0085730_32E51_mosin_v_g_matematicheskie_osnovy

2.3. Линейные операторы

51

Пример 37 Рассмотрим проекторы, действующие на плоскости (см. пример 29, стр. 45):

px, py : π −→ π .

Покажем, что их суммой является единичный оператор. Действительно, так как на плоскости π фиксирован ортонормированный базис e1, e2, то

(px + py )(v) = px(v) + py (v) = α1e1 + α2e2 ,

где (α1, α2) — координатное представление вектора v в базисе e1, e2. Следовательно,

(px + py )(v) = v v π ,

то есть — сумма операторов px и py есть единичный оператор, действующий на плоскости π (см. пример 28, стр. 45).

Пример 38 Рассмотрим симметрии Qx, Qy относительно осей, действующие на плоскости π (см. пример 31, стр. 46). Мы покажем сейчас, что их сумма Qx +Qy — это нулевой оператор. Действительно, пусть v — произвольный вектор плоскости π, и пусть (α1, α2) — его координатное представление в ортонормированном базисе e1, e2. Тогда

Qx(v) = α1e1 − α2e2 , Qy (v) = −α1e1 + α2e2 .

Следовательно, применяя определение (см. опр. 26, стр. 50), получим:

(Qx + Qy )(v) = Qx(v) + Qy (v) = α1e1 − α2e2 − α1e1 + α2e2 = 0 . v π .

Следовательно (см. пример 28, стр. 45), сумма операторов Qx и Qy есть нулевой оператор, действующий на плоскости π.

Теорема 17 (о сумме линейных операторов) Пусть V — векторное пространство, и пусть ϕ, ψ — два линейных оператора, действующих в V . Тогда их сумма ϕ + ψ — также линейный оператор, действующий в векторном пространстве V .

Доказательство Пусть u, v — два произвольных вектора пространства V , α — произвольный числовой коэффициент. Нам нужно показать (см. опр. 22, стр. 44), что отображение ϕ + ψ переводит сумму векторов u и v в сумму их образов и скалярное кратное αu вектора u — в скалярное кратное его образа. Подействуем суммой операторов ϕ и ψ на сумму векторов u и

v:

(ϕ + ψ)(u + v) = ϕ(u + v) + ψ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v) + ψ(u) + ψ(v) =

=(ϕ(u) + ψ(u)) + (ϕ(v) + ψ(v)) = (ϕ + ψ)(u) + (ϕ + ψ)(v) .

Таким образом, показано, что отображение ϕ + ψ переводит сумму векторов u и v в сумму их образов. Подействуем суммой операторов ϕ и ψ на скалярное кратное вектора u:

(ϕ + ψ)(αu) = ϕ(αu) + ψ(αu) = αϕ(u) + αψ(u) =

= α(ϕ(u) + ψ(u)) = α(ϕ + ψ)(u) .

Тем самым, показано, что отображение ϕ + ψ переводит скалярное кратное вектора u в скалярное кратное его образа.

Теорема доказана.

52	Глава 2. Линейная алгебра

Определение 27 (скалярное кратное линейного оператора) Пусть V

— векторное пространство, и пусть ϕ — линейный оператор, действующий в V . Пусть α — некоторый числовой коэффициент. Скалярным кратным αϕ линейного оператора ϕ называется отображение, действующее в V по следующему правилу:

(αϕ)(u) = αϕ(u) .

Пример 39 Скалярным кратным единичного оператора (см. пример 28, стр. 45) служит равномерное масштабирование (см. пример 32, стр. 47).

Теорема 18 (о скалярном кратном линейного оператора) Пусть V

— векторное пространство, и пусть ϕ — линейный оператор, действующий в V . Пусть α — некоторый числовой коэффициент. Тогда скалярное кратное αϕ линейного оператора ϕ является линейным оператором, действующим в V .

Доказательство Доказательство здесь по сути мало чем отличается от теоремы о сумме линейных операторов. Пусть u, v — два произвольных вектора пространства V , k — произвольный числовой коэффициент. Нам нужно показать (см. опр. 22, стр. 44), что отображение αϕ переводит сумму векторов u и v в сумму их образов и скалярное кратное ku вектора u — в скалярное кратное его образа. Подействуем скалярным кратным оператора ϕ на сумму векторов u и v:

(αϕ)(u + v) = αϕ(u + v) = α(ϕ(u) + ϕ(v)) =

= αϕ(u) + αϕ(v) = (αϕ)(u) + (αϕ)(v) .

