказана.

Теорема 68 (о производной логарифма) Функция y = loga x является дифференцируемой в любой точке своей области определения, причем:

1

(loga x) = x ln a .

5.2. Производные

127

Доказательство Функцией, обратной к y = loga x служит x = ay (см. опр. 57, стр. 126). Ее производная нам уже известна (см. теор. 62, стр. 123). Поэтому, пользуясь теоремой о производной обратной функции (см. теор. 67, стр. 126), получим:

y	=	1	=	1			=	1	.
x		xy		ay ln a				x ln a
Теорема доказана.

Теорема 69 (о производной арксинуса) Функция y = arcsin x является дифференцируемой в любой точке своей области определения, причем:

(arcsin x) =	√	1		.
		1 − x	2
Доказательство Функцией, обратной к y = arcsin x, служит x = sin y

(см. опр. 57, стр. 126). Ее производная нам уже известна (см. теор. 63, стр. 123). Поэтому, пользуясь теоремой о производной обратной функции (см. теор. 67, стр. 126), получим:

y

=

1

=

1

=

1

=

1

,

x

xy

cos y

1 − sin2 y

√1 − x2

где в процессе выкладки мы воспользовались основным тригонометрическим тождеством: sin2 x + cos2 x = 1.

Теорема доказана.

Теорема 70 (о производной арккосинуса) Функция y = arccos x является дифференцируемой в любой точке своей области определения, причем:

(arccos x) = −	√	1		.
		1 − x	2
Доказательство Функцией, обратной к y = arccos x, служит x = cos y

(см. опр. 57, стр. 126). Ее производная нам уже известна (см. теор. 64, стр. 124). Поэтому, пользуясь теоремой о производной обратной функции (см. теор. 67, стр. 126), получим:

y

=

1

=

1

=

1

=

1

,

x

xy

− sin y

− 1 − cos2 y

−√1 − x2

где в процессе выкладки мы воспользовались основным тригонометрическим тождеством: sin2 x + cos2 x = 1.

Теорема доказана.

Теорема 71 (о производной арктангенса) Функция y = arctg x является дифференцируемой в любой точке своей области определения, причем:

(arctg x) =	1	.
	1 + x2

128	Глава 5.	Математический анализ
Доказательство	Функцией, обратной к y =	arctg x, служит x = tg y

(см. опр. 57, стр. 126). Ее производная нам уже известна (см. теор. 65, стр. 125). Поэтому, пользуясь теоремой о производной обратной функции (см. теор. 67, стр. 126), получим:

	y	=	1	=	1	= cos2 y =	1	=	1	,
			xy		1/ cos2 y		1 + tg2 y		1 + x2
	x

где в процессе выкладки мы воспользовались известным тригонометрическим соотношением: cos2 y = 1/(1 + tg2 y).

Теорема доказана.

Теорема 72 (о производной арккотангенса) Функция y = arcctg x является дифференцируемой в любой точке своей области определения, причем:

(arcctg x) = −1 +1 x2 .

Доказательство Функцией, обратной к y = arcctg x, служит x = ctg y (см. опр. 57, стр. 126). Ее производная нам уже известна (см. теор. 66, стр. 125). Поэтому, пользуясь теоремой о производной обратной функции (см. теор. 67, стр. 126), получим:

y

=

1

=

1

=

−

sin2 y =

−

1

=

−

1

,

x

1/( sin2 y)

1 + x2

x

1 + ctg2 y

y

−

где в процессе выкладки мы воспользовались известным тригонометрическим соотношением: sin2 y = 1/(1 + ctg2 y).

Теорема доказана.

Резюмируя сказанное выше, сведем полученные формулы в единое утверждение (таблицу производных простейших элементарных функций).

Теорема 73 (таблица производных) Простейшие элементарные функции дифференцируются в соответствии со следующими формулами, которые мы из соображений удобства объединили по блокам:

1.Производная константы: C = 0, а также — производная перменной, по которой ведется дифференцирование: x = 1.

