0085730_32E51_mosin_v_g_matematicheskie_osnovy

A.2. Действия с матрицами

171

новом базисе (см. теор. 15, стр. 42), мы выражаем неизвестный векторстолбец при помощи матричного умножения. Далее — при нахождении образа вектора, изменяющегося под действием линейного оператора (см. теор. 21, стр. 56) единственным действием является умножение матрицы линейного оператора на столбец координат исходного вектора. И, наконец, уже во второй части книги, выполняя интерполяцию кривых, мы решаем возникающие при этом линейные системы методом матричного обращения (см. теор. 83, стр. 144), фактически — просто выражаем неизвестный вектор-столбец.

Методической основой всех этих действий служат матричные уравнения, в которых в качестве как неизвестных величин, так и коэффициентов выступают матрицы.

Определение 72 (матричные уравнения) Будем называть матричными уравнениями выражения следующих типов10:

AX = B, XA = B, AXB = C,

где A, B, C, X Matr n, причем A, B и C — известные матрицы, которые мы будем называть коэффициентами, а матрица X — неизвестна, ее требуется найти.

Заявленные нами в определении типы уравнений являются в известном смысле элементарными. Действительно — в них не фигурируют даже матричные степени, не говоря уже о каких-либо более сложных матричных функциях. Выразить неизвестную матрицу из таких уранений не составляет труда: достаточно просто домножить обе части уравнения на матрицу, обратную к матрице-коэффициенту.

Однако, как мы помним (см. теор. 2, стр. 22), матричное умножение некоммутативно, поэтому далеко не все равно, с какой стороны умножать матричное уравнение на обратную: слева или справа. Нетрудно убедиться, что справедливы следующие правила решения матричных уравнений:

Теорема 89 (о решении матричных уравнений) Пусть A, B, C и X

— квадратные матрицы одного порядка, и пусть матрицы-коэффициенты A, B и C невырождены. Тогда:

если	AX = B,	то	X = A−1B ;
если	XA = B,	то	X = BA−1 ;
если	AXB = C,	то	X = A−1CB−1 .
			1	2		0	5	.
Пример 118 Решим матричное уравнение: 1				3 X =		−2	1

В этом примере матрица-коэффициент записана слева от переменной, поэтому, в соответствии с теоремой о решении матричных уравнений (см. теор. 89, стр. 171),

10На самом деле, можно составить из матриц любое алгебраическое (и не только алгебраическое) выражение, объявить его уравнением и потребовать выразить из него неизвестную матрицу. Но решение таких уравнений далеко не всегда возможно и, даже когда возможно, решаются они очень тяжело. Нам будет достаточно уметь решать матричные уравнения перечисленных типов.

172	Приложение A. Определители, матрицы и линейные системы
неизвестная матрица X выражается следующим образом:
	1	2		−1	0	5
	X = 1	3			−2	1 .

Для продолжения вычислений нам необходимо знать матрицу, обратную к матрицекоэффициенту. Вычислим ее по методу Гаусса (см. теор. 88, стр. 169 и соответствующие примеры):

1	3		0	1		I		0	1			1	1	−	II		2		0	1			1	−1	.
1	2		1	0	−			1	2		−	1	0						1	0		−	3	2

Следовательно, неизвестная матрица X вычисляется по полученной нами ранее формуле следующим образом:

X =	−1	−1	−2	1	=	−2	−4 .
	3	2	0	5		4	13

Здесь мы просто выполнили матричное умножение, как мы это делали выше уже много раз (см. раздел A.2.1, стр. 165 и соответствующие примеры).

Выполним проверку. Для этого в исходное уравнение подставим вместо X найденную матрицу:

1	3	−2	−4	=	−2	1 .
1	2	4	13		0	5

Мы получили верное тождество. Следовательно, решение найдено верно.

Пример 119 Решим матричное уравнение: X	5	1	=	2	3	.
	4	1		−2	−0

В этом примере матрица-коэффициент записана справа от переменной, поэтому (см. теор. 89, стр. 171):

X =	2	3		5	1		−1
	−2	−0		4	1		.

