0085730_32E51_mosin_v_g_matematicheskie_osnovy

3.3. Пример алгоритма покадровой анимации

71

нужного нам плоского преобразования η в матричной форме необходимо сначала преобразовать плоскость так, чтобы прямая l совпала с одной из осей. Проще всего совместить ее с горизонтальной осью Ox, для этого достаточно сместить плоскость на вектор b = (0, −2). После этого можно будет выполнить горизонтальное отражение Qx, и, наконец, обратное смещение на вектор −b = (0, 2).

η = T−bQxTb =	0	1	2	0	−1	0	0	1	−2	=
	1	0	0	1	0	0	1		0
	0	0	1 0		0	1 0		0	1

10 0

= 0 −1 4 .

00 1

Теперь можно вычислить координаты результирующего треугольника просто при помощи матричного умножения.

A = η (A) =		0	−1	4		3	=	1			таким образом	A (2, 1).
		1	0	0		2		2
	0		0	1 1 1
B = η (B) =		0	−1 4			5	=	−1			и, значит, B (2, −1).
		1	0 0			2			2
	0		0 1 1						1
		1	0	0		4	=	4
C = η (C) =		0	−1	4		3		1			следовательно,	C (4, 1).
		0	0	1		1		1

3.3Пример алгоритма покадровой анимации

y
B	C
A	D
H
0	x
Рис. 3.4: Квадрат ABCD, коллапси-
рующий в точку H.

В этом разделе мы, пользуясь полученными выше знаниями о плоских преобразованиях выполним покадровое движение плоской фигуры.

Такую задачу мы можем рассматривать с различных точек зрения.

Если перед нами — чистый лист бумаги, то покадровое движение изображения по нему мы с вами будем осуществлять не более, чем интуитивно, пользуясь представлениями о геометрической природе объекта изображения и навыками геометрических построений.

Однако, если перед нами стоит задача осуществить программную реализацию целого класса однотипных преобразований, то нам понадобится механизм формализации данных о точках плоскости и ее преобразованиях. Такой механизм мы получили, пользуясь средствами линейной алгебры и

72	Глава 3. Проективные операторы

проективной геометрии. Они позволяют передать процессору данные в численном виде: в виде одномерных (координаты точек и векторов) или двумерных (компоненты матриц проективных операторов) массивов чисел.

Мы отдельно рассмотрим геометрический, аналитический и программный подход к решинию задачи.

Постановка задачи

Квадрат ABCD с вершинами A(3, 3), B(3, 5), C(5, 3), D(5, 3) движется из своего исходного положения в точку H(−2, 1), при этом происходит равномерное масштабирование квадрата до его полного вырождения в точке H (см. рис. 3.4, стр. 71).

3.3.1Геометрическая версия алгоритма

С геометрической точки зрения нужно решить задачу на построение (не самую сложную). Нам достаточно соединить вершины исходного квадрата с точкой полного коллапса отрезками прямых и каждый такой отрезок разбить на n равных частей (это, напомню, делается при помощи циркуля и линейки по теореме Фалеса). После этого точки на прямых и будут вершинами квадрата в его промежуточных стадиях.

3.3.2	Аналитическая версия алгоритма
			Выполним десять кадров движения.
	y		В каждом кадре происходят одно-
			типные операции (что позволит нам
			в следующем разделе построить про-
		G	граммный цикл), которые состоят
			в следующем.
	a
			Пусть G — центр квадрата. Совер-
	bk	b	шенно нетрудно вычислить его ко-
			ординаты:
H
	0	x	G(4, 4)
			(см. рис. 3.5, стр. 72). Тогда в каж-
			дом кадре сначала происходит сме-
Рис. 3.5: Векторы смещений, участву-			щение Tb плоскости на вектор
ющие в анимации.		b = GO = (−4, −4) .

При этом центр квадрата совмещается с началом координат.

Затем происходит равномерное масштабирование плоскости с коэффициентом, зависящим от номера кадра: в первом кадре это 0.9, во втором — это 0.8 и т. д.

И, наконец, отмасштабированный квадрат возвращается в точку, промежуточную между G и H.

