0085730_32E51_mosin_v_g_matematicheskie_osnovy

C.3. Алгоритмы интерполяции

221

Определение 89 (гладкость сопряжения сегментов) Пусть кривая p(u) проходит через три точки опорного ансамбля: A, B и C. С точки зрения эрмитовой интерполяции мы можем рассматривать ее как состоящую из двух сегментов: AB

иBC.

1.Если вектор финиша сегмента AB не параллелен вектору старта сегмента BC, то сопряжение сегментов не является гладким.

2.Если вектор финиша сегмента AB сонаправлен вектору старта сегмента BC, то сопряжение сегментов называется геометрически гладким.

3.Если же вектор финиша сегмента AB в точности равен вектору старта сегмента BC, то сопряжение сегментов называется параметрически гладким.

Отметим, что с точки зрения точной интерполяции вопрос о гладкости сопряжения сегментов вообще не встает: она подразумевается как данность. Но если опорный ансамбль состоит из достаточно большого числа точек, то точная интерполяция приводит к огромному числу вычислений. Эрмитов же алгоритм позволяет рассматривать двухточечные ансамбли как отдельные сегменты и сопрягать их с любой гладкостью при помощи одних и тех же действий.

Пример 167 Пусть требуется провести кривую через три точки данного опорного ансамбля A1(1, 1), A2(3, 1), A3(5, 1) так, чтобы кривая начиналась в точке A1 в направлении вектора v1 = (0, 1), проходила через точку A2 в направлении вектора v2 = (0, −1) и заканчивалась в точке A3 в направлении вектора v3 = (1, 0). Фактически, нам придется решить дважды задачу об эрмитовой интерполяции ансамбля из двух точек:

1.для точек A1(1, 1) и A2(3, 1) с направлениями v1 = (0, 1) и v2 = (0, −1),

2.для точек A2(3, 1) и A3(5, 1) с направлениями v2 = (0, −1) и v2 = (1, 0).

Приступим к решению первой задачи. Будем искать эрмитову интерполяционную кривую p(u) в виде кубической параметризации:

p(u) =	a10 + a11u + a12u2 + a13u3	,
	a20 + a21u + a22u2 + a23u3

где коэффициенты координатных полиномов вычисляются матричным умножением:

a11		=		0		0	1	0		3		= 0
	a10			1		0	0	0		1			1
a13				−2		2	−1	−1		0			0
	a12			3		3	2	1		0			6
					−

для первого координатного полинома и, аналогично, для второго:

a21		=		0		0	1	0			1		=	1 .
	a20			1		0	0	0			1			1
a23				−2		2	−1	−1			1			−0
	a22			3		3	2	1			1			1
					−					−

Таким образом, интересующая нас параметризация найдена:

p(u) =	1 + 6u2 − 4u3	.
	1 + u − u2

Выполним проверку. Должно выполняться четыре условия: два условия прохождения кривой через ансамбль, и два условия направления прохождения.

	1			1 + 1 − 1		1
p(0) =	1	= A1,	p(1) =	1 + 6 − 4	=	3	= A2 .

222	Приложение C. Функции и графики

Что касается направлений прохождения, то эти направления определяются касательными векторами к кривой p(u) при u = 0 и при u = 1. Вычислим производную p (u):

p (u) =	12u − 12u2	,
	1 − 2u

после чего найдем векторы, касательные к кривой p(u) в точках A1 и A2:

	1			1 − 2		−1
p (0) =	0	= v1,	p (1) =	12 − 12	=	0	= v2 .

Все четыре условия выполнены. Задача решена верно. Теперь параметризуем кривую на втором сегменте за счет функции q(u). Будем искать эрмитову интерполяционную кривую q(u) в виде кубической параметризации:

q(u) =	a10 + a11u + a12u2 + a13u3	,
	a20 + a21u + a22u2 + a23u3

где коэффициенты координатных полиномов вычисляются матричным умножением:

a11		=		0		0	1	0		5		=		0
	a10			1		0	0	0		3				3
a13				−2		2	−1	−1		1				3
	a12			3		3	2	1		0				5
					−								−

для первого координатного полинома и, аналогично, для второго:

a21		=		0		0	1	0		1	= −1 .
	a20			1		0	0	0		1				1
a23				−2		2	−1	−1		−0				1
	a22			3		3	2	1		1				2
					−								−

Таким образом, интересующая нас параметризация найдена:

q(u) =	3 + 5u2 − 3u3 .
	1 − u + 2u2 − u3

Выполним проверку. Должно выполняться четыре условия: два условия прохождения кривой через ансамбль, и два условия направления прохождения.