2.Производная степенной функции:

( xα) = αxα−1, где α — любое вещественное число;

				1				1			1
в частности,	√x =			2√		,					= −		.
								x				x2
					x

3.Производные тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс:

( sin x ) = cos x ,			( cos x ) =	−		sin x ,
	1					1
( tgx ) =		,	( ctgx ) = −				.
	cos2 x				sin2 x

5.2. Производные

129

4.Производные обратных тригонометрических функций арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс:

( arcsin x ) =	1					( arccos x ) = −		1
	√				,		√					,
			1 − x2						1 − x2
( arctg x ) =	1			,		( arcctg x ) = −		1		.
		1 + x2						1 + x2

5. Производные показательных и логарифмических функций:

( ax) = ax ln a ,			в частности,	( ex) = ex .
( loga x ) =	1	,	в частности,	( ln x ) =	1	.
	x ln a
					x

Пример 80 Продифференцируем, например, пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования, следующую функцию:

	x2 + x			=	(x2 + x) 2x − (x2 + x) (2x)		= (2x + 1)2x − (x2 + x)2x ln 2		=
	2x				(2x)2			(2x)2
				=	2x + 1 − (x2 + x) ln 2	.
					2x

Здесь на первом шаге выкладки мы применили правило дифференцирования частного (см. теор. 58, стр. 121), а затем — табличные формулы для дифференцирования степенных и показательных функций (см. теор. 73, стр. 128).

5.2.4Производная сложной функции

Последний шаг в развитии техники дифференцирования — дифференцирование сложных функций. Этому приему посвящен настоящий раздел.

Теорема 74 (о приращении дифференцируемой функции) Пусть функция f (x) такова, что существует ее производная в точке x0. Тогда ее приращение в этой точке может быть представлено в виде:

∆f = f (x0)∆x + o(∆x) .

Доказательство

lim

∆f − f (x0)∆x

=

lim

∆f

−

f (x ) = f (x

)

−

f (x

) = 0 .

∆x

0

∆x

∆x 0

∆x

→

0

0

0

→

Из полученного соотношения, пользуясь определением бесконечно малой более высокого порядка (см. опр. 48, стр. 112), заключаем:

∆f − f (x0)∆x = o(∆x) , откуда ∆f = f (x0)∆x + o(∆x) .

Теорема доказана.

Теорема 75 (производная сложной функции) Пусть сложная функция y = f (g(x)) такова, что существует производная функции g в точке

130	Глава 5. Математический анализ

x0 и существует производная функции f в точке g(x0). Тогда существует производная функции y в точке x0, причем:

y = fg · gx ,

где нижние индексы указывают на переменные, по которым ведется дифференцирование.

Доказательство Существование производных означает в силу теоремы о приращении дифференцируемой функции (см. теор. 74, стр. 129), что

∆g = gx∆x + o(∆x) , и ∆f = fg ∆g + o(∆g) .

Поэтому

∆y = fg ∆g +o(∆g) = fg (gx∆x+o(∆x))+o(gx∆x+o(∆x)) = fg gx∆x+o(∆x) .

Перейдем к пределу в последнем равенстве при бесконечно убывающем ∆x:

∆y

f g

∆x + o(∆x)

o(∆x)

y = lim

=

lim

g x

= f

·

g

+

lim

= f

·

g .

0

∆x

∆x

0

∆x

∆x

→

∆x 0

g

x

∆x

→

g

x

→

Теорема доказана.

Пример 81 Пусть, например, требуется продифференцировать сложную функцию y = ln sin x. Мы можем представлять дифференцируемую функцию следующим образом:

y = ln g, где g = sin x .

Поэтому, согласно правилу дифференцирования сложной функции (см. теор. 75, стр. 129), производная сложной функции y имеет следующий вид:

y =	1	· g ,	где g = sin x .
	g

Подставим вместо g выражение этой функции через независимую переменную x, после чего вычислим производную элементарной функции g(x) = sin x просто воспользовавшись таблицей производных (теор. 73, стр. 128):

y = sin1 x · (sin x) = sin1 x · (cos x) = ctg x .

Правило дифференцирования сложной функции можно применять к суперпозициям большего числа элементарных функций, как, например, в следующем примере.

Пример 82 Продифференцировать следующую функцию:

	y = sin (ln x)3 .
Мы можем представить данную	функцию в виде:
y = sin g ,	g = h3 ,	h = ln x .

Применяя правило дифференциорвания сложной функции (см. теор. 75, стр. 129) к функции y = sin g, получим:

y = cos g · g = cos (ln x)3 · (ln x)3 .

Далее мы можем применить это правило к функции g = h3: g = 3h2 · h = 3 ln2 x · (ln x) .

Таким образом, окончательно имеем:

y = cos (ln x)3 · 3 ln2 x · (ln x) = cos (ln x)3 · 3 ln2 x · x1 .