neopr_i_opr_integraly_dlya_td_2015

Пусть u(x) и v(x) — дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда

(uv) = u v + v u

Отсюда следует

(uv) dx = (u v + v u )dx = = u v dx + v u dx

или uv dx = (uv) dx – u v dx .

Отсюда вытекает формула, которая называется формулой интегрирования

по частям: udv = u v – v du

.

Приведем примеры применения формулы интегрирования по частям.

Примеры.

1. I = x cosx dx.

Пусть u = x; dv = cosx dx, тогда du = dx; v = sinx.

Отсюда по формуле интегрирования по частям udv = u v – v du

получается:

I = x sinx – sinx dx = x sinx + cosx + C.

																										udv = u v – v du
I		x5			x ln xdx
;
u ln x; dv x5																dx;								du					dx						; v								x6			2	x	3
														x																																		2
																															x										6					3
											6											3						6											3
							x										2					2				x								2					2		dx
			I ln x																	x																x
									6									3									6								3						x
							6										3								5												1
				x								2					2							x							2							2
.		ln x													x											dx										x				dx
						6						3												6							3

		6				3			6				3
	x			2	x 2		ln x	x			4	x	2	C
	6			3				36			9

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определение 1

Криволинейной трапецией является фигура, ограниченная линиями: х = а, х = в, y = 0, y = f (x).

y	y f (x)

a	b

x

b	ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2
S f (x)dx		называется	определенным
a		интегралом от	функции f (x) на
		отрезке [a;b].

Число a называется нижним пределом интегрирования, число b - верхним пределом интегрирования,

х - переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

b
S f (x)dx	- площадь криволинейной трапеции

a

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

b	b	b
1. f1 (x) f2 (x) dx f1 (x)dx f2 (x)dx
a	a	a
b	b
2. cf (x)dx c f (x)dx
a	a
b	c	b
3. f (x)dx f (x)dx		f (x)dx,	г де a c b
a	a	c
b	a
4. f (x)dx f (x)dx

a

b

a
5. f (x)dx 0
a
b		x a,b
6. f (x)dx 0,	если f (x) 0 при
a
7.если f (x) четная функция на а; а
а	a
то f (x)dx 2 f (x)dx;
а	0

если f (x) нечетная функция на а; а

a

то f (x)dx 0

a

Перечислим свойства определенного интеграла (все приведенные свойства непосредственно следуют из определения определенного интеграла)

	b		b
1 kf x dx k f x dx
	a		a
	b		b	b
2 f x g x			dx f x dx g x dx
	a		a	a
	b		a
3	f x dx f x dx
	a		b
	b	c		b
4	f x dx f x dx f x dx, a c b,
	a	a		c
5	a
	f(x)dx 0.

a