0085730_32E51_mosin_v_g_matematicheskie_osnovy

2.1. Полная матричная алгебра

21

Пример 6 Например, выполняя следующее умножение, получим матрицу 2 × 3:

1	2	3	−1	1	=	7	1	4 .
2	2	1	1	2		8	0	6

Однако для этой же пары множителей не существует произведения в обратном порядке:

3	−1	1	1	2 .
1	1	2	2	2

Причина этого очень проста: число столбцов в первом множителе не совпадает с числом строк во втором множителе. Попробуйте перемножить эти матрицы, пользуясь определением — ничего не получится.

Если речь идет о произведении двух квадратных матриц одного порядка, то такое произведение всегда возможно. Однако и в этом случае существенную роль играет порядок следования множителей в произведении. Мы вернемся к этому в следующем разделе (см. теор. 2, стр. 22) при исследовании свойств полной матричной алгебры. Пока же остановимся на свойствах нулевой и единичной матриц.

Пример 7 Умножение любой матрицы на единичную не изменяет ее, причем не важно, с какой стороны проводить это умножение, слева или справа:

0	1	−4	3	=	−4	3	,	−4	3	0	1	=	−4	3 .
1	0	2	1		2	1		2	1	1	0		2	1

Умножение любой матрицы на нулевую дает в результате нулевую матрицу, причем не важно, с какой стороны производится умножение.

0	0	−4	3	=	0	0	,	−4	3	0	0	=	0	0 .
0	0	2	1		0	0		2	1	0	0		0	0

Разумеется, эти свойства остаются справедливыми для квадратных матриц любого порядка.

2.1.2Полная матричная алгебра

В этом разделе мы покажем, что множество всех квадратных матриц одного порядка образует алгебру (см. теор. 1, стр. 22), и опишем некоторые ее свойства.

Определение 6 (алгебра) Множество M элементов произвольной природы, снабженное двумя внутренними операциями — сложением и умножением, и одной внешней — умножением на число4, называется алгеброй.

Другими словами, множество M называется алгеброй, если:

1.для любых элементов a и b из множества M найдется единственный элемент c из множества M такой, что: c = a + b,

2.для любых элементов a и b из множества M найдется единственный элемент c из множества M такой, что: c = ab,

4Мы называем операции сложения и умножения внутренними, потому что в них участвуют только элементы множества M . Операцию же скалярного кратного мы называем внешней, потому что в ней участвует число, то есть элемент, не относящийся, вообще говоря, к множеству M

22	Глава 2. Линейная алгебра

3.для любого элемента a из множества M и числа α найдется единственный элемент b из множества M такой, что b = αa.

Определение 7 (коммутативная алгебра) Алгебра M называется коммутативной, если множители в призведении можно переставлять местами:

ab = ba a, b M .

Определение 8 (ассоциативная алгебра) Алгебра M называется ассоциативной, если для любой тройки множителей справедливо следующее соотношение:

(ab)c = a(bc) a, b, c M .

Пример 8 Множество R всех вещественных чисел образует алгебру, так как для любых двух чисел результатом их умножения5 и сложения служит число. Эта алгебра является коммутативной и ассоциативной.

Пример 9 Множество R[x] всех многочленов от переменной x с вещественными коэффициентами образует алгебру, так как оно устойчиво относительно сложения, умножения и умножения на число. Действительно, пусть f, g R[x]. Тогда f + g R[x], f g R[x], αf R[x]. Эта алгебра также является коммутативной и ассоциативной.

Теорема 1 (о полной матричной алгебре) Множество всех квадратных матриц порядка n образует алгебру. Она обозначается Matr n и называется полной матричной алгеброй.

Доказательство Покажем замкнутость множества квадратных матриц относительно характеристических операций алгебры:

1.Пусть A, B, Matr n. Тогда, согласно определению (см. опр. 3, стр. 19), их сумма — это тоже кадратная матрица того же порядка, что и слагаемые, то есть A + B Matr n.

2.Пусть A, B, Matr n. Тогда, согласно определению (см. опр. 5, стр. 20), их произведение — это тоже кадратная матрица того же порядка, что и множители, то есть AB Matr n.

3.Пусть, наконец, A Matr n, α R. Тогда, согласно определению (см. опр. 4, стр. 19), выражение αA — квадратная матрица того же поряка, что и A, то есть αA Matr n.

Итак, множество Matr n замкнуто относительно трех операций: сложения, умножения и умножения на число. Следовательно, по определению (см. опр. 6, стр. 21), оно является алгеброй.

Теорема доказана.