3.3. Пример алгоритма покадровой анимации

73

Вектор bk соответствующей трансляции также зависит от номера кадра:

bk = −b + (k/10)a ,

где a — это вектор, соединяющий центр квадрата с точкой H (нетрудно подсчитать, что в нашем случае a = (−6, −3)).

1-й кадр

Здесь сначала происходит смещение плоскости на вектор b = (−4, −4) для совмещения центра исходного квадрата с началом координат. Затем плоскость равномерно масштабируется с коэффициентом 0, 9. После этого плоскость смещается на вектор b1:

b1 = −b +	1	· a = (4, 4) +	1	(−6, −3) = (3.4, 3.7) .
	10		10

Следовательно, оператор η1, который действует в первом кадре, обладает следующей матрицей:

η1 = Tb1 S0.9Tb =					0				0		−4
=	0		1	3.7			0.9	0		1		=
		1	0	3.4		0.9	0	0	1	0	4
	0		0	1 0			0	1 0		0	−1
=	00			0.9	−0.1 .
			.9	0	0.2
		0		0	1

При помощи матричного умножения вычислим координаты вершин квадрата в первом кадре:

A1	= η1(A) =	0	0.9	−0.1	3	=	2.8 .
		0.9	0	0.2	3		2.5
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты первой вершины A1 в первом кадре таковы: A1(2.5, 2.8). Аналогично поступим со второй вершиной:

B1	= η1(B) =	0	0.9	−0.1	5	=	4.6 .
		0.9	0	0.2	3		2.5
		0	0	1 1			1

Значит, декартовы координаты второй вершины B1 в первом кадре таковы: B1(2.5, 4.6). Далее — аналогичным образом поступим с третьей вершиной:

C1	= η1(C) =	0	0.9	−0.1	5	=	4.6 .
		0.9	0	0.2	5		4.3
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты третьей вершины C1 в первом кадре таковы: C1(4.3, 4.6). Наконец, аналогично поступим с четвертой вершиной:

D1	= η1(D) =	0	0.9	−0.1	3	=	2.8 .
		0.9	0	0.2	5		4.3
		0	0	1 1			1

74	Глава 3. Проективные операторы

Поэтому, декартовы координаты четвертой вершины D1 в первом кадре таковы: D1(4.3, 2.8). Окончательно, координаты вершин квадрата в первом кадре:

A1(2.5, 2.8) , B1(2.5, 4, 6) , C1(4.3, 4.6) , D1(4.3, 2.8) .

2-й кадр

Здесь сначала происходит смещение плоскости на вектор b = (−4, −4) для совмещения центра исходного квадрата с началом координат. Затем плоскость равномерно масштабируется с коэффициентом 0.8. После этого плоскость смещается на вектор b2:

b2 = −b +	2	· a = (4, 4) +	2	(−6, −3) = (2.8, 3.4) .
	10		10

Следовательно, оператор η2, который действует во втором кадре, обладает следующей матрицей:

η2 = Tb2 S0.8Tb =

=	0		1	3.4	0		0.8	0	0	1	−4	=
		1	0	2.8		0.8 0		0	1	0	4
	0		0	1 0			0	1 0		0	−1
=	0			0.8	−0.2 .
		0.8		0	0.4
		0		0	1

При помощи матричного умножения вычислим координаты вершин квадрата во втором кадре:

A2	= η2(A) =	0	0.8	−0.2	3	=	2.6 .
		0.8	0	0.4	3		2
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты первой вершины A2 во втором кадре таковы: A2(2, 2.6). Аналогично поступим со второй вершиной:

B2	= η2(B) =	0	0.8	−0.2	5	=	4.2 .
		0.8	0	0.4	3		2
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты второй вершины B2 во втором кадре таковы: B2(2, 4.2). Далее — аналогично поступим с третьей вершиной:

C2	= η2(C) =	0	0.8	−0.2	5	=	4.2 .
		0.8	0	0.4	5		3.6
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты третьей вершины C2 во втором кадре таковы: C2(3.6, 4.2). Далее —аналогично поступим с четверотой вершиной:

D2	= η2(D) =	0	0.8	−0.2	3	=	2.6 .
		0.8	0	0.4	5		3.6
		0	0	1 1			1

3.3. Пример алгоритма покадровой анимации

75

Следовательно, декартовы координаты четвертой вершины D2 во втором кадре таковы: D2(3.6, 2.6). Окончательно, координаты вершин квадрата во втором кадре:

A2(2, 2.6) , B2(2, 4, 2) , C2(3.6, 4.2) , D2(3.6, 2.6) .

