8,1. Определение положения центра тяжести сечения
Центр тяжести "О" лежит на оси X, являющейся осью симметрии сечения. Вспомогательной осью для определения положения центра тяжести на этой оси выбираем ось У.
Площадь сечения:
F = F1 + F2 = 3·8 + 6·4 = 24 + 24 = 48 см2.
Статический момент относительно оси y1:
Sy1 = F1·0 + F2·x1c2 = F·x1(0),
откуда
x1(0)
=
=
=
=
2,25cm.
Рисунок 8.1,
8.2. Вычисление главных центральных моментов и радиусов инерции.
Главными центральными осями являются: ось X и перпендикулярная к ней ось У.
JХ
= JIx1
+
JIIx2
=
+
=
128 + 32 = 160 см4.
Jy
= JIy1+
F1·m12
+
JIIy2+
F2·m22
+
+ 24·2,252
+
+
24·2,252
= 333 см4.
ix2
=
=
=
3,34 см2;
iy2
=
=
=
6,95 см2
8.3. Определение положения нейтральной оси.
а) Определяем отрезки, отсекаемые нейтральной осью на главных осях по формулам (8.3):
ay
= -
=
-
=
- 1.57 см.
ax
= -
=
-
=
- 9.28 см.
Знак минус означает, что эти отрезки следует отложить в сторону, противоположную выбранным направлениям отсчетов координат. Чем ближе расположена точка приложения силы к центру тяжести сечения, тем дальше от центра отодвигается нейтральная ось, т.е. тем меньше становится зона растяжения.
б) Определяем направление нейтральной оси по формуле (8.4) (в этом случае не нужно вычислять ix, iy, ах и ау):
tg
φ =
=
=
0б375;
tg
α = tg
φ ·
=
0,375·
=
0,180;
α = 10° 13'.
8.4. Определение опасных точек, запись условий прочности и определение допускаемой нагрузки.
По построению (рисунок 8.1а) видно, что наиболее удаленными от нейтральной оси являются точки 1 (х=3,75 см; у=4 см) и 2 (х=0.75 см; у=-4 см).
В т. 1, как уже отмечалось, возникает наибольшее сжимающее напряжение. В т. 2 возникает растягивающее напряжение, большее, чем в т. 3, несмотря на то, что в ней растяжение создает лишь момент Мх, а в т. 3 возникает растяжение от обоих моментов (см. рис. 8.1в).
Условия прочности:
а) на сжатие: max
σс
= | σ1
| =
(1 +
+
)
≤[σ],
(1 +
+
)
≤ 100·106,
P1 · 793 ≤ 100·106,
откуда
P1
≤
= 126000 Н = 126 кН (12600 кгс);
б) на растяжение:
max
σр
= σ2
=
(1 +
+
)
≤[σ],
(1 +
+
)
≤ 30·106
P2 · 275 ≤ 30·106,
откуда
P2
≤
= 109000 Н = 109 кН (10900 кгс);
Из найденных двух значений берем меньшее.
Итак, [P]= 109 кН.
8.5. Построение эпюры напряжений
Построение эпюры напряжений вдоль линии, перпендикулярной к нейтральной оси, показано на рисунке 8.1б.
Его можно выполнить различными способами.
Одной из ординат эпюры является отрезок, пропорциональный напряжению max σр = σ2 = 30 МПа.
В качестве второй точки для проведения эпюры может служить либо нулевая точка, принадлежащая нейтральной оси, если таковая определялась (пункт 8.За), либо ордината, соответствующая напряжению в центре тяжести сечения σ0 = - P/F = 109000/(48·10-4) =
=- 22,8·106 Па = - 22,8 МПа (- 228 кгс/см2), если определялось лишь направление нейтральной оси (пункт 8.Зб).
Наибольшее сжимающее напряжение max σс определится на эпюре автоматически, но для контроля его можно вычислить, используя данные пункта 8.4а.
max σс = σ1 =109000·793 = 86,9 ·106Па = 86,9 МПа (869 кгс/см2),
На рисунке 8.1гпоказана пространственная эпюра напряжений в.поперечном сечении стержня. Для ее построения ординаты, соответствующие всем угловым точкам, взяты по эпюре, показанной на схеме 8.1б. Конечно, их можно подсчитать также по формуле (8.1).
σ3
= -
(1 +
+
)
=
(1 +
+
)
= 17,4·106
Па = 17,4 МПа (174 кгс/см2);
σ4
= -
(1 +
+
)
=
(1 +
+
)
= -37,2·106
Па = -37,2 МПа (-372 кгс/см2);
σА
= -
(1 +
+
)
=
(1 +
+
)
= -79,2·106
Па = -79,2 МПа (-792 кгс/см2);
σ5
= -
(1 +
+
)
=
(1 +
+
)
= -79,2·106
Па = -79,2 МПа (-792 кгс/см2);
σ6
= -
(1 +
+
)
=
(1 +
+
)
= 24,4·106
Па = 24,4 МПа (244 кгс/см2);
σ7
= -
(1 +
+
)
=
(1 +
+
)
= 2,67·106
Па = 2,67 МПа (26,7 кгс/см2);
К ЗАДАЧЕ № 9