	1		1 − 1 + 2 − 1		1
q(0) =	3	= A2, q(1) =	3 + 5 − 3	=	5	= A3 .

Что касается направлений прохождения, то эти направления определяются касательными векторами к кривой q(u) при u = 0 и при u = 1. Вычислим производную q (u):

q (u) =	10u − 9u2	,
	−1 + 4u − 3u2

после чего найдем векторы, касательные к кривой q(u) в точках A2 и A3:

	−1		−1 + 4 − 3		0
q (0) =	0	= v2, q (1) =	10 − 9	=	1	= v3 .

Все четыре условия выполнены. Итак, окончательно кривая параметризуется на интервале [0, 1] двумя эрмитовыми интерполяциями p(u) и q(u):

p(u) =	1 + 6u2 − 4u3	, q(u) =		3 + 5u2 − 3u3 .
	1 + u − u2			1 − u + 2u2 − u3

C.4. Задачи для самостоятельного решения

223

C.4 Задачи для самостоятельного решения

Задача 20 Вычислить производные следующих функций:

1)	y = x4 + 3x2 − 6 ,																														2)	y = 6x3 − x2 ,
				7/2														5/2														√											3											1
3)	y = 6x									+ 4x												+ 2x ,									4)	y = 3x +											√x +											x			,
5)	y =	(x + 1)3											,																		6)	y = (1 + 4x3)(1 + 2x2) ,
			x3/2
																																			1 + x
7)	y = (a + x)√a − x ,																														8)	y =												,
																																				1 − x
				2x−1																												3
9)	y =	√															,														10)	y = √x2 + x + 1 ,
						1 + x							2
		x
																																									3						3
11)	y = x + x + √x ,																														12)
																																y = (1 + √x) ,
13)	y = sin2 x ,																														14)	y =			sin x												,
																																	1 + cos x
15)	y = sin 2x cos 3x ,																														16)	y = ctg2 5x ,
17)	y = sin3 x cos x ,																														18)	y = ln sin2 x ,
19)	y = ln								1 + sin x													,									20)	y = sin ln x ,
									1 − sin x
21)	y = log2(x2 − 1) ,																														22)	y = ln(x2 − sin x) ,
	y = ln(x + √																								) ,
23)														1 + x2																	24)	y = ln ln x ,
					cos x																						x								√
25)	y = −																+ ln tg													,	26)	y = 2e						x			,
			2 sin2 x																								2
27)	y = esin x cos x ,																														28)	y = ecos x sin x ,
29)	y =	ex − 1									,																				30)	y = ex ln sin x ,
		ex + 1
					1 − ex																											y = sin √
31)	y = tg													,																	32)										1		−				2x ,
					1 + ex
33)	y = 10x tg x ,																														34)	y = arcsin2 x ,
																																																			√
	y = arctg(x2 + 1) ,																															1																		x				3
35)																															36)	y =	√				arctg																						,
																																																	1 − x2
																																			3
											x + 1																															√
37)	y = arcsin										√									,											38)	y = arcsin													sin x ,
																2
39)	y = arctg									ex − e−x													,								40)	y = arctg												4 sin x															,
																																									3 + 5 cos x
													2
41)	y = ln						1 + x												1/4					−				1		arctg x ,	42)	y = arccos											x4 − 1										.
																											2
			1 − x																																								x4 + 1

Для решения задачи воспользуйтесь результатами соответствующих разделов (см. раздел C.1.1, стр. 205 и раздел C.1.2, стр. 208).