Для вычисления обратной матрицы применим метод Гаусса (см. теор. 88, стр. 169 и соответствующие примеры):

4	1		0	1	−	II		4	1		0	−1		I 4		0	1			4	−5	.
5	1		1	0				1	0		1	1		−		1	0		−	1	1

Таким образом, выполняя матричное умножение, получим следующее значение неизвестной матрицы:

X =	−2	−0	−4	−5	=	−2	− 2 .
	2	3	1	1		14	17

Выполним проверку. Для этого в исходное уравнение подставим вместо X найденную матрицу:

−2	− 2	4	1	=	−2	−0 .
14	17	5	1		2	3

Решение найдено верно.

A.2. Действия с матрицами

173

Пример 120 Решим матричное уравнение, содержащее матрицы третьего порядка:

0	1	2 X	2	5	−1	=	3	1	0 .
1	2	3	3	1	1		1	0	2
0	0	1 4		1	−1 1			1	1

В этом примере матрицы-коэффициенты записаны как слева, так и справа от переменной, поэтому (см. теор. 89, стр. 171) переменная выражается из уравнения при помощи двух матричных обращений:

		1	2	3		−1		1	0	2		3	1	1		−1
X =		0	1	2				3	1	0		2	5	−1		.
		0	0	1				1	1	1		4	1	−1

Для продолжения вычислений нам необходимо знать матрицы, обратные к ма- трицам-коэффициентам. Вычислим первую из них по методу Гаусса (см. теор. 88, стр. 169 и соответствующие примеры):

	0	1	2		0	1	0		−III 2					0		1	0		0	1	−2	−	II		2
	1	2	3		1	0	0		−III 3					1		2	0		1	0	−3
	0	0	1		0	0	1							0		0 1			0	0	1
									1	0	0		1			2		1
															−
									0	1	0		0			1	−2 .
									0	0	1		0			0		1

Вторая из матриц-коэффициентов не содержит никакой видимой логики, поэтому для ее обращения воспользуемся теоремой об обращении матрицы при помощи алгебраических дополнений (см. теор. 87, стр. 168). Для начала вычислим ее определитель.

	2	5	−1					=	2	5	−1		= 1			5	−1	= 1 + 5 = 6.
	3	1		1			I		3	1	1			·		1	1
	4	1		1					1	0	0
			−			−

Здесь мы так же, как и выше (см. раздел A.1.2, стр. 159), предварительно преобразуем матрицу, вычитая из ее третьей стрки первую, а затем — раскладываем по третьей строке.

Далее нужно вычислить девять алгебраических дополнений к элементам этой матрицы (см. опр. 69, стр. 162):

	1		1		= −6		4		1		(−1) = 6		4	1		= −18
	5	−	1				2	−	1				2	5
	1	−1			(−1) = 0		4	−1			= 1		4	1		(−1) = 1
	1	−	1				3	−	1				3	1
	5	−1			= 6		2	−1			(−1) = −5		2	5		= 13
	1		1				3		1				3	1

Теперь мы можем записать матричное обращение для правого коэффициента:

3	1	1	−1		6	6	−	18		T	= 6		6	0	6	=
2	5	−1	= 6		−0	1		1					−6	1	−5
			1								1
4	1	−1			6	−5		13				−18		1	13
=	−6/6	1/6	−5/6		= −1		1/6 −5/6 .
	6/6	0/6	6/6			1		0			1
−18/6		1/6	13/6 −3				1/6		13/6

174			Приложение A. Определители, матрицы и линейные системы
Таким образом, мы получаем рабочее выражение для вычисления матрицы X:
		1	2	3		−1		1	0	2		3	1	1		−1
X =		0	1	2				3	1	0		2	5	−1		=
		0	0	1				1	1	1		4	1	−1

=	0	−1	−2	3	1	0	−1	1/6	−5/6	=
	1	2	1	1	0	2	1	0	1
	0	0	1 1		1	1 −3		1/6	13/6

=	−1		−1	−2	−1	1/6	−5/6	=	−4	−3/6	−15/6 .
		4	−1	3	1	0	1		6	2/6	20/6
		1	1	1 −3		1/6	13/6 −3			2/6	14/6