Таким образом, показано, что отображение αϕ переводит сумму векторов u и v в сумму их образов. Подействуем скалярным кратным αϕ оператора ϕ на скалярное кратное ku вектора u:

(αϕ)(ku) = αϕ(ku) = αkϕ(u) =

= kαϕ(u) = k(αϕ)(u) .

Тем самым, показано, что отображение αϕ переводит скалярное кратное вектора u в скалярное кратное его образа.

Теорема доказана.

Определение 28 (произведение линейных операторов) Пусть V —

векторное пространство, и пусть ϕ, ψ — два линейных оператора, действующих в V . Тогда их произведение ϕψ — это отображение, действующее в V как суперпозиция линейных операторов ϕ и ψ:

(ϕψ)(v) = ϕ(ψ(v)) v V .

Пример 40 Рассмотрим два поворота Rα и Rβ , действующих на плоскости π (см. пример 30, стр. 46). В силу данного определения (см. опр. 28, стр. 52), их произведением является поворот на угол α + β. Действительно, суперпозиция двух поворотов относительно общего центра (а именно — относительно начала координат) — это поворот на сумму углов, то есть:

RαRβ = Rα+β .

2.3. Линейные операторы

53

Пример 41 Произведение линейных операторов не является коммутативной операцией. То есть для произвольных операторов ϕ и ψ, действующих в пространстве V , равенство ϕψ = ψϕ, вообще говоря, не верно.

Рассмотрим в качестве примера пару операторов, действующих на плоскости π: поворот Rπ/2 плоскости на угол π/2 (см. пример 30, стр. 46) и проектор px плоскости на горизонтальную ось (см. пример 29, стр. 45). Зафиксируем на плоскости вектор e1 (первый базисный вектор ортонормированного базиса) и будем действовать на него нашими операторами в разном порядке.

(Rπ/2px)(e1) = Rπ/2(px(e1)) = Rπ/2(e1) = e2 .

С другой стороны, при действии в обратном порядке получим:

(pxRπ/2)(e1) = px(Rπ/2(e1)) = px(e2) = 0 .

Мы видим, что результат действия произведения линейных операторов на вектор плоскости существенно зависит от порядка множителей.

Теорема 19 (о произведении линейных операторов) Пусть V — векторное пространство, и пусть ϕ, ψ — два линейных оператора, действующих в V . Тогда их произведение ϕψ является линейным оператором, действующим в V .

Доказательство Пусть u, v — два произвольных вектора пространства V , α — произвольный числовой коэффициент. Нам нужно показать (см. опр. 22, стр. 44), что отображение ϕψ переводит сумму векторов u и v в сумму их образов и скалярное кратное αu вектора u — в скалярное кратное его образа. Подействуем произведением операторов ϕ и ψ на сумму векторов u и v:

(ϕψ)(u + v) = ϕ(ψ(u + v)) = ϕ(ψ(u) + ψ(v)) =

= ϕ(ψ(u)) + ϕ(ψ(v)) = (ϕψ)(u) + (ϕψ)(v) .

Таким образом, показано, что отображение ϕψ переводит сумму векторов u и v в сумму их образов. Подействуем произведением ϕψ операторов ϕ и ψ на скалярное кратное αu вектора u:

(ϕψ)(αu) = ϕ(ψ(αu)) = ϕ(αψ(u)) =

= αϕ(ψ(u)) = α(ϕψ)(u) .

Тем самым, показано, что отображение ϕψ переводит скалярное кратное вектора u в скалярное кратное его образа.

Теорема доказана.

Теорема 20 (об алгебре линейных операторов) Множество линейных операторов, действующих в данном вектороном пространстве V , образует алгебру.

Доказательство Так как множество линейных операторов, действующих

вданном векторном пространстве, замкнуто относительно:

1.суммы (см. теор. 17, стр. 51),

2.скалярного кратного (см. теор. 18, стр. 52),

54	Глава 2. Линейная алгебра

3. умножения (см. теор. 19, стр. 53),

то, в силу определения алгебры (см. опр. 6, стр. 21), оно является алгеброй.