Задача 21 Вычислить производные следующих функций, заданных параметри-

224	Приложение C. Функции и графики

чески:
1)	p(u) =		e3u sin 2u					,
			e−u cos u2
							eu
3)	p(u) =			2								,
			arctg eu + 1
		log2(u + 2u)
			√
5)	p(u) =		3									,
			(u3 + u)2(u − 1)
						u −		1

2)	p(u) =	sin2 u					,
		arctg u2
		4
		√u2 + 1					,
4)	p(u) =
	p(u) =		(u2 + 2)3
6)		e3u−1 .
		ln tg 3u

Для решения задачи воспользуйтесь результатами соответствующего раздела (см. раздел C.1.3, стр. 212).

Задача 22 Записать уравнения касательных к графикам следующих функций:

1)	y = x3 − 3x2 − x + 5	при	x = 3 ,
2)	y = x4 + 2x2 − x − 3	при	x = 1 ,
3)	y = ln2(x − 1)	при	x = 2 ,
4)	y = e3x + x2	при	x = 0 ,
5)	y = sin 4x + cos2 3x	при	x = π/2 .

Для решения задачи воспользуйтесь результатами соответствующего раздела (см. раздел C.2.1, стр. 214).

Задача 23 Записать уравнения касательных к следующим параметрически описанным кривым:

	1)	p(u) =	sin 2u	при	u = 0 ,
			cos 3u
			a(u − sin u)
	2)	p(u) =		при	u = π/2 ,
			a(1 − cos u)
		p(u) =	a cos3 u
	3)		a sin3 u	при	u = π/4 ,

4) p(u) =	2 cos u	при u = −π/3 .
	sin u

Для решения задачи воспользуйтесь результатами соответствующего раздела (см. раздел C.2.2, стр. 214).

Для решения следующих задач воспользуйтесь результатами соответствующих разделов (см. раздел C.3.1, стр. 218 и раздел C.3.2, стр. 219).

Задача 24 Кривая проходит через точки A(1, −1), B(2, 3), C(−3, 5). Выполнить точную интерполяцию данного опорного ансамбля. Сделать чертеж.

Задача 25 Кривая проходит через точки A(2, 1), B(5, 3), C(3, −2). Выполнить точную интерполяцию данного опорного ансамбля. Сделать чертеж.

C.4. Задачи для самостоятельного решения

225

Задача 26 Кривая проходит через точки A(0, 3), B(2, −3), C(3, 5). Выполнить точную интерполяцию данного опорного ансамбля. Сделать чертеж.

Задача 27 Кривая стартует в точке A(1, 1) в направлении вектора v1 = {1, 1} и финиширует в точке B(3, 0) в направлении вектора v2 = {0, −3}. Выполнить эрмитову интерполяцию данного опорного ансамбля. Сделать чертеж.

Задача 28 Кривая стартует в точке A(2, −1) в направлении вектора v1 = {1, 2} и финиширует в точке B(−1, 0) в направлении вектора v2 = {−1, −1}. Выполнить эрмитову интерполяцию данного опорного ансамбля. Сделать чертеж.

Задача 29 Кривая стартует в точке A(−2, 1) в направлении вектора v1 = {0, 1} и финиширует в точке B(4, 1) в направлении вектора v2 = {0, 1}. Выполнить эрмитову интерполяцию данного опорного ансамбля. Сделать чертеж.

226	Приложение C. Функции и графики

Литература

Компьютерные графические системы

[E]Э. Энджел, Интерактивная компьютерная графика, М.: Издательский дом “Вильямс”, 2001.

Линейная алгебра

[V] Б. Л. Ван-дер-Варден, Алгебра, М.: Наука, 1979.

[M]А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры, М.: Государственное издательство технико-теоритической литературы, 1956.

[KM] А. И. Кострикин, Ю. И. Манин, Линейная алгебра и геометрия, М.: Издательство московского университета, 1980.

Математический анализ

[F] Г. М. Фихтенгольц, Основы математического анализа, М.: Наука, 1968. [N] С. М. Никольский, Курс математического анализа, М.: Наука, 1991.

[P]Н. М. Пискунов, Дифференциальное и интегральное исчисления, М.: Интеграл-пресс, 2000.

Общематематические курсы

[Sh] В. С. Шипачев, Высшая математика, М.: Высшая школа, 1990.

[KD] В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович, Краткий курс высшей математики, М.: Наука, 1975.

227