- •Государственное бюджетное образовательное учреждение
- •Тема №1 «Элементы теории множеств»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №2 «Элементы математической логики»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №4 «Вычисление вероятностей случайных событий»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №5 «Теоремы теории вероятностей»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №6 «Схема Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Закон Пуассона»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №7 «Дискретные случайные величины»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №8 «Непрерывные случайные величины»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №11 «Построение статистических рядов, нахождение их характеристик»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №12 «Нахождение точечных и интервальных оценок параметров распределения»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №14 «Дисперсионный анализ»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №15 «Применение непараметрических критериев»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №16 «Корреляционно-регрессионный анализ»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Тема №26 «Анализ и сглаживание временных рядов»
- •Краткие теоретические сведения:
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные задания:
- •Задания для домашней работы:
- •Самостоятельная работа Тема №1 «Задачи теории вероятностей»
- •1. Решить задачу, используя теоремы сложения или умножения вероятностей.
- •2. Решить задачу, используя формулу полной вероятности или формулы Байеса.
- •3. Решить задачу, используя формулы Бернулли или закон Пуассона.
- •4. Решить задачу, используя теоремы Муавра – Лапласа.
- •5. Дана случайная величина. Требуется:
- •Тема №2 «Проверка статистических гипотез»
- •Тема №3 «Оценивание параметров и проверка гипотезы о нормальном законе распределения»
- •Тема №4 «Корреляционно-регрессионный анализ»
- •Приложения Значения функции Лапласа
- •Значения функции Гаусса
- •Значения - критерия Стьюдента
- •Значения - критерия Пирсона
- •Значения - критерия Фишера – Снедекора
- •Значения - критерия Фишера – Снедекора
- •Значения - критерия Кочрена
- •Значения - критерия Уилкоксона
- •Значения - критерия Колмогорова
- •Значения - критерия Дарбина – Уотсона
- •Равномерно распределённые случайные числа
Задания для домашней работы:
1. Найти оценки генеральных средней, дисперсии и среднего квадратического отклонения, если совокупность задана таблицей распределения:
6,76 |
6,78 |
6,80 |
6,82 |
6,84 | |
52 |
44 |
14 |
11 |
1 |
2. Вычислить несмещённые оценки параметров генеральной совокупности по выборочным данным. По желанию можно составить вариационный ряд по значениям:
71 71 69 74 75 70 78 66 69 74 81 73 74
3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :
-0,5 |
-0,4 |
-0,2 |
0 |
0,2 |
0,6 |
0,8 |
1 |
1,2 |
1,5 | |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределённого признака генеральной совокупности с помощью доверительного интервала.
4. Найти доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения при доверительной вероятности 0,95, если из генеральной совокупности сделана выборка:
67 70 69 68 74 72 66 66 74 69 72 78 67
Тема №13 «Проверка статистических гипотез о равенстве дисперсий и математических ожиданий»
Цель: научиться проверять статистические гипотезы о равенстве дисперсий и математических ожиданий нормальных генеральных совокупностей.
Краткие теоретические сведения:
Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.
Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу .
Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу , которая противоречит нулевой.
Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.
Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.
Вероятность совершить ошибку второго рода – уровень значимости .
Статистическим критерием называют случайную величину , которая служит для проверки нулевой гипотезы.
Наблюдаемым значением называют значение критерия, вычисленное по выборкам.
Критической областью называют совокупность значений критерия, при которой нулевую гипотезу отвергают.
Область принятия гипотезы – совокупность значений критерия, при котором гипотезу принимают.
Если принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу принимают.
Критическими точками называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.
Критические точки ищут, исходя из требования, что при условии справедливости нулевой гипотезы, вероятность того, что критерий попадет в критическую область, была равна принятому уровню значимости.
Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым находят критическую точку, удовлетворяющую этому требованию.
Когда найдена, вычисляют по данным выборок и, если > (правосторонняя критическая область), < (левосторонняя), <<, < (двусторонняя), то отвергается.
Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей:
Пусть и распространены нормально. По независимым выборкам с объемами, соответственно равными и , извлеченным из этих совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии и . Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу .
1) выдвигаем конкурирующую гипотезу (),
2) находим ,
3) по таблице критических точек Фишера –Снедекора находим (), где , и - объём выборки, которой соответствует , - ,
4) если , то принимаем нулевую гипотезу, в противном случае – альтернативную.
Критерий Бартлетта. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам различного объема:
Пусть распределены нормально. Из этих совокупностей извлечены независимые выборки различных объемов . Найдены исправленные выборочные дисперсии. По уровню значимости и исправленным выборочным дисперсиям проверить гипотезу об однородности дисперсий : .
1) находим , где
,
,
2) находим по таблице критических точек ,
3) если , то принимаем нулевую гипотезу.
Критерий Кочрена. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема:
Пусть распределены нормально. Из этих совокупностей извлечены независимые выборки одинакового объёма . Найдены исправленные выборочные дисперсии, все с одинаковым числом степеней свободы . По уровню значимости и исправленным выборочным дисперсиям проверить гипотезу об однородности дисперсий : .
1) находим
2) находим по таблице критических точек Кочрена,
3) если , то принимаем нулевую гипотезу.
Сравнение двух математических ожиданий нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны:
Пусть и распределены нормально, их дисперсии известны. По выборкам объемов и найдены выборочные средние и . По средним и требуется проверить , то есть значимо или незначимо различаются средние.
1) выдвигаем конкурирующую гипотезу (), [],
2) находим ,
3) находим из условия (), [] по таблице значений функции Лапласа и симметричную ей ,
4) если (), [], то принимаем нулевую гипотезу.
Сравнение двух математических ожиданий нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы:
Пусть и распределены нормально, их дисперсии неизвестны. По выборкам объемов и найдены выборочные средние и и исправленные дисперсии и . По уровню значимости требуется проверить , то есть значимо или незначимо различаются средние. Предполагаем (если есть основание) дисперсии одинаковы или сравниваем их.
1) выдвигаем конкурирующую гипотезу (), [],
2) находим ,
3) находим по таблице критических точек Стьюдента и симметричную ей ,
4) если (), [], то принимаем нулевую гипотезу.