Теорема доказана.

Алгебра линейных операторов обнаруживает ряд свойств, характерных для полной матричной алгебры: например, она некоммутативна (см. пример 41, стр. 53 и сравни с теор. 2, стр. 22). Нетрудно показать, что она ассоциативна, это напрямую вытекает из определения произведения линейных операторов как их суперпозиции (сравни с теор. 3, стр. 23). Наконец, она содержит делители нуля (см. следующий пример 42, стр. 54 и сравни с теор. 4, стр. 24).

Далее мы увидим, что это сходство не случайно. Алгебра линейных операторов окажется алгебраически изоморфной полной матричной алгебре (см. теор. 25, стр. 58).

Пример 42 Рассмотрим проекторы px, py , действующие на плоскости π (см. пример 29, стр. 45). Их произведение (взятое, кстати, в любом порядке) является, со всей очевидностью, нулевым оператором. При этом оба множителя не являются таковыми.

Определение 29 (обратные операторы) Пусть ϕ — невырожденный линейный оператор, действующий в векторном пространстве V . Тогда оператором, обратным к нему, называется оператор, обозначаемый ϕ−1 и обладающий следующими свойствами:

u V ϕϕ−1(u) = ϕ−1ϕ(u) = u .

Другими словами, произведение взаимно-обратных операторов ϕ и ϕ−1 (взятое в произвольном порядке) дает тождественный оператор.

Пример 43 Рассмотрим оператор поворота Rα плоскости π на угол α относительно начала координат. Очевидно, что для того, чтобы преобразовать плоскость после поворота к начальному состоянию, необходимо повернуть ее на тот же угол в противоположном направлении. Поэтому, по определению (см. опр. 29, стр. 54), обратным оператором в данном случае служит поворот на противоположенный

угол:

Rα −1 = R−α .

Отметим, что не любой оператор обладает обратным. Критерий обратимости линейного оператора заложен в определении: для обратимости оператор должен быть невырожден (см. опр. 25, стр. 50).

2.3.4Матрицы линейных операторов

Допустим, в векторном пространстве V фиксирован базис e1, . . . , en. Тогда каждый вектор этого пространства может быть описан в виде набора чисел

— его координат, вычисленных в данном базисе.

Точно так же, если в векторном пространстве фиксирован базис, то любой линейный оператор, действующий в этом пространстве, может быть описан в виде набора чисел, конкретно — в виде матрицы. В этом разделе мы получим вычислительный механизм, который позволит нам строить такие матрицы (см. опр. 30, стр. 55), а также — численно выполнять действие линейного оператора путем матричного умножения (см. теор. 21, стр. 56).

2.3. Линейные операторы

55

Определение 30 (матрица линейного оператора) Пусть в векторном пространстве V фиксирован базис e1, . . . , en, и пусть в векторном пространстве V действует линейный оператор ϕ. Под его действием базис e1, . . . , en перейдет в набор векторов ϕ(e1), . . . , ϕ(en).

ϕ(e1)

ϕ(e2)

.

.

.

ϕ(en)

= a11e1	+ a12e2	+ · · ·			+ a1nen
= a21e1	+ a22e2	+ · · ·			+ a2nen
.	.	.	.		.
.	.			.	.
.	.				.
= an1e1	+ an2e2	+ · · ·			+ annen

Тогда матрицей линейного оператора ϕ в базисе e1, . . . , en называется матрица коэффициентов разложений, выписанных по столбцам:

	a12		a22	·· ·· ··	an2
	a11		a21		an1
A =	.. .. . . .				..
	a	. .			.		.
		1n	a		a
			2n		nn
				· · ·

Заметим, что матрица линейного оператора, так же, как и координаты вектора (см. теор. 15, стр. 42), зависит от выбора базиса. При смене базиса матрица оператора изменится. Однако детальное изучение этого вопроса не входит в наши планы (подробнее об этом см. [V], [M], [KM]).

Пример 44 (матрицы тривиальных операторов) Нулевой оператор в любом базисе обладает нулевой матрицей. Действительно, по определению (см. пример 28, стр. 45), под его действием любой вектор переходит в ноль. Следовательно, все коэффициенты в разложениях образов базисных векторов (см. опр. 30, стр. 55) равны нулю, и, значит, матрицей нулевого оператора является нулевая матрица.