Выполним проверку. Для этого в исходное уравнение подставим вместо X найденную матрицу:

	0	1	2	−4	−3/6			−15/6	2		5		−1	=
	1	2	3	6		2/6		20/6	3		1		1
	0	0	1 −3			2/6		14/6 4			1		−1
=	−2		1/6 13/6			2	5	1 =		3		1	0 .
	−7 2/6			32/6		3	1	−1		1	0		2
	−3		2/6	14/6 4			1	−1 1				1	1

Здесь мы сначала перемножили первые две матрницы, а затем выполнили оставшееся умножение. В результате, нами получено верное тождество. Задача решена верно.

A.3 Линейные системы

Линейные системы как инструмент решения практических и теоретических задач возникают в линейной алгебре постоянно. Определение линейной зависимости или независимости систем векторов (см. раздел 2.2.2, стр. 30), описание векторных подпространств (см. раздел 2.2.4, стр. 40), вычисление ядра и образа линейного оператора (см. раздел 2.3.2, стр. 48) — все эти задачи сводятся к решению линейных систем.

Методам решений линейных систем посвящен настоящий раздел.

Определение 73 (система линейных уравнений) Системой линейных алгебраических уравнений (или линейной системой) называется система следующего вида:

a21x1	+ a12x2	+ · · ·	+ a2nxn	= b2
a11x1	+ a12x2	+	+ a1nxn	= b1
..	..	·.·.·	..	..
	.	.	.	.
.
am1x1	+ am2x2	+ · · ·	+ amnxn	= bm

где aij и bi — числовые коэффициенты, а xi — переменные. Решением линейной системы называется такой набор значений переменных

x1 = α1, x2 = α2, . . . xn = αn ,

который после подстановки их в уравнения системы обращает их (уравнения) в тождества.

A.3. Линейные системы										175
Пример 121 Например, все следующие системы:
−	3x + y = 2		−2x + y = 0					x + 3y		z = 2
	2x + 3y = 1						3x 2y + 4z = 3
			x	5y =	−4		−	−	−
			x +	6y =	4
			− −

являются линейными, так как переменные x, y и z, фигурирующие в них, входят в состав уравнений в первой степени, а следующие — не являются таковыми:

−2x + y3 =		2	sin x +	2 cos y =		1
x2 + 3y =		4	sin x +	cos y =		0
	−				−

В этом примере первая из линейных систем имеет единственное решение:

x = −5/11,

y = 7/11.

Вторая система вообще не имеет решений (она является переопределенной линейной системой, то есть — число уравнений в ней превышает число переменных). А третья система имеет бесконечно много решений: любая тройка чисел α, β γ такая, что

α = −(10/7)γ + 13/7

β = −(1/7)γ + 9/7

удовлетворяет этой системе.

Заметим, что если система такова, что число уравнений в ней совпадает с числом переменных, то такая система называется определенной, и если система имеет решение, то она называется совместной. Далее везде мы будем заниматься только определенными совместными системами.

A.3.1 Метод Крамера решения линейных систем

Данный метод решения линейных систем основан на вычислении определителей (см. раздел A.1, стр. 157 и соответствующие примеры).

При всем его кажущемся удобстве, этот метод крайне неэкономичен с вычислительной точки зрения11 — для решения по методу Крамера, например, системы из пяти уравнений относительно пяти неизвестных требуется вычислить шесть определителей пятого порядка, что затруднительно.

Однако для решения систем второго или третьего порядка метод Крамера вполне применим.

Теорема 90 (метод Крамера решения линейных систем) Пусть имеется определенная линейная система

a21x1	+ a22x2	+ · · ·	+ a2nxn	= b2
a11x1	+ a12x2	+	+ a1nxn	= b1
..	..	·.·.·	..	..
	.	.	.	.
.
an1x1 + an2x2 + · · ·			+ annxn = bn

11Он, вообще, вряд ли может считаться реальным вычислительным методом. Скорее он имеет лишь теоретическое значение, так как позволяет судить о наличии у системы единственного решения. Реально же на практике используется метод Гаусса решения линейных систем (см. раздел A.3.2, стр. 177).

