- •1) Предел функции двух переменных
- •2) Непрерывность функции двух переменных.
- •3) Частные производные. Дифференцируемая функция 2-х переменных. Дифференциал.
- •4) Непрерывность дифференцируемой функции.
- •5) Дифференцирование сложной функции
- •7) Локальный экстремум функции нескольких переменных.
- •8) Двойной интеграл. Его свойства.
- •9) Вычисление двойного интеграла с помощью повторного.
- •10) Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам.
- •11) Вычисление площади плоской фигуры и объёма тела с помощью двойного интеграла
- •12) Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла
- •13) Криволинейный интеграл 1-го рода.
- •14) Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода с помощью определённого.
- •15)Криволинейный интеграл 2-го рода. Физический смысл. Свойства.
- •16) Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода с помощью определённого. Связь между интегралами 1-го и 2-го рода.
- •17)Формула Грина.
- •18) Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла
- •19) Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования
- •20) Тройной интеграл.
- •21) Вычисление 3го инт. С помощью повт. Инт-ия.
- •22) Замена переменных в тройном интеграле.1
- •23) Производная по направлению скалярного поля. Градиент скалярного поля.
- •24) Дивергенция векторного поля. Ротор векторного поля.
- •25) Потенциальное векторное поле. Соленоидальное векторное поле.
- •26) Числовой ряд. Необходимое условие сходимости ряда. Свойства сходящихся рядов.
- •27) Признаки сходимости положительных рядов (признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный признак Коши).
- •28) Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •29) Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.(достаточный признак сходимости).
- •30) Степенной ряд. Теорема Абеля.
- •31) Радиус сходимости степенного ряда. Интервал сходимости.
- •32) Разложение функций в степенной ряд.
- •33) Д.У. 1-го порядка.Теорема Коши. Общее и частное решение д.У. 1-го порядка
- •34) Линейные д.У. 1-го порядка. Методы решения.
- •35) Д.У. 2-го порядка. Теорема Коши. Общее и частное решение д.У. 2-го порядка.
- •36) Линейное д.У. 2- го порядка. Общее решение линейного однородного д.У. 2-го порядка
- •37) Общее решение неоднородного д.У. 2-го порядка
- •38) Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения линейного неоднородного д.У. 2-го порядка.
- •39) Линейное д.У. 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
7) Локальный экстремум функции нескольких переменных.
Определение. Функция z = f(x, у) имеет в точке М0 локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки M0, принадлежащая {М}, что для любой точки М(х, у) из этой окрестности выполняется неравенство f(M) ≤ f(M0) (f(М) ≥ f(М0)); для случая функции трех и более переменных локальный экстремум определяется аналогично.
Согласно данному определению локального экстремума (минимума или максимума) полное приращение функции z = f(M) — f(М0) удовлетворяет одному из условий в окрестности точки M0:
Δz ≤ 0, если M0 — точка локального максимума;
Δz ≥ 0, если M0 — точка локального минимума.
8) Двойной интеграл. Его свойства.
Пусть - ограниченная на квадрируемом множестве функция. Пусть . Если , то будем говорить, что - интегрируемая нафункция и .
Свойство 1. Если - интегрируемые на функции, а - числа, то . Иными словами, интеграл – линейный функционал.
Свойство 2. Если - интегрируема на , причем если площадь пересечения равна 0, то .Свойство 3. Если - интегрируемая на функция и , то .
Свойство 4. Если - интегрируемые на и , то .
Свойство 5. Если - интегрируемая на функция, то - также интегрируемая, причем .
Свойство 6. Если - интегрируемая на функция, причем , где - ограничивающие множество значений числа, то ( - площадь ), т.е. :. Если, кроме того, - непрерывна на , то .
9) Вычисление двойного интеграла с помощью повторного.
⌠⌠отDf(xy)dxdy=⌠от?до?dx⌠от??до??f(xy)dy(повт.интегр) ?-числа,??-функц.одной переем.y=f(x), зав.от х. Пределы интегрирования завистят от заданной области D. Обычно она ограничена прямыми, параболами, гиперб. …1)выполнить чертёж,2)расставить пред.интегрир. и перейти к повт.интегралам.,3)Решить внутр.интегр.,4)решить внешн. интеграл.
10) Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам.
Для вычисления двойного интеграла иногда удобнее перейти в другую систему координат. Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой.где выражение представляет собой так называемый якобиан преобразования , а S − образ области интегрирования R, который можно найти с помощью подстановки в определение области R. означает абсолютное значение соответствующего определителя.
Итак, замена переменных в двойном интеграле производится с помощью следующих трех шагов:1)Найти образ S в новой системе координат для исходной области интегрированияR; 2)Вычислить якобиан преобразования и записать дифференциал в новых переменных; 3) Заменить в подынтегральном выражении исходные переменные x и y, выполнив, соответственно, подстановки и.
Частный случай замены переменных – замена прямоугольных координат х,у полярными координатами r и фи. Полярные координаты ро и фи связаны с прямоугольными координатами формулами: x=r*cosфи (0<=r<+бесконечности), y=r*sinфи (0<=фи<2*пи). Иногда в качестве промежутка изменения фи берётся промежуток (-пи,пи]. Якобиан перехода к полярным координатам: D(x,y)/D(r,фи)=│перв.строка:dx/dr и dx/dфи вторая строка: dy/dr и dy/dфи│=│1 стр.:cosфи и –rsinфи, 2стр.:sinфи и rcosфи│= r