Матрицей единичного оператора в любом базисе служит единичная матрица. Действительно, пусть

ε: V −→ V

—единичный оператор, действующий в пространстве V с базисом e1, . . . , en. По определению (см. пример 28, стр. 45) под его действием любой вектор переходит в себя. В частности — это справедливо и для базисных векторов e1, . . . , en:

ε(e1)

ε(e2)

.

.

.

ε(en)

= 1 · e1 + 0 · e2 + · · ·					+ 0 · en ,
= 0 · e1 + 1 · e2 + · · ·					+ 0 · en ,
.	.	.	.		.
.	.			.	.
.	.				.
= 0 · e1 + 0 · e2 + · · ·					+ 1 · en .

Выписывая коэффициенты разложений по столбцам (см. опр. 30, стр. 55), получим единичную матрицу.

Пример 45 (матрицы проекторов) Пусть на плоскости π фиксирован ортонормированный базис e1, e2, и пусть на π действуют проекторы px и py (см. пример 29, стр. 45). Мы покажем, что

Matr E (px) =	0	0	,	Matr E (py ) =	0	1	.
	1	0			0	0

Действительно, по определению, проектор px переводит первый базисный вектор e1 в себя, а второй базисный вектор e2 — в ноль:

px(e1) = 1 · e1	+ 0 · e2 ,
px(e2) = 0 · e1	+ 0 · e2 .

Пусть, кроме того, известны координаты вектора x в базисе e1, e2: xE =

56	Глава 2. Линейная алгебра

Выписывая коэффициенты разложений по столбцам (см. опр. 30, стр. 55), получим требуемое. Аналогично — для матрицы оператора py .

Теорема 21 (действие в матричной форме) Пусть в некотором векторном пространстве V с фиксированным базисом e1, . . . , en действует линейный оператор

ϕ: V −→ V ,

ипусть известна матрица этого оператора: Matr E (ϕ) = A. Тогда для любого вектора x V координатное представление его образа, который получается под действием оператора ϕ, может быть вычислено путем матричного умножения:

(ϕ(x))E = AxE ,

где xE — координатное представление вектора x в базисе e1, . . . , en.

Доказательство Итак, допустим, нам известны координаты вектора x в базисе e1, . . . , en: x = (x1, . . . , xn). Тогда, действуя на вектор x оператором ϕ, получим:

ϕ(x) = ϕ(e1x1 + · · · + enxn) = x1ϕ(e1) + · · · + xnϕ(en) =

=x1(a11e1 + · · · + a1nen) + · · · + xn(an1e1 + · · · + annen) =

=(x1a11 + · · · + xnan1)e1 + · · · (x1a1n + · · · + xnann)en .

Значит, координатное представление образа вектора x в базисе e1, . . . , en имеет вид:

(ϕ(x))E =	..	+	...	..	= ..		... ..		..	=
	x1a11		· · ·	+xnan1		a11	. . .	an1	x1
	.			.		.		.	.
	x1a1n+			+xnann		a1n		ann	xn
			· · ·				· · ·

= AxE .

Теорема доказана.

Пример 46 Пусть на плоскости π фиксирован произвольный базис e1, e2, и пусть на π действует линейный оператор ϕ, причем известны разложения образов базисных векторов:

ϕ(e1) = 3e1 − 2e2 , ϕ(e2) = e1 + e2 .

1 .

−1

Требуется вычислить координаты вектора ϕ(x) в базисе e1, e2. Воспользуемся только что доказанной теоремой (см. теор. 21, стр. 56). Нам необходимо знать матрицу оператора ϕ в данном базисе, но выписать ее очень легко, исходя из разложений образов базиса (см. опр. 30, стр. 55):

	Matr E (ϕ) =	3	1	.
		−2	1

Следовательно, вычисление координат результирующего вектора сводится к матричному умножению:

(ϕ(x))E =	−2	1	−1	=	−3 .
	3	1	1		2

2.3. Линейные операторы

57

Теорема 22 (о матрице скалярного кратного линейного оператора)

Пусть в векторном пространстве с фиксированным базисом e1, . . . , en действует линейный оператор

ϕ : V −→ V .

