23) Производная по направлению скалярного поля. Градиент скалярного поля.

Пусть G – область в трехмерном пространстве или на плоскости.

Определение: Если МG определено значение скалярной величины u(M), то говорят, что в область Gзадано скалярное поле.

Производная по направлению.

Пусть скалярное поле и(М) задано области G, е – фиксированный орт, М – фиксированная точка, М’ – любая точка из G,отличная от М и такая, что вектор ММ’ коллинеарен е. Пусть ММ’ – величина направленного отрезка ММ’.

Определение: Число

называется производной поля и(М) в точке М по направлению е. Производная по направлению является скоростью изменения и(М) по направлению е в точке М. В декартовой системе координат Oxyz:

Где – направляющие косинусые, частные производные функции и берутся в точке М.Градиент скалярного поля.

Фиксируем декартову систему Oxyz.

Определение: Градиентом скалярного поля и(х,у,z) называется вектор –функция

grad u =

Справедливы следующие соотношения:

• grad (uv) = grad u grad v

• grad (uv) = u grad v + v grad u

• grad ((приv0)

Если F – дифференцируемая ф-я, то gradF(u)= F’(u) gradu.

24) Дивергенция векторного поля. Ротор векторного поля.

Дивергенцией или расходимостью векторного поля называется скалярная функция, определяемая равенством: .

Ротором (вихрем) векторного поля a= P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)kназывается вектор-функция rota = Илиrot a =

Свойства ротора:

25) Потенциальное векторное поле. Соленоидальное векторное поле.

Потенциальное векторное поле (гравитационные и электростатические поля)

Определение: Векторное поле а(М) называется потенциальным в области G, если его можно представить в этой области как градиент некоторого скалярного поля u(M): a = gradu.

Ф-я u(M) называется скалярным потенциалом поля а(М).

Если а=Р(x,y,z)i + Q(x,y,z)j +R(x,y,z)k,то имеем P=,Q=,R=

Иногда потенциалома называют такую ф-ю u, что a = -gradu.

Условие rota = 0 является необходимым и достаточным усл-ем потенц. поля а в поверхностно односвязной обл.

Св-ва: 1)Циркуляция потенц. поля а(М) вдоль замкнутого контура LGравна 0: 2)Для любых точекA и В из G циркуляция потенциального поля а= gradu вдоль кривой АВ не зависит от выбора АВ G и равна разности значений потенциала uв точках А и В:

Соленоидальное векторное поле

Определение: Векторное поле а(М) называется соленоидальным в обл. G, если в этой области div a = 0.

-Электрическое поле точечного заряда соленоидально всюду, вне точки, где находится заряд.

-Магнитное поле, создаваемое током в проводнике, называется соленоидальным.

Соленоидальное поле не имеет источников и стоков.

Если векторное поле а(М) можно представить как ротор некоторого векторного поля b(M), т.е. а = rotb,то вектор функция b(M) называется векторным потенциалом поля а(М).

Еслиb= P1(x,y,z)i + Q1(x,y,z)j + R1(x,y,z)k , то соотношение а(М) = rotb(M) в координатной форме запишется так:

,,