neopr_i_opr_integraly_dlya_td_2015

Интегрирование четных и нечетных функций на симметричном промежутке

Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на промежутке

[-a;а]. Тогда

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Геометрический смысл определенного интеграла, как известно, - площадь криволинейной трапеции.

Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком непрерывной, неотрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), отрезком [a;b] оси X, и прямыми x = a; x = b. На рисунке 2 криволинейная трапеция выделена штриховкой. Площадь S этой трапеции определяется формулой

b

S I f x dx

a

2 . Если f(x) < 0 во всех точках промежутка [a;b] и непрерывна на этом промежутке (например, как изображено на рисунке 3), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезком [a;b] горизонтальной оси координат, прямыми x = a; x = b и графиком функции y = f(x), определяется формулой

b

S f x dx

a

3. Пусть f(х) конечное число раз меняет знак на отрезке [а, b] (рис.4). По свойству интеграл по всему отрезку [а, b] равен сумме интегралов по составляющим отрезкам. Площадь равна сумме абсолютных величин интегралов по каждому из отрезков, то есть

b

S f x dx

a

4. Площадь фигуры

s

b

x dx

b

x dx

b

x

f1

x dx.

f2

f1

f2

a

a

a

5. Площадь трапеции, основанием которой является ось ординат (рис.6), удобнее вычислять по формуле

d

s y dy

c

ОБЪЁМ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Пусть тело образовано вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции аАВb, ограниченной кривой у = f(х), осью ох и прямыми х = а, х = b (см. рис. ). В этом случае произвольное сечение тела

плоскостью, перпендикулярной оси ох, есть круг, площадь которого

s x y 2 f x 2

(радиус круга равен ординате точки). Проинтегрируем s(x) на интервале [a;b], в итоге получим формулу:

y

			B	b
	A
				v f x 2 dx
	a	o	b x
				a

Рис.

Замечание. Если тело образовано вращением кривой вокруг оси ОУ, c < y < d, то уравнение кривой следует записать в виде х = (у) и

использовать формулу

d

v y 2 dy.

c