Теорема 2 (о некоммутативности матричной алгебры) Полная матричная алгебра является некоммутативной.

5В этом частном случае число выступает в качестве внутреннего элемента алгебры. Однако так бывает далеко не всегда.

2.1. Полная матричная алгебра

23

Доказательство Согласно определению (см. опр. 7, стр. 22), для доказательства некоммутативности полной матричной алгебры нам достаточно привести один пример, демонстрирующий, что на множестве матриц нельзя переставлять местами множители. Ограничимся случаем матриц второго порядка. Возьмем две квадратные матрицы и перемножим их:

−2	1	−0	−1	=	−2	3	,
1	1	1	1		1	0

после чего — выполним умножение тех же матриц в обратном проядке:

−0	−1	−2	1	=	−2	−1 .
1	1	1	1		1	2

Мы видим, что результат умножения зависит от порядка следования множителей, то есть – матричное умножение некоммутативно.

Теорема доказана.

Теорема 3 (об ассоциативности матричной алгебры) Полная матричная алгебра является ассоциативной.

Доказательство Согласно определению ассоциативности умножения (см. опр. 8, стр. 22), нам достаточно показать, что для любых трех матриц A, B, C из Matr n справедливо:

A(BC) = (AB)C .

Доказательство проведем прямым вычислением. Обозначим

F = A(BC) , G = (AB)C

и покажем, что матричные компоненты fij равны соответствующим компонентам gij . Пусть S = BC. Тогда, согласно определению (см. опр. 5, стр. 20),

	n
sij =	bik ckj .
	k=1

Следовательно, для вычисления компонент fij нам потребуется взять двойную сумму (еще раз см. опр. 5, стр. 20):

	n	n	n	n n
fij =	ailslj =	ail	blk ckj =	ailblk ckj .
	l=1	l=1	k=1	l=1 k=1

Пусть далее Q = AB. Тогда, согласно определению (см. опр. 5, стр. 20),

	n
qij =	ailblj .
	l=1

Следовательно, для вычисления компонент gij нам опять потребуется взять двойную сумму (и еще раз см. опр. 5, стр. 20):

nn n

gij =	qik ckj =	ailblk ckj .
	k=1	k=1 l=1

24	Глава 2. Линейная алгебра

Сравнивая полученные выражения для компонент fij и gij , приходим к выводу об их идентичности (второе отличается от первого только порядком слагаемых, который, как известно, не влияет на сумму). Следовательно,

F = G.

Теорема доказана6.

Итак, матричное умножение, с одной сотроны, напоминает это действие в его обычном понимании — умножение чисел или функций обладает свойством ассоциативности, а с другой стороны — отличается тем, что является некомутативной операцией.

Кроме того, следует иметь в виду, что в полной матричной алгебре при умножении двух ненулевых элементов результат может оказаться нулем (другими словами полная матричная алгебра содержит так называемые делители нуля), что также отличает ее от числовых (см. пример 8, стр. 22) или функциональных (см. пример 9, стр. 22) алгебр.

Теорема 4 (о делителях нуля) Полная матричная алгебра содержит делители нуля.

Доказательство Для доказательства нам достаточно привести один соответствующий пример. Ограничимся случаем матриц второго порядка:

0	0	0	1	=	0	0 .
1	0	0	0		0	0

Теорема доказана.

2.1.3Матричное обращение

Еще одним арифметическим действием, помимо сложения, умножения и скалярного кратного, является деление чисел или функций. Операцию деления на множестве матриц невозможно определить в силу некоммутативности матричного умножения7. Однако во многих случаях (см. критерий обратимости, теор. 8, стр. 27) можно выполнять так называемое матричное обращение (аналог алгебраического обращения на множестве чисел или функций).

Определение 9 (обратная матрица) Пусть A — некоторая матрица из полной матричной алгебры Matr n. Если существует матрица X Matr n такая, что

AX = E , XA = E ,

то матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A−1. Матрица, обладающая обратной, называется обратимой.

Теорема 5 (единственность обратной матрицы) Если обратная матрица существует, то она единственна.

6Доказанная теорема позволяет говорить о матричных степенях. Действительно, так как в выражении A · A · A · · · A все равно каким образом расставлять скобки, его можно обозначить просто как An.

7Действительно, пусть α/β — рациональная (числовая или функциональная) дробь. Тогда очевидно, что α/β = α · (1/β), и, вместе с тем, α/β = (1/β) · α. Некоммутативность же умножения означает, что правые части этих выражений различны.

2.1. Полная матричная алгебра

25

Доказательство Пусть матрица A Matr n обратима. Допустим, что существуют две различные матрицы X, Y Matr n такие, что

X = A−1 , Y = A−1 .