Тогда матрица его скалярного кратного равна скалярному кратному его матрицы:

Matr E (αϕ) = α Matr E (ϕ) α .

Доказательство Рассмотрим произвольный вектор x векторного пространства V и подействуем на него скалярным кратным оператора ϕ (см. опр. 27, стр. 52). При этом нас будет инетересовать координатное представление результата в базисе e1, . . . , en.

Matr E (αϕ)xE = (αϕ(x))E = (α(ϕ(x)))E = α(ϕ(x))E = α Matr E (ϕ)xE .

Теорема доказана.

Теорема 23 (о матрице суммы линейных операторов) Пусть в векторном пространстве с фиксированным базисом e1, . . . , en действуют линейные операторы

ϕ , ψ : V −→ V .

Тогда матрица их суммы равна сумме их матриц:

Matr E (ϕ + ψ) = Matr E (ϕ) + Matr E (ψ) .

Доказательство Рассмотрим произвольный вектор x векторного пространства V и подействуем на него суммой операторов ϕ и ψ (см. опр. 26, стр. 50). Тогда координатное представление результата в базисе e1, . . . , en будет иметь вид:

Matr E (ϕ + ψ)xE = ((ϕ + ψ)(x))E = (ϕ(x))E + (ψ(x))E =

=Matr E (ϕ)xE + Matr E (ψ)xE =

=(Matr E (ϕ) + Matr E (ψ))xE .

Теорема доказана.

Теорема 24 (о матрице произведения линейных операторов) Пусть в векторном пространстве с фиксированным базисом e1, . . . , en действуют линейные операторы

ϕ , ψ : V −→ V .

Тогда матрица их произведения равна произведению их матриц:

Matr E (ϕψ) = Matr E (ϕ)Matr E (ψ) .

Доказательство Рассмотрим произвольный вектор x векторного пространства V и подействуем на него произведением операторов ϕ и ψ (см. опр. 28, стр. 52). Тогда:

Matr E (ϕψ)xE = ((ϕψ)(x))E = ((ϕ(ψ(x)))E = (ϕ(Matr E (ψ)xE )E =

= Matr E (ϕ)Matr E (ψ)xE .

Теорема доказана.

58	Глава 2. Линейная алгебра

Теорема 25 Алгебра линейных операторов, действующих в векторном пространстве размерности n, изоморфна полной матричной алгебре n-го порядка.

Доказательство Прежде всего заметим, что по определению матрицы линейного оператора (см. опр. 30, стр. 55), а также в силу того, что разложение по базису единственно (см. теор. 13, стр. 37), каждому линейному оператору отвечает единственная матрица.

Кроме того, те факты, что:

1.матрица скалярного кратного линейного оператора равна скалярному кратному его матрицы (см. теор. 22, стр.57),

2.матрица суммы линейных операторов равна сумме их матриц (см. теор. 23, стр.57),

3.матрица произведения линейных операторов равна произведению их матриц (см. теор. 24, стр.57),

демонстрируют алгебраическую неразличимость двух множеств: множества квадратных матриц проядка n и множества линейных операторов, действующих в векторном пространстве размерности n. Это и означает изоморфность полной матричной алгебры и алгебры линейных операторов.

Теорема доказана.

Итак, если в векторном пространстве фиксирован базис, то каждому линейному оператору, действующему в нем, единственным образом отвечает квадратная матрица, и действие оператора на вектор сводится к матричному умножению (см. теор. 21, стр. 56).

Кроме того, если матрица невырождена, то ее можно обратить (см. теор. 7, стр. 26). Возникает вопрос, не продолжается ли алгебраический изоморфизм полной матричной алгебры и алгебры линейных операторов на операцию обращения? Ответ дает следующая теорема.

Теорема 26 (матрица обратного оператора) Пусть в векторном пространстве V фиксирован базис e1, . . . , en и пусть в V действует линейный оператор

ϕ : V −→ V .

Тогда, если существует линейный оператор ϕ−1, обратный к оператору ϕ, то его матрица вычисляется как обратная к матрице оператора ϕ:

Matr E (ϕ−1) = Matr −E1(ϕ) .

Доказательство По определению (см. опр. 29, стр. 54), операторы вза-

имно обратны, если

ϕϕ−1 = ε ,

то есть, если их произведение дает тождественный оператор. Следовательно

Matr E (ϕϕ−1) = Matr E (ε) .