3-й кадр

Здесь сначала происходит смещение плоскости на вектор b = (−4, −4) для совмещения центра исходного квадрата с началом координат. Затем плоскость равномерно масштабируется с коэффициентом 0.7. После этого плоскость смещается на вектор b3:

b3 = −b +	3	· a = (4, 4) +	3	(−6, −3) = (2.2, 3.1) .
	10		10

Следовательно, оператор η3, который действует в третьем кадре, обладает следующей матрицей:

η3 = Tb3 S0.7Tb =					0				0		−4
=	0		1	3.1			0.7	0		1		=
		1	0	2.2		0.7	0	0	1	0	4
	0		0	1 0			0	1 0		0	−1
=	0			0.7	−0.3 .
		0.7		0	0.6
		0		0	1

При помощи матричного умножения вычислим координаты вершин квадрата в третьем кадре:

A3	= η3(A) =	0	0.7	−0.3	3	=	2.4 .
		0.7	0	0.6	3		1.5
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты первой вершины A3 в третьем кадре таковы: A3(1.5, 2.4). Аналогично поступим со второй вершиной:

B3	= η3(B) =	0	0.7	−0.3	5	=	3.8 .
		0.7	0	0.6	3		1.5
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты второй вершины B3 в третьем кадре таковы: B3(1.5, 3.8). Далее — аналогично поступим с третьей вершиной:

C3	= η3(C) =	0	0.7	−0.3	5	=	3.8 .
		0.7	0	0.6	5		2.9
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты третьей вершины C3 в третьем кадре таковы: C3(2.9, 3.8). Далее — аналогично поступим с четверотой вершиной:

D3	= η3(D) =	0	0.7	−0.3	3	=	2.4 .
		0.7	0	0.6	5		2.9
		0	0	1 1			1

76	Глава 3. Проективные операторы

Следовательно, декартовы координаты четвертой вершины D3 в третьем кадре таковы: D3(2.9, 2.4). Окончательно, координаты вершин квадрата в третьем кадре:

A3(1.5, 2.4) , B3(1.5, 3.8) , C3(2.9, 3.8) , D3(2.9, 2.4) .

4-й кадр

Здесь сначала происходит смещение плоскости на вектор b = (−4, −4) для совмещения центра исходного квадрата с началом координат. Затем плоскость равномерно масштабируется с коэффициентом 0.6. После этого плоскость смещается на вектор b4:

b4 = −b +	4	· a = (4, 4) +	4	(−6, −3) = (1.6, 2.8) .
	10		10

Следовательно, оператор η4, который действует в четвертом кадре, обладает следующей матрицей:

η4 = Tb4 S0.6Tb =

=	0		1	2.8	0		0.6	0	0	1	−4	=
		1	0	1.6		0.6 0		0	1	0	4
	0		0	1 0			0	1 0		0	−1
=	0			0.6	−0.4 .
		0.6		0	0.8
		0		0	1

При помощи матричного умножения вычислим координаты вершин квадрата в четвертом кадре:

A4	= η4(A) =	0	0.6	−0.4	3	=	2.2 .
		0.6	0	0.8	3		1
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты первой вершины A4 в четвертом кадре таковы: A4(1, 2.2). Аналогично поступим со второй вершиной:

B4	= η4(B) =	0	0.6	−0.4	5	=	3.4 .
		0.6	0	0.8	3		1
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты второй вершины B4 в четвертом кадре таковы: B4(1, 3.4). Далее — аналогично поступим с третьей вершиной:

C4	= η4(C) =	0	0.6	−0.4	5	=	3.4 .
		0.6	0	0.8	5		2.2
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты третьей вершины C4 в четвертом кадре таковы: C4(2.2, 3.4). Далее — аналогично поступим с четвертой вершиной:

D4	= η4(D) =	0	0.6	−0.4	3	=	2.2 .
		0.6	0	0.8	5		2.2
		0	0	1 1			1

3.3. Пример алгоритма покадровой анимации

77

Следовательно, декартовы координаты четвертой вершины D4 в четвертом кадре таковы: D4(2.2, 2.2). Окончательно, координаты вершин квадрата в четвертом кадре:

A4(1, 2.2) , B4(1, 3.4) , C4(2.2, 3.4) , D4(2.2, 2.2) .