Первое из этих соотношений означает по определению (см. опр. 9, стр. 24), что

XA = E .

Умножим это равенство на Y справа:

XAY = EY .

В силу ассоциативности матричного умножения (см. теор. 3, стр. 23) мы можем расставить скобки в правой части так, как нам это удобно. Сделаем это следующим образом:

X(AY ) = EY .

Так как, согласно предположению, Y = A−1, выражение AY , по определению (см. опр. 9, стр. 24), дает единичную матрицу. Следовательно,

XE = EY ,

откуда X = Y . Но это противоречит нашему предположению о том, что матрицы X и Y различны.

Теорема доказана.

Теорема 6 (об обращении произведения) Пусть матрицы A и B обратимы. Тогда обратима и матрица AB, причем,

(AB)−1 = B−1A−1 .

Доказательство Нам достаточно показать, что произведение матриц AB и B−1A−1 дает единичную матрицу. Действительно:

(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AEA−1 = AA−1 = E .

В этой несложной выкладке мы, как и при доказательстве предыдущей теоремы, использовали ассоциативность матричного умножения (см. теор. 3, стр. 23) и определение обратной матрицы (см. опр. 9, стр. 24).

Теорема доказана8.

Следующая теорема дает метод9 вычисления обратных матриц. Прежде, чем приступать к изучению этого теоретического блока, необходимо ознакомиться с содержанием приложения, посвященного определителям (см. приложение A.1, стр. 157), так как техника вычисления определителей является основой данного метода матричного обращения.

8Вообще, если речь идет об обращении произведения любого числа обратимых матриц, то из доказанной теоремы вытекает следующая формула:

(A1A2 . . . An)−1 = A−n 1A−n−1 1 . . . A−1 1 ,

то есть — обращение произведения равно произведению обращений, взятых в обратном порядке.

9Отметим, что это не единственный и далеко не всегда наиболее эффективный метод матричного обращения. В приложениях (см. приложение A, стр. 157) мы, помимо этого, рассматриваем еще так называемый метод Гаусса вычисления обратных матриц. В дальнейшем при изложении теоретического курса мы используем оба метода.

26	Глава 2. Линейная алгебра

Теорема 7 (о вычислении обратной матрицы) Пусть матрица A обратима. Тогда матрица A−1 может быть вычислена по следующей формуле:

A−1 =	1	(A˜)T ,
	|A|

˜

где A — матрица, составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы A, а T означает транспонирование.

Доказательство Обозначим
	1	˜ T
B = A ·	|A|	(A)	.

Нам нужно показать, что B — это на самом деле единичная матрица. Тогда, согласно определению (см. опр. 9, стр. 24) это будет означать, что матрица

1	˜	T
|A|	(A)		является обратной к матрице A.

	a21		a22	. . . a2n
	a11		a12	. . . a1n
B =	.. .. ... ..
	a	. .		.
		n1	a	. . . a
			n2	nn

A11

1 A21

.

|A| .

.

An1

A22		. . . A2n		T
A12		. . . A1n
..		... ..		=
.		.
A	n2	. . . A
		nn

	1	a21	a22		. . . a2n
	|A|	a11	a12		. . . a1n
=		.. .. ... ..
		. .			.
		a	a	n2	. . . a
		n1			nn

A11

A12

...

A1n

A22		. . . An2
A21		. . . An1
..		... ..
.		.		.
A	2n	. . . A
		nn

Выполняя матричное умножение, получим следующее выражение для компонент bij :

bij = |A| (ai1Aj1 + ai2Aj2 + · · · + ainAjn) =		|A|		|	0	|	если	i = j .
1		1			A		если	i = j ,

Последнее звено в этом равенстве получается в силу теорем о разложении определителя по строке и о разложении определителя по чужой строке. Таким образом,

1

|A|

если

i = j ,

1

если

i = j ,

bij =

|

A

|

=

если

i = j ;

0

если

i = j .

0

Следовательно,

.

B = E

Теорема доказана.

Пример 10 Вычислим матрицу, обратную к A =

1

2

. Нам нужно знать:

1

−1

определитель матрицы и четыре алгебраических дополнения к каждому матричному месту.

|A| =		1	2		= −1 − 2 = −3.
		1	−1

2.2. Векторные пространства

27

Далее вычислим алгебраические дополнения:

A11 = −1;

A12 = (−1)1 = −1;

A21 = (−1)2 = −2;

A22 = 1.