2.3. Линейные операторы

59

Применяя в левой части теорему о матрице произведения линейных операторов (см. теор. 24, стр. 57), а в правой части — результат, полученный выше в одном из примеров (см. пример 44, стр. 55), получим:

Matr E (ϕ)Matr E (ϕ−1) = E

(где в правой части E означает единичную матрицу). Теперь умножим данное матричное равенство на матрицу Matr −E1(ϕ) слева:

Matr E (ϕ−1) = Matr −E1(ϕ) .

Теорема доказана.

Мы видим, что обратный оператор существует тогда и только тогда, когда матрица исходного оператора является обратимой. Именно поэтому проекторы (см. пример 29, стр. 45) не обладают обратными — их матрицы вырожденны (см. пример 45, стр. 55).

2.3.5Матрицы основных плоских преобразований

К основным преобразованиям плоскости мы отнесем: повороты (см. пример 30, стр. 46), симметрии (см. пример 31, стр 46) и масштабирования (см. пример 32, стр. 47).

				Строго говоря, симметрии в этом
		e2		списке вообще оказываются излиш-
				ними, так как симметрию относи-
		C	B	тельно горизонтальной оси можно
		D		рассматривать как масштабирова-
	E		Rα(e1)	ние с коэффициентами (1, −1), а сим-
	Rα(e2)	α		метрию относительно вертикальной
			e1	оси — как аналогичное масштаби-
		α
	F	0	A	рование.
				Однако традиционно симметрии так
	Рис. 2.8: Действие оператора Rα пово-			же относят к основным преобразо-
				ваниям плоскости.
	рота на угол α на базисные векторы.			После того как в следующей гла-
	ве мы получим матричное выражение для плоскопараллельного смещения
	плоскоти, список основных плоских преобразований окажется исчерпыва-
	ющим.

Сечас же, исходя из геометрических соображений, мы убедимся в том, что справедливы следующие утверждения относительно матриц основных преобразований плоскости.

Теорема 27 (матрица оператора поворота) В ортонормированном базисе e1, e2 матрица оператора Rα поворота плоскости π на угол α относительно начала координат имеет вид:

Matr E (Rα) =	cos α	− sin α .
	sin α	cos α

60	Глава 2. Линейная алгебра

Доказательство Под действием оператора поворота вектор e1 переходит в вектор Rα(e1), координаты которого равны длинам отрезков OA и OC (см. рис.2.8, стр. 59). Так как гипотенуза прямоугольных треугольников OAB и OCB имеет единичную длину, то, из известных тригонометрических соотношений в прямоугольных треугольниках, заключаем:

Rα(e1) = cos α · e1 + sin α · e2 ,

Rα(e2) = − sin α · e1 + cos α · e2 ;

Здесь выражение для координат вектора Rα(e2) получается из расмотрения треугольников ODE и OF E. Теперь, используя известные нам разложения образов базисных векторов, выпишем матрицу оператора:

Matr E (Rα) =	cos α	− sin α .
	sin α	cos α

Теорема доказана.

Теорема 28 (матрицы операторов симметрии) В ортонормированном базисе e1, e2 матрица оператора Qx симметрии плоскости π относительно оси Ox имеет вид:

Matr E (Qx) =	0	−1	,
	1	0

а матрица оператора Qy симметрии плоскости π относительно оси Oy имеет соответственно вид:

Matr E (Qy ) =	−0	1	.
	1	0

Доказательство Пусть на плоскости π фиксирован ортонормированный базис e1, e2. Подействуем оператором Qx симметричного отражения относительно горизонтальной оси на базисные векторы e1 и e2.

	Qx(e1)	e2	Qy (e2) e2
		e1	Qy (e1)	e1
	0		0
	Qx(e2)
(a)	Симметрия	относительно	(b) Симметрия	относительно
горизонтальной оси			вертикальной оси

Рис. 2.9: Действие операторов симметрий Qx (относительно горизонтальной оси) и Qy (относительно вертикальной оси) на базисные векторы.

При этом вектор e1, как вектор, лежащий на горизонтальной оси, перейдет в себя, а вектор e2 — перейдет в проитивоположенный вектор (см. рис. 2.9,