neopr_i_opr_integraly_dlya_td_2015

Теорема: для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b],

существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

Теорема: (теорема Ньютона – Лейбница) если функция F(x) – какаялибо первообразная от непрерывной функции f(x), то

b

f (x)dx F (b) F (a)

a

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница

ФОРМУЛА НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦА

		b
		f (x)dx F (b) F (a)
		a

	2								2												sin 0 1
1. cos x dx sin x |													sin
	0								0								2
	1												1
	2			(1 x2 )dx (x x							3						1				1
														) |									0,54
2.
														2
	0								3				0				2				24
3.	2			dx ln x |
						2						ln1 ln 2
									ln 2
				x
						1
	1
	2																		1
4. (5x2						10x 5)dx 3
	0																3

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подынтегральную функцию, но и на пределы интегрирования.

Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

ПРИВЕДЕМ ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА-

ЛЕЙБНИЦА.				π			π
			2
							2		π
dx x			I cos xdx sin x					sin		sin 0 1
									2
0	0		0			0

Замена переменных.

Пусть задан определенный интеграл , где подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = (t).

Тогда если

1)( ) = а, ( ) = b

2)(t) и (t) непрерывны на отрезке [ , ]

3)f( (t)) определена на отрезке [ , ], то

b
f (x)dx f [ (t)] (t)dt
a

Формула интегрирования по частям

Теорема. Если функции U(x) и V(x) имеют на отрезке [a, b] непрерывные производные, то справедлива формула

b			b
UdV U (x)V (x)		ba	VdU.	(*)
a			a

		2
Пример	J	xsin(2x)dx

0

Решение.

Положим в формуле (*) U=x , sin(2x)dx=dV. Тогда. dU=dx и

			V sin(2x)dx											1		cos(2x)
											2 2		2
		1														1
J x				cos(2x)														cos(2x) dx
		2									0 0					2
					1				2 cos(2x)dx										1	sin(2x)		0	2
																4			4					4
		4			2
									0
b							ba		b
UdV U (x)V (x)									VdU

a

a

МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ

																b								b				b
																									vdu
																udv uv |
Пример																a								a				a
	2																		3			dx
					u ln x										dv x
	x		3								1									x4
				ln x dx											v
	1				du									dx
												x							4
x			4	ln x |	2		x	4	1 dx							x	4		ln x | x							4		|
				2	1																	2						2
4							4				x
				1											4							1 16 1

164 ln 2 14 ln1 1616 161 4 ln 2 1615

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ

Если положить промежуток интегрирования бесконечным, то приведенное выше определение определенного интеграла теряет смысл, например, потому что невозможно осуществить условия n ; 0 для бесконечного промежутка. Для такого интеграла

требуется специальное определение.

Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на полубесконечном промежутке [a; ), тогда несобственным

интегралом с бесконечным пределом называется

		b
f x dx
	lim	f x dx
a	b a

Если предел существует. Если этот предел не существует, то не существует и несобственный интеграл.

В этом случае принято говорить, что несобственный интеграл расходится. При существовании предела говорят, что несобственный интеграл сходится. Аналогично

b		b				b
f x dx		f x dx
	lim		f x dx	lim
					lim	f x dx
	a a			a b a