та не рассматривалось движение частицы, промежуток собственного времени измеряется по часам системы, в которой частица покоится. Отсюда следует, что промежуток собственного времени является инвариантом, т. е. величиной, имеющей одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета. С точки зрения на-

блюдателя, «живущего» в системе K, ∆t есть промежуток времени

между событиями, измеренный по неподвижным часам, а ∆τ— промежуток времени, измеренный по часам, движущимся со ско-

ростью v. Поскольку ∆τ < ∆t, можно сказать, что движущиеся часы идут медленнее, чем покоящиеся часы. Подтверждением этого служит следующее явление. В составе космического излучения имеются рождающиеся на высоте 20—30 км нестабильные частицы, называемые мюонами. Они распадаются на электрон (или позитрон) и два нейтрино. Собственное время жизни мюонов (т. е. время жизни, измеренное в системе, в которой они неподвижны) составляет в среднем примерно 2 мкс. Казалось бы, что даже двигаясь со скоростью, очень мало отличающейся от c, они могут пройти лишь путь, равный 3·108·2·10-6 = 600 м. Однако, как показывают измерения, они успевают в значительном количестве достигнуть земной поверхности. Это объясняется тем, что мюоны движутся со скоростью, близкой к c. Поэтому их время жизни, отсчитанное по часам, неподвижным относительно Земли, оказывается значительно большим, чем собственное время жизни этих частиц. Следовательно, не удивительно, что экспериментатор наблюдает пробег мюонов, значительно превышающий 600 м. Для наблюдателя, движущегося вместе с мюонами, расстояние до поверхности Земли сокращается до 600 м, поэтому мюоны успевают пролететь это расстояние за 2 мкс.

1.11.3.Интервал

Вобычном пространстве расстояние ∆ между двумя точками с координатами xi, у1, z1 и x2, у2, z2. определяется выражением

∆ = ∆x2 +∆y2 +∆z2 ,

где ∆x = x2 - x1 и т. д. Это расстояние не зависит от выбора системы координат, т. е. является инвариантом. При переходе к дру-

53

гой координатной системе изменяются, вообще говоря, величины ∆x, ∆y и ∆z, однако эти изменения таковы, что расстояние ∆ оста-

ется одним и тем же.

Казалось бы, что расстояние (или, как принято говорить, интервал) между двумя мировыми точками в четырехмерном простран- стве-времени должно определяться аналогичным выражением

∆s = c2 ∆t2 +∆x2 +∆y2 +∆z2 ,			1.122

где ∆t = t2 - t1 и т. д. Однако это выражение непригодно в качестве интервала, поскольку оно не является инвариантом — при переходе к другой инерциальной системе отсчета числовое значение этого выражения изменяется. Инвариантным, как мы покажем, является выражение

∆s = c2 ∆t2 −∆x2 −∆y2 −∆z2 ,			1.123

которое называют интервалом между событиями. Величина ∆s является аналогом расстояния ∆ между точками в обычном про-

странстве.

Причина того, что интервал определяется не выражением (1.122), а выражением (1.123), заключается в том, что, как говорят, метрика пространства-времени отличается от метрики обычного трехмерного пространства. В обычном пространстве справедлива евклидова геометрия, вследствие чего его называют евклидовым. Качественное различие между временем и пространством приводит к тому, что в выражение для интервала квадрат временной координаты и квадраты пространственных координат входят с разными знаками. Пространство, в котором расстояние между точками определяется выражением вида (1.123), называется псевдоевклидовым. Выражение (1.123) можно написать в виде

∆s = c2 ∆t2 −∆ 2 ,

где ∆ — расстояние между точками обычного пространства, в

которых произошли данные события.

Допустим, что рассматриваются события, происходящие с одной и той же частицей. Тогда отношение ∆ /∆t дает скорость час-

54

тицы v. Поэтому, вынеся из-под корня c∆t, получим, что

∆s = c∆t1−(∆ c∆t)2 = c∆t1−v2 c2 .

Мы получили выражение ∆t1−v2 c2 . Оно равно ∆τ — про-

межутку собственного времени частицы между событиями. Таким образом, мы приходим к соотношению

∆s = c·∆τ.

1.124

Поскольку c — константа, а ∆τ—инвариант, интервал ∆s также оказывается инвариантом. Убедиться в инвариантности интервала можно еще одним способом……..

1.11.4. Преобразование и сложение скоростей.

Компоненты скорости частицы v в системе K определяются выражениями

vx = dx , vy	= dy ,		vz = dz .
dt	dt		dt
В системе K' компоненты скорости v той же частицы равны
v'x' = dx' , vy' = dy' ,			v'z' = dz' .
dt'		dt'	dt'
Найдем формулы, связывающие нештрихованные компоненты
скорости со штрихованными.
.
. dx =	dx	dt'	=
dt	dt'	dt
.
Окончательно получим

v′

+V

v′y' 1−V 2 c2

v′

'

1−V

2 c2

v

x

=

x'

,

v

y

=

,

v

z

=

z

.

1+Vv′x' c2

1+Vv′x' c2

1+Vv′x'

c2

Аналогично

v′

v

−V

v′

vy

1−V 2 c2

v′′ =

v

z

1−V 2 c2

′ =

x

,

′ =

,

.

1−Vvx c2

1

−Vvx c2

1

−Vv′x' c2

x

y

z

55

1.11.5. Релятивистский импульс.

Выражение, обеспечивающее инвариантность закона сохране-

ния импульса, может быть получено, если вместо времени t подставить собственное время τ.

	dr	dr	1					mv
Тогда p = m		= m dt				=				.
	dτ
			1−v2 c2					1−v2 c2

1.11.6. Релятивистское выражение для энергии.

В релятивистской механике справедливым остается выражение ddtp = F .

	d				mv
Это означает, что											= F . Откуда видно, что си-
	dt		1		−v	2	c	2

ла не является инвариантной величиной. Кроме того, сила F и ускорение a не коллениарны.

Легко получить выражение для кинетической энергии. По-

скольку dEk = dA и dEk = v·p·dt, dA = F·ds

Ek =		mc2			−mc2 .
	1−v2
			c2

Отсюда следует, что E0 = mc2 является энергией покоя. Энергия и импульс в релятивистской механике не сохраняются. Инвариантом является выражение:

E2		2	2		2
	− p		= m	c		= inv.
c2

56