32) Разложение функций в степенной ряд.

для заданной функции , определенной в области  и удовлетворяющий в ней него которым дополнительным условиям, требуется найти ряд вида  который бы сходился в области  и его сумма в этой области совпадала с .

Теорема Тейлора: Функция, аналитическая в области , в окрестности каждой точкиэтой областипредставляется в виде степенного ряда (3.15), радиус сходимости которого не меньше, чем расстояние от точкидо границы области. Коэффициенты ряда вычисляются по формуле

где — произвольный контур, принадлежащий областии охватывающий точку, в частности,— окружностьили по формуле

На основании теоремы можно сформулировать алгоритм решения поставленной выше задачи и вывод — утверждение.

33) Д.У. 1-го порядка.Теорема Коши. Общее и частное решение д.У. 1-го порядка

Уравнение вида F(x,y,y')=0 (3) где х - независимая переменная; у - искомая функция; у' - её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

В некоторых случаях дифференциальное уравнение (4) первого порядка удобно записывать в форме: dy/dx=f(x,y) (4') или в форме: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 где Р(х,у) и Q(x,y) – известные функции. 

 Если функции f (х) и (х) непрерывны на отрезке [а, b] и дифференцируемы в интервале (а_, b), причем , то существует точка с (а, b) такая, что_.

Коши: Пусть f(xy) и df/dy(ху) – опред.и неперер. в обл.G принадл. R след. для любых внутр.т.(x0,y0) прин G существ. δ>0:для любых хпринадл.(x0- δ;x0+ δ) существ. у=у(х):у(х0)=у0.Общее решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x, y) = C, называется общим интегралом уравнения. Частное решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x, y) = 0, называется частным интегралом уравнения.

34) Линейные д.У. 1-го порядка. Методы решения.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида   ,где p и q – функции переменной x. Метод интегрирующего множителя:  (обе части на него умножаем). Метод введения двух функций (Бернулли): Делаем подстановку:y = u · v, где u, v - функции от x. Дифференцируем:y′ = u′ · v + u · v′ Подставляем в исходное уравнение. Метод вариации постоянной: Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения:Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C(x). Задача Коши

Если, кроме дифференциального уравнения, задано также начальное условие в форме y(x₀) = y₀, то такая задача называется задачей Коши.Решение задачи Коши не содержит константы C. Ее конкретное числовое значение определяется подстановкой общего решения уравнения в заданное начальное условие y(x₀) = y₀. 

35) Д.У. 2-го порядка. Теорема Коши. Общее и частное решение д.У. 2-го порядка.

Дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде . Мы будем рассматривать уравнения второго порядка, которые можно разрешить относительно производной второго порядка, то есть записать в виде

.Коши: Пусть f(xyy’), f’y(xyy’), f’y’(xyy’) опр. и непрер. в G (x0,y0,y0’).Существует δ>0: для любых х прин.[x0-δ; x0+δ] существ. Единств(!) решение: y’’=f(xyy’). у(х)│_х=х0=у0; y’(x) │_х=х0=y’0. Геометрически- через задан. Т. на плоск.(х0,у0) проходит ! инт.прямая с зад.угл. коэф. y’0. Опр: у=φ(x;C1,C2)- наз. общ. решением диф. ур. y’’=f(xyy’) в G, если для любых конст. C1,C2 и φ(x;C1,C2)- решение и для любых нач. условия у(х0)=у0 и y’(х0)=y’0 существует C1^0,C2^0:φ(x; C1^0,C2^0) удовл. нач. усл.. φ(x; C1^0,C2^0)- частное решение.