˜

Составим матрицу A и транспонированную к ней:

−2

1

−1

1

A˜ =

−1

−1

,

(A˜)T =

−1

−2 .

−3

−1

1

1/3 −1/3

Следовательно, A−1 =

1

−1

−2

=

1/3

2/3 .

.

Выполним проверку:

1/3

−1/3

1 −1

=

0

1

1/3

2/3

1

2

1

0

Врезультате умножения мы получили единичную матрицу. Задача решена верно.

Взаключение этого раздела приведем условие, необходимое и достаточное для того, чтобы матрица была обратима.

Теорема 8 (критерий обратимости) Матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырождена10.

Доказательство Доказательство напрямую вытекает из доказанных выше теорем: о единственности обратной матрицы (см. теор. 5, стр. 24) и о ее вычислении (см. теор. 7, стр. 26).

Теорема доказана.

Продолжая аналогию с числовыми действиями, отметим следующее: на множестве чисел существует единственный необратимый элемент — ноль. На множестве матриц необратимых элементов бесконечно много: любая вырожденная матрица необратима.

2.2Векторные пространства

Численное описание проебразований плоскости, которое является нашей конечной целью, требует детального изучения самого объекта преобразования

— плоскости. С точки зрания линейной алгебры плоскость является двумерным векторным пространством, и мы рассмотрим основы теории векторных пространств, чтобы в дальнейшем приложить их к конкретной (двумерной) ситуации.

Практические примеры, относящиеся к этому разделу, представлены в приложениях (см. приложение B.1, стр. 188).

10Напомним, что невырожденной называется матрица, определитель кторой отличен от нуля.

28	Глава 2. Линейная алгебра

2.2.1Определения и примеры

Определение 10 (векторное пространство) Множество V называется векторным пространством, если оно замкнуто относительно двух операций: сложения и умножения на число. То есть:

1.для любых двух векторов v1 и v2 из векторного пространства V найдется единственный вектор v1 + v2, принадлежащий V ;

2.для любого вектора v из векторного пространства V и для любого вещественного числа α найдется единственный вектор αv, принадлежащий V .

Заметим, что данное выше определение алгебры (см. опр. 6, стр. 21) служит обобщением для понятия векторного пространства. Алгебры обладают, помимо сложения и умножения на число, еще одной операцией — умножением. Таким образом, любая алгебра является векторным пространством, обратное неверно.

Пример 11 (прямая, плоскость, физическое пространство) Рассмотрим серию геометрических примеров (см. рис. 2.1, стр. 28).

w v u

0	l

	π		R3
w
		w	v
v
u			u
0			0

(a) Прямая.	(b) Плоскость.	(c) Физическое простран-
		ство.

Рис. 2.1: Геометрическая серия примеров векторных пространств.

1.Зафиксируем на прямой l точку O и будем прикладывать в точке O всевозможные векторы таким образом, чтобы их концы оставались на l. Организованное таким образом множество векторов является векторным пространством.

2.Зафиксируем на плоскости π точку O и будем прикладывать в точке O всевозможные векторы таким образом, чтобы их концы оставались на π. Организованное таким образом множество векторов является векторным пространством.

3.Зафиксируем в физическом11 пространстве R3 точку O и будем прикладывать в точке O всевозможные векторы таким образом, чтобы их концы оставались в R3. Организованное таким образом множество векторов является векторным пространством.

Отметим сразу же, что окружность, парабола, эллипсоид, цилиндр, параболоид и, вообще, все криволинейные геоматрические объекты не являются векторными пространствами. Вся геометрическая серия примеров векторных пространств исчерпыватся приведенными выше.

11Допуская некоторую вольность, мы будем называть физическим пространством все пространство физического (то есть — реального) мира.

2.2. Векторные пространства

29

Пример 12 (простанства строк) Это серия примеров является классической алгебраической интерпретацией понятия векторного пространства. Как мы увидим в дальнейшем, если в векторном пространстве фиксирован базис, то оно однозначно реализуется в виде пространства строк (или столбцов, дело вкуса) чисел, являющихся координатами его векторов.

Рассмотрим множество Rn = {(x1, x2, . . . xn)} всевозможных упорядоченных наборов чисел и определим на этом множестве операции сложения и умножения на число следующим образом:

(x1, x2, . . . xn) + (y1, y2, . . . yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . xn + yn) ,

α(x1, x2, . . . xn) = (αx1, αx2, . . . αxn) .

По определению, множество Rn с описанными операциями сложения и скалярного кратного является векторным пространством.

Отметим здесь же несколько частных случаев.

