neopr_i_opr_integraly_dlya_td_2015

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ

Метод заключается в переходе к новому аргументу интегрирования путем преобразования подынтегрального выражения по некоторой формуле.

f (x)dx	x (t)	f ((t)) '(t)dt.
	dx '(t)dt

ПРИ ЭТОМ ГОВОРЯТ, ЧТО В ИНТЕГРАЛЕ СЛЕВА СДЕЛАНА ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ (ПОДСТАНОВКА ПО ФОРМУЛЕ x= (t)).

После вычисления интеграла справа необходимо в ответе вернуться снова к аргументу x , выразив t в формуле x= (t) через x .

Замечание. Часто при замене переменной удобно использовать подстановку вида

НЕЗАВИСИМОСТЬ ОТ ВИДА ПЕРЕМЕННОЙ

При вычислении интегралов удобно пользоваться следующими свойствами интегралов:

Если f x dx F x C , то

f x b dx F x b C .

Если f x dx F x C , то

f ax b dx 1a F ax b C .

sin(6x 2)dx

Введем новую переменную и выразим дифференциалы:

Записать решение:

Пример 5. 3 6xdx

Записать решение:

Проверить

решение

ПРИМЕР

Вычислим

(2 3x)5 dx 316 (2 3x)6 C.

Задание Установить соответствие. Найти такой общий вид

первообразной, которая соответствует заданной функции.

1. f x x x3

2.f x 2 cos x

3.f x 8 5x

4.f x 4 3x 9

1. F x 2x cos x C

2. F ( x)

x2

x4

C

2

4

3.F ( x) 8x

5x2

10 x3

C

2

3

4. F ( x) 2 sin x C

5.F ( x) 8x sin x

10x2

C

3

6.F ( x) 301 4 3x 10 C

7.F ( x) 13 4 3x 10 C

ВСПОМНИМ, ЧТО du(t)=u’(t) dt, отсюда dc=0, d(at+b)=d(at)=adt

cos

x

dx

x 6t

cos t 6 dt

6 cos t dt 6 sin t C

dx 6 dt

6

x

x

t

6sin

C

6

6

sin4 x cos xdx

t sin x

t4dt

t

5

sin

5

x

C

C

dt

cos x dx

5

5

ln2 x

t ln x

t

t3

ln3 x

dt 1

dx

2

dt

C

x

dx

C

3

3

x

I = cos(t3) t2 dt.

Пусть t3 = u,

тогда du = 3t2dt

или t2dt = du/3.

I cosu	du		1	cosudu	1	sinu C	1	sint3 C
3		3		3			3

ФОРМУЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ

ПО ЧАСТЯМ