176 Приложение A. Определители, матрицы и линейные системы

определитель которой отличен от нуля. Тогда она имеет единственное решение, которое может быть найдено по следующим формулам:

	x1 =	∆1	,	x2 =	∆2	, . . .	xn =	∆n	,
		∆			∆			∆

где ∆ — определитель, составленный из коэффициетнов системы, а все ∆i опредлеляются следующим образом:

1)∆1 — определитель, получающийся из определителя ∆ заменой первого столбца на столбец свободных членов,

2)∆2 — определитель, получающийся из определителя ∆ заменой второго столбца на столбец свободных членов,

и т. д.,

n)∆n — определитель, получающийся из определителя ∆ заменой n-го столбца на столбец свободных членов.

Пример 122 Решить систему методом Крамера: 4x + 2y = −1 3x + y = 2

Вычислим вспомогательные определители ∆, ∆1 и ∆2:

∆ =	3	1		= −2,	∆1 =	−2	1		= −5,	∆2 =	3	−2		= 11.
	4	2				1	2				4	1

Следовательно, выражения для переменных x, y имеют вид:

	x =			∆1		=						−25			=			5		, y =								∆2				=			11		= −					11	.
				∆														2										∆							2							2
						·						−				·		− 2																−					−
									2																								2
					4				5			+ 2									11					=				20 − 22						=					1
					3							+														=							−			=					2
Выполним проверку:						·			5												11								15				2	11
		тождества.
Получилось — два													Значит, мы правильно нашли решение, и оконча-
						5											11
тельный ответ таков: x =									, y = −											.
						2											2
																																				2x + 3y + 5z = 10
																																					x + 2y + 2z =							3
Пример 123 Решить систему методом Крамера:																																				3x + 7y + 4z =								3
Вычислим вспомогательные определители ∆, ∆1,																																		2		и		∆		3:
∆ =			3 7 4																															∆
														←			III				=								3 7 4												I 3 =
			2		3				5																−				1				2	2					−I 2
			1 2 2														I												2 3 5
														←																									−
			1				2							2																	1			2					2	= 1.
=	−		0				1							2			+II							=		−					0 1								2
			0				1					−1																			0			0			−1
					−																																−

При вычислении определителя ∆ мы применили метод Гаусса (см. раздел A.1.2, стр. 159 и соответствующие примеры).

A.3. Линейные системы

177

Для получения определителя ∆1 мы заменяем в определителе ∆ первый столбец на столбец свободных членов:

∆1 =	3	7	4		−III		3	=	0	−5	−2			=
	10	3	5		III				1	3	1		I 3
	3	2	2		−				3	2	2
													−

=		1	−3	−1		=		5	2		= 25 − 22 = 3.
		0 11		5				11	5
		0	5	2

Здесь мы предварительно преобразовали определитель, а затем разложили его по первому столбцу (см. теор. 86, стр. 163 и соответствующие примеры).

Для получения определителя ∆2 заменяем в определителе ∆ второй столец на столбец свободных членов:

∆2 =	3	3	4		−III	3	=	0	6	2	=
	2	10	5		III	2		0	4	1
	1	3	2		−			1	−3	−2

=		4	1		= −8 + 2 = −2.
		−6	−2

Здесь мы так же, как и в предыдущем случае, предварительно преобразовали определитель, а затем разложили его по первому столбцу.

Наконец, для получения определителя ∆3 заменяем в определителе ∆ третий столец на столбец свободных членов:

∆3 =	3	7	3		−III	3	=	0	−1	6	=
	2	3	10		III	2		0	1	4
	1	2	3		−			1	2	−3

=		−1	4	= 6 − 4 = 2.

1 −6

Здесь мы так же предварительно проебразовали определитель, а затем разложили его по первому столбцу. Итак, мы можем составить выражения для переменных x, y и z:

x =

∆1

=

3

= 3, y =

∆2

=

−2

=

−

2, z =

∆3

=

2

= 2.

