11.3 Расчёт методом после­довательных приближений

Поскольку коэффициент уменьше­ния основного допускаемого напряжения φ может иметь значения от 0 до 1, примем в первом приближении φ₁ = 0,5, т.е. предположим, что допускаемое напряжение на устойчивость в два раза меньше, чем допускаемое напряжение на простое сжатие. Тогда по условию устойчивости площадь сечения стержня в первом приближении.

F1 ≥ == 37,5·10^-4 м² = 37,5 см²,

Характерный размер, соответствующий этому значению площа­ди,

a₁ = = = 2,72 см.

Наименьший радиус инерции сечения стержня при этом

i_1min === 0,807·a₁ =0,807·2,72 = 2,19 см.

Гибкость стержня в первом приближении

λ₁ = == 57,0

Такому значению гибкости по таблице 11.1соответствует значение коэф­фициента φ₁, которое определим, используя линейную интер­по­ля­цию,

φ₁ = 0,89 - ·(57 - 50) = 0,869.

Как видим, φ₁= 0,869 очень сильно отличается от предпола­гав­ше­го­ся значения φ₁= 0,5. Значит первое приближение оказалось грубым.

Во втором приближении предположим их среднее значение:

φ₂ = = 0,69.

Повторяем вычисления в той же последовательности.

F2 ≥ = = 27,2·10^-4 м² = 27,2 см²;

a₂ = == 2,32см;

i_2min = 0,807·a₂ =0,807·2,32 = 1,87 см.

λ₂ = == 67,0

φ₂ = 0,86 - · (67 - 60) = 0,825.

Третье приближение:

φ₃ = = 0,76.

F3 ≥ = = 24,6·10^-4 м² = 24,6 см²;

a₃ = == 2,21см;

i_3min = 0,807·a₃ = 0,807·2,21 = 1,78 см.

λ₃ = == 70,3;

φ₃ = 0,81 - · (70,3 - 70) = 0,808.

Четвёртое приближение:

φ₄ = = 0,79.

F4 ≥ = = 23,73·10^-4 м² = 23,73 см²;

a₄ = == 2,16см;

i_4min = 0,807·a₄ = 0,807·2,16 = 1,74 см.

λ₄ = == 71,8;

φ₄ = 0,81 - · (71,8 - 70) = 0,799.

Окончательно можно принять φ = 0,80, что совпадает с резуль­татом, по­лученным ранее другим способом.

11.4 Определение величины критической силы и коэффици­ента запаса ус­тойчивости для подобранного нами стержня.

Критическое напряжение (σ_кр) для стержней большой гибкости, которые теряют устойчивость при напряжениях меньших предела пропорциональнос­ти (σ_пц), определяется по формуле Эйлера

σ_кр = ≤ σ_пц(11.5)

Из (8.5) следует второе условие применимости формулы Эйлера:

λ = ≥ λ_пред = π·. (11.6)

Полагая для стали Ст.З

Е= 2·10⁵ МПа = 2·10⁶ кгс/см², 6_пц= 200 МПа = 2000 кгс/см²;

имеем:

λ_пред = π·≈ 100, что больше λ = 71,8.

Итак, в нашем случае формула Эйлера неприменима; она дала бы сильно завышенное значение σ_кр.

Для стержней из малоуглеродистой стали при средних гибкостях (λ = 40 ÷ 100) можно использовать эмпирическую формулу Ф.С.Ясинского

σ_кр = a - b· λ, (11.7)

при следующих значениях коэффициентов:

а = 310 МПа (3100 кгс/см²), b = 1,14 МПа (11,4 кгс/см²).

σ_кр = 310 - 1,14· 71,8 = 310 – 82,9 = 228 МПа,

(По формуле Эйлера было бы σ_кр = == 381 МПа).

Итак, критическое значение сжимающей силы

P_кр = σ_кр · F = 228·10⁶ × 23,4·10^-4 = 533000 Н = 533 кН (53300 кгс).

Коэффициент запаса устойчивости

n_у = = 1,78.

Сравним полученные результаты с нормативным коэф­фи­ци­ентом запаса прочности на сжатие для стали Ст.3:

n_т = == 1,5.

К ЗАДАЧЕ № 12

УДАР

На середину стальной балки длиной 2 м, свободно лежащей на двух опорах, с высоты h = 4 см падает груз Р = 4000 Н (400 кгс) (рисунок 12.1а).

Рисунок 12.1

Вычислить (без учета и с учетом собственного веса балки) наиболь­шие нормаль­ные напряжения в ее поперечном сечении при ударе. Определить, как изменятся напряжения (при расчете без учета собственного веса балки), если левый конец балки опереть на пружину (рисунок 12.16), жесткость которой (т. е. величина силы, вы­зы­вающей деформацию пружины, равную единице) равна С=500·10³Н/м (500кгс/см).

Дано: E = 2·10⁵ МПа; J = 2370 см⁴; W = 237 см³; вес балки q = =279 Н/м.

Решение.