1.Пространство строк длины 1. Это просто множество чисел. Таким образом, множество чисел R является векторным пространством.

2.Пространство строк длины 2. Это — множество пар чисел. Таким образом, множество пар чисел R2 является векторным пространством.

3.Пространство строк длины 3. Это — множество троек чисел. Таким образом, множество троек чисел R3 является векторным пространством12.

Вернемся к геометрической серии примеров (см. пример 11, стр. 28). В первом пункте мы рассматривали прямую, снабженную отмеченной точкой (своего рода, началом координат). Если при этом указать еще и единицу масштаба, то тогда каждый вектор прямой описывается одним числом. С этой точки зрения прямая ничем не отличается от множества строк длины 1 (см. пример 12, стр. 29).

Далее, во втором пункте, мы рассматривали плоскость, снабженную отмеченной точкой . Если при этом через отмеченную точку провести две оси (не обязательно перпендикулярные) и указать две единицы масштаба (они могут быть различными для обеих осей), то тогда каждый вектор плоскости описывается парой чисел — координатами своего конца. С этой точки зрения плоскость ничем не отличается от множества строк длины 2 ( см. пример 12, стр. 29).

Наконец, в третьем пункте мы рассматривали физическое пространство, снабженное отмеченной точкой . Если при этом через отмеченную точку провести три оси и указать три единицы масштаба, то тогда каждый вектор физического пространства описывается тройкой чисел — координатами своего конца. С этой точки зрения физическое пространство ничем не отличается от множества строк длины 3 (см. пример 12, стр. 29)13.

Многие математические множества (например, алгебры или векторные пространства), обладающие идентичной структурой, в ряде случаев удобно бывает не отличать друг от друга. Такие объекты называются изоморфными. Так, например, мы убедились, что прямая изоморфна множеству чисел,

12Заметьте, что выше мы уже обозначали символом R3 физическое пространство.

13Теперь понятно, почему мы используем для этих пространств одно и то же обозначение?

30	Глава 2. Линейная алгебра

плоскость — множеству пар чисел, физическое пространство — множеству троек числ.

С точки зрения теории векторных пространств изоморфные пространства неотличимы друг от друга, и можно считать, что это одно и то же.

Пример 13 (множество многочленов) Множество R[x] многочленов от переменной x с вещественными коэффициентами образует алгебру (см. пример 9, стр. 22). Следовательно, это множество является векторным пространством (см. опр. 10, стр. 28).

Пример 14 Множество Rn[x] многочленов от переменной x фиксированной степени n с вещественными коэффициентами не является векторным пространством. Действительно, мы легко можем показать, что Rn[x] не устойчиво относительно суммы. Пусть, например,

f (x) = xn + 1 , g(x) = −xn + x − 2 . Тогда f (x) + g(x) = x − 1 .

Таким образом, f (x) + g(x) имеет степень, отличную от n, и, следовательно, множество Rn[x] не является векторным пространством, так как оно не обладает устойчивостью относительно суммы.

Пример 15 Множество R≤n[x] многочленов от переменной x, степень которых не превосходит n, является векторным пространством. Действительно, при сложении двух многочленов f (x) и g(x) из R≤n[x] степень суммы не превзойдет наибольшей из степеней слагаемых, то есть — не превзойдет n, что означает устойчивость множества отностиельно суммы. При умножении же многочлена на число его степень не изменяется, что демонстрирует устойчивость множества R≤n[x] отностиельно скалярного кратного.

Задержимся на этом примере и рассмотрим один частный случай. Пусть n = 1. Тогда

R≤1[x] = {α + βx | α, β R} .

Мы видим, что множество многочленов, степень которых не превосходит единицы, характеризуется парами чисел: свободным членом α и коэффициентом β. Сравнивая этот факт с результатами, полученными нами выше (см. пример 11, стр. 28 и пример 12, стр. 29), приходим к заключению, что множество R≤1[x] изоморфно плоскости.

2.2.2Линейная зависимость и линейная независимость систем векторов

Этот раздел является подготовительным к следующему, где мы введем понятие базиса векторного простанства (как некоего инструмента его численного измерения).

Ключевым для понимания дальнейшего изложения служит понятие линейного комбинирования, при выполнении которого необходимы навыки в решении линейных алгебраических систем. Сооттветствующие примеры и методы приведены в приложениях (см. приложение A.3, стр. 174).

Определение 11 (линейная комбинация векторов) Пусть V — векторное пространство, v1, v2, . . . , vn V — векторы этого пространства. Их линейной комбинацией называется выражение

α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn ,

где α1, α2, . . . , αn — некоторые числовые коэффициенты.