∆

1

∆

1

∆

1

2

·

3 + 3

( 2) + 5

2 = 10

3 + 2

·

(−2) + 2

·

2 = 3

Выполним проверку:

3

·

3 + 7

·

(−2) + 4

·

2 = 3

·

−

·

Получилось три тождества. Следвательно, мы правильно нашли решение системы, и окончательный ответ таков: x = 3, y = −2, z = 2.

A.3.2 Метод Гаусса решения линейных систем

Наиболее экономичным с вычислительной точки зрения является метод Гаусса решения линейных систем, основанный на элементарных преобразованиях.

178	Приложение A. Определители, матрицы и линейные системы

Теорема 91 (метод Гаусса решения линейных систем) Пусть имеется определенная линейная система

a21x1	+ a22x2	+ · · ·	+ a2nxn	= b2
a11x1	+ a12x2	+	+ a1nxn	= b1
..	..	·.·.·	..	..
	.	.	.	.
.
an1x1 + an2x2 + · · ·			+ annxn = bn

определитель которой отличен от нуля. Тогда она имеет единственное решение, которое может быть найдено по следующей схеме:

(A | b) · · · (E | c).

Выписывается расширенная матрица системы, состоящая из матрицы A, коэффициентов системы и столбца b свободных членов. Затем, по цепочке элементарных преобразований строк, левая часть матрицы преобразуется к единичному виду. При этом в правой части расширенной матрицы получается решение системы 12.

Пример 124 Решить систему методом Гаусса: 4x + y = −1 3x + y = 2

Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее левую часть к единичному виду:

3	1	−2		−			3	1	−2			I 3		0	1		11
4	1		1		II		1	0		3		−		1	0		−3 .

Следовательно, x = −3, y = 11.

	3 ··	(−3) + 11 =	2
Выполним проверку:	4	(−3) + 11 =	−1

— решение найдено верно, и окончательный ответ таков: x = −3, y = 11.

4x − 3y + 2z = −4

Пример 125 Решить систему методом Гаусса: 6x − 2y + 3z = −1

5x − 3y + 2z = −3

Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее левую часть к единичному виду:

		6	−2			3		−1				−III					1		1	1				2			+I
		4	−3			2		−4				−III					−1		0	0			−1				+I 5
		5		3 2						3							5		3 2					3
			−					−										−					−
		1			0		0				1							1 0				0				1		( 1)
		−0			1		1			−1								−0 1				1		−1				−
		0			3		2				8	+II 3						0		0		5				5		(1/5)
				−						−														−
		1	0		0			1		−III						1	0	0			1
		0	1		1				1							0	1	0			2	.
		0 0 1							1							0 0 1					1
							−													−

Следовательно, x = 1, y = 2, z = −1.

12Метод Гаусса решения линейных систем практически идентичен методу Гаусса вычисления обратных матриц (см. теор. 88, стр. 169). Он даже проще, так как в этом случае в правой части расширенной матрицы находится всего один стобец.

Пример 126 Решить линейную систему:

A.3. Линейные системы

179

4 − 3 · 2 + 2 · (−1) = −4

Выполним проверку: 6 − 2 · 2 + 3 · (−1) = −1

5 − 3 · 2 + 2 · (−1) = −3

Решение найдено верно, ответ — x = 1, y = 2, z = −1.

A.3.3 Матричный метод решения линейных систем

Данный метод применим в тех ситуциях, когда необходимо решить целую серию линейных систем, однотипных в том смысле, что их левые части идентичны (то есть — серию систем, отличающихся друг от друга только столбцами свободных членов.) Такая ситуация имеет место, например, при решении задач инетерполяции (см. раздел 6.1, стр. 139, или раздел 6.2, стр. 143) при нахождении коэффициентов интерполирующих полиномов.

