Изгиб с кручением ломаного стержня

Задана расчетная схема ломаного стержня круглого попе­речного сечения, расположенного в горизонтальной плоскости. На стержень действуют вертикальные силы, вызывающие на отдельных участках стержня изгиб с кручением. Требуется построить эпюры изгибающих и крутящих моментов, устано­вить опасное сечение и найти для него величину расчетного момента по четвертой теории прочности.

Рассмотрим два примера.

9.1. Пример «а» (рисунок 9.1).

Стержень, состоящий из трех участков (АВ, ВС, CD)_r защемленный в сечении D и загруженный нагрузкой, равно­мерно распределенной на участке АВ (рисунок 9.1а).

9.1.1. Построение эпюры крутящих моментов

Крутящий момент, передающийся через произвольное поперечное сечение стержня, вычисляется как алгебра­ическая сумма моментов всех сил, расположенных по одну сторону от г этого сечения относительно нормали к сечению в его центре тяжести (т. е. относительно оси прямого стер­жня).

На участке АВ: M_к^АB=0.

На участке ВС: M_к^BC=0,8qℓ∙0,4ℓ = 0,32qℓ².

На участке CD: M_к^BC=0,8qℓ∙0,5ℓ = 0,4qℓ².

По этим данным построена эпюра крутящих моментов «M_к» (рисунок 9.1в).

Рисунок 9.1

9.1.2. Построение эпюры изгибающих моментов

На расчетной схеме показаны произвольные поперечные се­чения на каждом из трех участков.

В каждом из сечений проведены две главные центральные оси: Y — вертикальная и X — горизонтальная.

В нашем случае, так как нагрузка расположена в верти­кальной плоскости, она дает момент лишь вокруг горизонталь­ной оси Х.

Запишем уравнения изгибающих моментов на каждом из участков. Для определенности примем условно за положитель­ный — изгибающий момент, вызывающий растяжение нижних во­локон.

Участок АВ: (0 ≤ z ≤ 0,8ℓ).

M_и^AB = -qz²/2 ;

при z = 0, M_и^A = 0.

при z = 0,8ℓ, M_и^B = -q(0,8ℓ)²/2 = - 0,32qℓ ².

Участок ВС: (0 ≤ z ≤ ,5ℓ).

M_и^BC = - 0,8qℓ∙z.

при z = 0, M_и^B = 0.

при z = 0,5ℓ, M_и^C = - q0,8ℓ∙0,5ℓ =- 0,40qℓ ².

Участок СD: (0≤ z ≤ℓ).

M_и^CD = 0,8qℓ∙(0,4ℓ - z) = 0,32qℓ² - 0,8qℓ∙z.

при z = 0, M_и^C = 0,32qℓ ².

при z = ℓ, M_и^D= 0,32qℓ ² - 0,8qℓ∙ℓ = - 0,48qℓ ².

По этим данным построена эпюра М_и (рисунок 9.1г).

Ее ординаты отложены в плоскости изгиба со стороны растянутого волокна. Из эпюр М_к и М_и видно, что опасным яв­ляется опорное сечение D, в котором М_к = 0,40 qℓ ² и М_и =0,48 qℓ ². На рисунке 9.2а показаны связанные с этими сум­марными внутренними силовыми факторами касательные и нормальные напряжения. Даны эпюры распределения этих напряжений по вертикальному диаметру.

Рисунок 2.14

На рисунке 9.26изображено напряженное состояние в опас­ных точках сечения 1 и 1'. Величину напряжения при линей­ном растяжении, эквивалентном по удельной потенциальной энергии изменения формы (четвертой теории прочности) данному упрощенному плоскому напряженному состоянию, мож­но определить по формуле:

σ_IV^расч = ==

Таким образом, расчетный момент по четвертой теории прочности:

M _IV^расч = == 0,59qℓ².

9.2. Пример «б» » (рисунок 9.3).

На рисунке 9.3 показана расчетная схема стержня, со­стоящего из пяти участков: АВ, ВС, CD, DE и КС.

Рисунок 9.3.

На этом же рисунке показаны размеры участков и коор­динация произвольных поперечных сечений.

Запишем выражения изгибающих и крутящих моментов для произвольных поперечных сечений (уравнения М_и и М_к) и их значения для крайних поперечных сечений на каждом из участков.

ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ

M_и^AB = 0,5qz²/2 – (квадратная парабола);

при z = 0, M_и^A = 0.

при z = a, M_и^B = 0,5qa² – (растянутые волокна вверху).

M_и^BС = qa∙z – (прямая);

при z = 0, M_и^В = 0.

при z = a, M_и^С = qa² – (растянутые волокна вверху).

M_и^CD = P∙z = qa∙z – (прямая);

при z = 0, M_и^D = 0.

при z = a, M_и^C = qa² – (растянутые волокна внизу).

M_и^DЕ = P∙z = qa∙z – (прямая);

при z = 0, M_и^Е = 0.

при z = a, M_и^D = qa² – (растянутые волокна внизу).

M_и^KC = qa(0,5a + z) – P(z-a) = 1,5qa² – (растянутые волокна вверху) – величина постоянная на всем участке.

То, что M_и^KC =const, можно было видеть и без записи , уравнения, так как обе внешние силы, расположенные по одну сторону от участка КС, равны по величине и противопо­ложно направлены, и поэтому составляют пару сил с моментом относительно оси X, M_и^KC = qa(0,5a + a) = 1,5 qa².

Эпюра изгибающих моментов построена со стороны растянутых волокон на рисунке 9.3.

КРУТЯЩИЕ МОМЕНТЫ

M_к^AB = 0; M_к^BС = 0,5qa²; M_к^CD = qa²; M_к^DЕ = 0; M_к^KC = 2qa².

По этим данным на рисунке 9.3. построена эпюра крутящих моментов.

Как видно из эпюр, опасными являются все сечения уча­стка КС.

M_и^KC = 1,5qa²; M_к^KC = 2qa².

Определяем величину расчетного момента по четвертой теории прочности:

M _IV^расч = == 2,29qa².

К ЗАДАЧЕ № 10