5-й кадр

Здесь сначала происходит смещение плоскости на вектор b = (−4, −4) для совмещения центра исходного квадрата с началом координат. Затем плоскость равномерно масштабируется с коэффициентом 0.5. После этого плоскость смещается на вектор b5:

b5 = −b +	5	· a = (4, 4) +	5	(−6, −3) = (1, 2.5) .
	10		10

Следовательно, оператор η5, который действует в пятом кадре, обладает следующей матрицей:

η5 = Tb5 S0.5Tb =

=	0		1	2.5	0		0.5	0	0	1	−4	=
		1	0	1		0.5	0	0	1	0	4
	0		0	1 0			0	1 0		0	−1
=	0			0.5	0.5 .
		0.5		0	−1
		0		0	1

При помощи матричного умножения вычислим координаты вершин квадрата в пятом кадре:

A5	= η5(A) =	0	0.5	0.5	3	=	2 .
		0.5	0	−1	3		0.5
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты первой вершины A5 в пятом кадре таковы: A5(0.5, 2). Аналогично поступим со второй вершиной:

B5	= η5(B) =	0	0.5	0.5	5	=	3 .
		0.5	0	−1	3		0.5
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты второй вершины B5 в пятом кадре таковы: B5(0.5, 3). Далее — аналогично поступим с третьей вершиной:

C5	= η5(C) =	0	0.5	0.5	5	=	3 .
		0.5	0	−1	5		1.5
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты третьей вершины C5 в пятом кадре таковы: C5(1.5, 3). Далее — аналогично поступим с четвертой вершиной:

D5	= η5(D) =	0	0.5	0.5	3	=	2 .
		0.5	0	−1	5		1.5
		0	0	1 1			1

78	Глава 3. Проективные операторы

Следовательно, декартовы координаты четвертой вершины D5 в пятом кадре таковы: D5(1.5, 2). Окончательно, координаты вершин квадрата в пятом кадре:

A5(0.5, 2) , B5(0.5, 3) , C5(1.5, 3) , D5(1.5, 2) .

6-й кадр

Здесь сначала происходит смещение плоскости на вектор b = (−4, −4) для совмещения центра исходного квадрата с началом координат. Затем плоскость равномерно масштабируется с коэффициентом 0.4. После этого плоскость смещается на вектор b6:

b6 = −b +	6	· a = (4, 4) +	6	(−6, −3) = (0.4, 2.2) .
	10		10

Следовательно, оператор η6, который действует в шестом кадре, обладает следующей матрицей:

η6 = Tb6 S0.4Tb =					0				0		−4
=	0		1	2.2			0.4	0		1		=
		1	0	0, 4		0.4	0	0	1	0	4
	0		0	1 0			0	1 0		0	−1
=	0			0.5	−0.6 .
		0.5		0	1.2
		0		0	1

При помощи матричного умножения вычислим координаты вершин квадрата в шестом кадре:

A6	= η6(A) =	0	0.4	−0.6	3	=	1.8 .
		0.4	0	1.2	3		0
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты первой вершины A6 в шестом кадре таковы: A6(0, 1.8). Аналогично поступим со второй вершиной:

B6	= η6(B) =	0	0.4	−0.6	5	=	2.6 .
		0.4	0	1.2	3		0
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты второй вершины B6 в шестом кадре таковы: B6(0, 2.6). Далее — аналогично поступим с третьей вершиной:

C6	= η6(C) =	0	0.4	−0.6	5	=	2.6 .
		0.4	0	1.2	5		0.8
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты третьей вершины C6 в шестом кадре таковы: C6(0.8, 2.6). Далее — аналогично поступим с четвертой вершиной:

D6	= η6(D) =	0	0.4	−0.6	3	=	1.8 .
		0.4	0	1.2	5		0.8
		0	0	1 1			1

3.3. Пример алгоритма покадровой анимации

79

Следовательно, декартовы координаты четвертой вершины D6 в шестом кадре таковы: D6(0.8, 1.8). Окончательно, координаты вершин квадрата в шестом кадре:

A6(0, 1.8) , B6(0, 2.6) , C6(0.8, 2.6) , D6(0.8, 1.8) .