Теорема 92 (матричный метод решения линейных систем) Пусть имеется определенная линейная система

a21x1	+ a22x2	+ · · ·	+ a2nxn	= b2
a11x1	+ a12x2	+	+ a1nxn	= b1
..	..	·.·.·	..	..
	.	.	.	.
.
an1x1 + an2x2 + · · ·			+ annxn = bn

определитель которой отличен от нуля. Тогда она имеет единственное решение, которое может быть найдено следующим образом:

	x1					a11
	x2					a21
..				=		..
	.					.
x		n			a
						n1

a12		. . . a1n		−1	b1
a22		. . . a2n			b2
	..	. . . ..			..
	.	.			.			.
a	n2	. . . a			b	n
		nn

4x + 3y = 1

3x + 2y = 3

Воспользуемся методом матричного обращения (см. теор. 92, стр. 179):

	x	=	4	3		−1		1	.
	y		3	2				3

Для нахождения матрицы, обратной к матрице коэффициентов системы, воспользуемся методом Гаусса (см. теор. 88, стр. 169):

	3 2				0 1			−			II		3 2					0		−1		I 3
		4	3		1	0									1	1		1		1	−
	0																						( 1)
				1			3		−4					I		0			1		−3 4
		1	−	1		−	1			1			+II				1	−	0		2	3	−
													−								−
										.
		0	1		−3				4
		1	0			2		−	3
Следовательно,				x	=					2			3			1		=		7	, и, значит,
				y					−3			−4				3				−9

x = 7, y = −9.

	3 ··	7 + 2 ··	(−9) = 3	— решение системы найдено верно.
Выполним проверку:	4	7 + 3	(−9) = 1

180		Приложение A. Определители, матрицы и линейные системы
Пример 127 Пусть требуется решить три системы:							3x	−
3x −		3y + 2z = 2		3x	−	3y + 2z = 1			3y + 2z = 2
	5x	6y + 4z = 3		5x 6y + 4z = 1			5x 6y + 4z = 0
	4x −	5y + 2z = 1		4x	−	5y + 2z = 1	4x	−	5y + 2z = 1
	−				−			−

Левые части этих систем идентичны, поэтому воспользуемся для их решения методом матричного обращения (см. теор. 92, стр. 179). Прежде всего, вычислим матрицу, обратную к матрице коэффициентов систем. Определитель матрицы:

	3	−3	2	−III			2	=	−1		2	0	= 2		−1	2		= 12 + 8 =	4
	5	6	4		III				3		4	0		·	3	4		−	−
	4	−5	2		−				−4		5	2
		−								−					−

Здесь мы предварительно преобразовали матрицу, а затем — разложили ее определитель по третьему столбцу (см. раздел A.1.2, стр. 159). Далее — алгебраические дополнения к элементам этой матрицы (см. опр. 69, стр. 162):

	−5	2		= 4		4	2		(−1) = 2		4	−5			= −3
	3	2				3	2				3	−	3
	−
	−5	2		(−1) = −8		4	2		= −6		4	−5			(−1) = 1
	6	4				5	4				5	−	6
	−
	−3	2		= 0		3	2		(−1) = 2		3	−3			= 3
	6	4				5	4				5	−	6
	−

Теперь запишем матричное обращение для матрицы коэффициентов систем (см. теор. 87, стр. 168):

3	−3	2	−1	= −4			−8	−6	−1	T			2	−6	2 .
										= −4
5	−6	4		1			4	2	3	1			4	−8	0
4	−5	2					0	2	3			−3		1	3

После этого решения систем получаются матричным умножением. Для первой системы:

y	=	4		2	−6	2	2	=	4		−4	=	1 .
x		1		4	−8	0	3		1		−4		1
z	−		−3		1	3 1 −					−4 1

Для второй системы:							−6	2	1	= −4					−2	=	1/2 .
y	=		4			2
x	−		1			4	−8	0	1	1					−4		1
z					−3		1	3 1							1 −1/4
Для третьей системы:							−6	2	2	= −4					−10	=	5/2 .
y	=	4				2
x	−	1				4	−8	0	0	1					−16		4
z					−3		1	3 1							5 −5/4

Итак, применяя метод матричного обращения, мы практически в одно действие решили три данные системы:

1.решение первой системы: x = 1, y = 1, z = 1;

2.решение второй системы: x = 1, y = 1/2, z = −1/4;

3.решение третьей системы: x = 4, y = 5/2, z = −5/4.