4) Непрерывность дифференцируемой функции.

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке a, то она непрерывна в этой точке. Доказательство. По определению производной

Это предельное равенство означает, что выражение под знаком предела можно представить в виде

где α(x) – бесконечно малая функция при x → a. Тогда

Следовательно, при x → a. Заметим, что дифференцируемость функции в некоторой точке означает ее гладкость в окрестности этой точки, что влечет за собой непрерывность функции в рассматриваемой точке. Однако обратное утверждение несправедливо – функция, обладающая свойством непрерывности в некоторой точке, не обязательно дифференцируема в этой точке.Рис. Непрерывная в точке a функция не является дифференцируемой в этой точке.

5) Дифференцирование сложной функции

Теорема 1. Пусть функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x₀, y₀) и ее аргументы x = x(t) и y = y(t) дифференцируемы в точке t₀ , причем x(t₀) = x₀ , y(t₀) = y₀ .

Тогда сложная функция z = f(x(t), y(t)) переменной t дифференцируема в точке t₀ и ее производная вычисляется по формуле

Теорема 2. Пусть функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x₀, y₀) и ее аргументы x =x(u, v) и y = y(u, v) дифференцируемы в точке (u₀, v₀) , причем x(u₀, v₀) = x₀ , y(u₀, v₀) = y₀ .

Тогда сложная функция z = f(x(u, v), y(u, v)) переменных u и v дифференцируема в точке (u₀, v₀) и ее частные производные вычисляются по формулам

6) Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть частная производная du/dxi по аргументу xi функции u=f(x1,x2,…,xm), определённой в области {M}, существует в каждой точке области {M}. В таком случае указанная частная производная представляет собой функцию переменных х1,х2,…,xm также определённую в области {M}. Может случиться, что эта функция du/dxi имеет частную производную по аргументу xk в некоторой точке М области {M}.Тогда такую производную по аргументу хк называют частной производной второго порядка функции u=f(x1,x2,…,xm) в точке М сначала по аргументу xi, а затем по аргументу xk, обозначают: d^2*u/dxk*dxi, f^(2) отxi*xk. Если i<>k, то частная производная d^2*u/dxk*dxi называется смешанной частной производной второго порядка. (n-1) частная производная функции u=f(x1,x2,…,xm) по аргументам xi1,xi2,…,xi(n-1) и что эта (n-1)-я частная производная имеет в точке М частную производную по аргументу xin, то указанную частную производную называют n-й частной производной функции u=f(x1,x2,…,xm) в точке М по аргументам xi1,xi2,…,xin .

Дифференциалы: Пусть функция зависит от переменной и дифференцируема в точке . Может оказаться, что в точке дифференциал , рассматриваемый как функция от , есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции . Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом: