36) Линейное д.У. 2- го порядка. Общее решение линейного однородного д.У. 2-го порядка

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид , а неоднородное , где функции f(x),p(x) и q(x) - непрерывны на интервале интегрирования X. 

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения  с непрерывными на интервале интегрирования Xкоэффициентами  определяется линейной комбинацией , где  - линейно независимые частные решения ЛОДУ на X, а  - произвольные постоянные.

37) Общее решение неоднородного д.У. 2-го порядка

Общее решение неоднородного уравнения представляет собой сумму общего решения y₀(x) ассоциированного однородного уравнения и частного решения Y(x) неоднородного уравнения:Для построения общего решения неоднородного уравнения чаще всего используют следующий подход:1)Сначала путем подбора находят частное решение однородного уравнения.2)Затем по формуле Лиувилля-Остроградского получают общее решение однородного уравнения.3)Далее методом вариации постоянных (методом Лагранжа) определяют общее решение неоднородного уравнения.

38) Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения линейного неоднородного д.У. 2-го порядка.

y’’+py’+qy=f(x) Метод Лагранжа, вариация любых пост. Поис частного реш. неодн.ур. по f(x) пусть f(x)=e^ax*[Pn(x)*cosбеттаx+Qm(x)sinветтаx]ю P и Q- многочелены степени n и m соотв.отн. х, следует частн.решение следует искать в виде ŷ(х)=x^^^*e^ax*[Ts(x)*cosβx+Rs(x)sinβx], где ^^-число корней характеристического уравнения, равных a+ib, s - ст.многочлена,max среди n и m.

39) Линейное д.У. 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

y’’+py’+qy=f(x), p1*q=const; y’’+py’+qy=0 –однор.ур. Характ.ур: x^2+pλ+q=0, y(x)=e^2x следует λ^2*e^2x+p* λ*e^2x+q*e^2x=0. U^2+pλ+q=0; 1)λ1<>λ2. y^0=C1*e^λ1*x+C2*e^λ2*x (любых С1,С2); 2)λ1=λ2-λ y^0= C1*e^λ*x+C2*C^λ*x; 3)λ1,2=α+-iβ y^0=e^ αx(C1*cosβx +C2*sinβx).