3.4.Электрический ток

3.4.1.Сила и плотность тока

Электрический ток представляет собой направленное движение зарядов. Замечательным свойством проводников является способность проводить электрический ток, который в проводниках представляет собой поток свободных электронов. Количественной мерой электрического тока служит сила тока — количество заряда, проходящее через сечение проводника в единицу времени,

I = dQ .	(3.56)
dt

Единицей силы тока является 1 ампер — ток, при котором в 1 секунду через сечение проводника протекает 1 кулон заряда. Протекающий по проводнику заряд равен числу электронов, каж-

дый из которых несет на себе элементарный заряд q, Q = q N. Поэтому сила тока есть произведение элементарного заряда на величину потока частиц:

I = q dN .	(3.57)
dt

Отсюда видно, что сила тока есть по существу величина потока заряда. Реально электрический ток протекает в проводниках определенной формы, характеризуемых определенными геометрическими размерами. Рассмотрим однородный проводник конечных размеров цилиндрической формы (провод), имеющий объем V и поперечное сечение S (рис.). Пусть в проводнике на-

ходятся N электронов. Выделим бесконечно малый элемент объема проводника dV = Sd , где d — бесконечно малый элемент дли-

ны проводника. Количество электронов, содержащихся в объеме dV:

dN = N dVV = VN Sd

Подставив это выражение в формулу (3.57), запишем силу тока

149

в виде:

I = q VN S ddt ,

Заметим, что величина d совпадает с перемещением электрона

d вдоль проводника. Поэтому d /dt = v есть скорость электрона

под действием электрического поля. Окончательно для силы тока получаем:

	I = q	N	Sv = qnvS ,	(3.58)
		V

где n — плотность электронов в проводнике.

Сила тока, отнесенная к площади поперечного сечения проводника

	j =	I	= qnv	(3.59)
		S
	называется плотностью тока. Соответственно для однородного
проводника
	I = j S.			(3.60)
де	Плотность тока — векторная величина, ее можно записать в ви-
	j = qnv .
				(3.61)

За направление тока в проводниках принимается направление движения положительных зарядов. Если плотность тока неравно-

мерно распределена по сечению проводника, вместо (3.60) следует пользоваться более общей формулой:

I = ∫ jdS .

(3.62)

S

Сравнивая (3.62) и (3.17), можно видеть, что сила тока равна величине потока вектора плотности тока через поверхность.

3.4.2. Закон Ома

Причиной, вызывающей направленное движение заряженных частиц, является сила, действующая на заряд со стороны электрического поля (3.4). Согласно второму закону Ньютона, эта сила приводит к изменению импульса частиц

150

dp				(3.63)
dt	= qE .
Если заряд первоначально покоился, то в постоянном поле за-
ряд приобретает импульс
	t
p = ∫qEdt = qEt .				(3.64)
	0

Если бы электроны металла имели возможность двигаться сво-

бодно, не испытывая столкновений, этот импульс мог бы увеличиваться беспредельно. Однако в проводнике газ свободных электронов движется сквозь кристаллическую решетку тяжелых ионов металла. Поэтому время от времени электроны сталкиваются с ионами решетки, при этом передавая последним частично или полностью свой импульс. После каждого такого столкновения электрону приходится заново начинать свое движение под действием поля. Характерное время между последовательными столкновениями зависит от плотности металла, степени его чистоты, температуры тела и других факторов и называется средним временем свободного пробега τ. Таким образом, импульс, реально получаемый электроном металла во внешнем поле,

p = qEτ .

(3.65)

Полный импульс, приобретаемый всеми электронами единицы

объема проводника,
n p = n q E τ.	(3.66)

Используя определение импульса p = mv, где m — масса электрона, находим отсюда направленную скорость частиц единицы

		q
объема проводника nv =			nEτ. Умножив это выражение на q,
	m
имеем плотность тока (3.61)					nq2 τ
j		= qnv =			m E .	(3.67)

Мы получили соотношение между напряженностью поля в проводнике и вызываемой ею плотностью электрического тока. Величина

151

σ =	nq2	τ	(3.68)
	m

называется удельной проводимостью металла или удельной электропроводностью. Рассчитанная на единицу объема, она характеризует способность проводника проводить электрический

ток. Чем больше величина σ, тем большая плотность тока создается в проводнике при той же напряженности внешнего поля. Таким образом, соотношение (3.67) можно записать в форме:

j = σE .

(3.69)

Величина, обратная σ, называется удельным электрическим со-

противлением
ρ = 1/σ.	(3.70)

Воспользуемся связью между плотностью и силой тока (3.59), а также выразим напряженность поля через разность потенциалов на

концах проводника. Для однородного поля E = (ϕ1 – ϕ2)/ = U/ ,

где – длина проводника.

Связь между силой тока и разностью потенциалов имеет вид:

	I =	S	(ϕ1 − ϕ2 )=	S	U .	(3.71)
		ρ		ρ
	Величина
	R = ρ /S					(3.72)

является электрическим сопротивлением проводника. Для нее существует единица измерения 1 Ом — сопротивление такого проводника, в котором разность потенциалов в 1 В создает ток в 1 А.

Разность потенциалов на концах проводника U = ϕ1 – ϕ2 называют падением напряжения на проводнике. В этих терминах соотношение (3.71) приобретает вид:

I = U/R, (3.73)

который выражает собой хорошо известный закон Ома. Записанный в форме

U = I R,

(3.74)

он утверждает, что падение напряжения на проводнике равно произведению силы тока на сопротивление проводника. Закон Ома

152