7-й кадр

Здесь сначала происходит смещение плоскости на вектор b = (−4, −4) для совмещения центра исходного квадрата с началом координат. Затем плоскость равномерно масштабируется с коэффициентом 0.3. После этого плоскость смещается на вектор b7:

b7 = −b +	7	· a = (4, 4) +	7	(−6, −3) = (−0.2, 1.9) .
	10		10

Следовательно, оператор η7, который действует в седьмом кадре, обладает следующей матрицей:

η7 = Tb7 S0.3Tb =						0				0		−4
=	0		1	−1.9				0.3	0		1		=
		1	0		0.2		0.3	0	0	1	0	4
	0		0		1 0			0	1 0		0	−1
=	0			0.3	−0.7 .
		0.3		0		1.4
		0		0		1

При помощи матричного умножения вычислим координаты вершин квадрата в седьмом кадре:

A7	= η7(A) =	0	0.3	−0.7	3	=	−1.6 .
		0.3	0	1.4	3		0.5
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты первой вершины A7 в седьмом кадре таковы: A7(−0.5, 1.6). Аналогично поступим со второй вершиной:

B7	= η7(B) =	0	0.3	−0.7	5	=	−2.2 .
		0.3	0	1.4	3		0.5
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты второй вершины B7 в седьмом кадре таковы: B7(−0.5, 2.2). Далее — аналогично поступим с третьей вершиной:

C7	= η7(C) =	0	0.3	−0.7	5	=	2.2 .
		0.3	0	1.4	5		0.1
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты третьей вершины C7 в седьмом кадре таковы: C7(0.1, 2.2). Далее — аналогично поступим с четверотой вершиной:

D7	= η7(D) =	0	0.3	−0.7	3	=	1.6 .
		0.3	0	1.4	5		0.1
		0	0	1 1			1

80	Глава 3. Проективные операторы

Следовательно, декартовы координаты четвертой вершины D7 в седьмом кадре таковы: D7(0.1, 1.6). Окончательно, координаты вершин квадрата в седьмом кадре:

A7(−0.5, 1.6) , B7(−0.5, 2.2) , C7(0.1, 2.2) , D7(0.1, 1.6) .

8-й кадр

Здесь сначала происходит смещение плоскости на вектор b = (−4, −4) для совмещения центра исходного квадрата с началом координат. Затем плоскость равномерно масштабируется с коэффициентом 0.2. После этого плоскость смещается на вектор b8:

b8 = −b +	8	· a = (4, 4) +	8	(−6, −3) = (−0.8, 1.6) .
	10		10

Следовательно, оператор η8, который действует в восьмом кадре, обладает следующей матрицей:

η8 = Tb8 S0.2Tb =

=	0		1	−1.6		0		0.2	0	0	1	−4	=
		1	0		0.8		0.2 0		0	1	0	4
	0		0		1 0			0	1 0		0	−1
=	0			0.2	−0.8 .
		0.2		0		1.6
		0		0		1

При помощи матричного умножения вычислим координаты вершин квадрата в восьмом кадре:

A8	= η8(A) =	0	0.2	0.8	3	=	1.4 .
		0.2 0		−1.6	3		−1
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты первой вершины A8 в восьмом кадре таковы: A8(−1, 1.4). Аналогично поступим со второй вершиной:

B8	= η8(B) =	0	0.2	0.8	5	=	1.8 .
		0.2	0	−1.6	3		−1
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты второй вершины B8 в восьмом кадре таковы: B8(−1, 1.8). Далее — аналогично поступим с третьей вершиной:

C8	= η8(C) =	0	0.2	−0.8	5	=	−1.8 .
		0.2 0		1.6	5		0.6
		0	0	1 1			1

Следовательно, декартовы координаты третьей вершины C8 в восьмом кадре таковы: C8(−0.6, 1.8). Далее — аналогично поступим с четверотой вершиной:

D8	= η8(D) =	0	0.2	−0.8	3	=	−1.4 .
		0.2	0	1.6	5		0.6
		0	0	1 1			1