Elektronika_i_skhemotekhnika

K		3
	1
			2
дБ	20 lg K				f
	1				3
		fср/2	2
	fср/4	fср	2fср	4fср	f
Рисунок 3.12

На Рис. 3.12 приведены частотные характеристики некоторых изделий. Они различаются между собой по диапазону пропускаемых частот. Характеристика 1 соответствует широкополосному устройству, у которого частотный диапазон сигналов передаваемых с одинаковым коэффициентом усиления Kср может быть довольно значителен. Характеристика 2 относится к избирательному устройству, пропускающему сигналы в узкой полосе частот. У некоторых типов устройств АЧХ (кривая 3) может не иметь завала в области низких частот, у них Kf >0 = Kf > fср. Такие устройства, предназначенные для работы при весьма низких частотах и на постоянном токе, носят название усилителей постоянного тока.

Изменение коэффициента передачи в функции частоты позволяет говорить о частотных искажениях, которые называются линейными, так как не сопровождаются искажением формы усиливаемого сигнала, если входной сигнал гармонический. АЧХ и ФЧХ всегда снимаются при такой амплитуде входного сигнала, при которой можно не опасаться нелинейных искажений формы выходного сигнала в процессе усиления.

Для количественной оценки частотных искажений пользуются понятием коэффициента частотных искажений М, который представляет собой отношение коэффициента усиления на средней частоте Kср к коэффициенту усиления на данной частоте. Обычно рассматривают частотные искажения, возникающие на границах диапазона fниж и fверх. Соответственно этому определяют коэффициенты частотных искажений

Mн = Kср/Kн и Mв = Kср/Kв

Частотные искажения сопровождаются сдвигом фазы между входным и выходным сигналом, или, иначе говоря, фазовыми искажениями.

Разность частот fв – fн называют рабочим диапазоном частот устройства (полосой пропускания). Как следует из определения коэффициента частотных искажений, полоса пропускания является субъективной характеристикой и всегда требуется уточнение, по какому уровню сигнала она отсчитывается. Наиболее часто границы полосы пропускания определяют по уменьшению выходной мощности сигнала в два раза, что соответствует уменьшению напряжения (тока) в 2 раз.

Амплитудные и фазовые характеристики часто изображают не в линейном, а в логарифмическом масштабе (рис. 4.7, б), когда на оси ординат амплитудно-частотной характеристики указывают не сам модуль передаточной функции, а его логарифм. На логарифмических частотных характеристиках принято откладывать значение 20lgК. Эта величина оценивается в децибелах. При этом значению модуля К = 10 отвечает значение рассматриваемой функции в 20 дБ.

Положительные значения 20lgК отвечают усилению сигнала данной цепью, отрицательные — его ослаблению. Заметим, что фазовый сдвиг на фазо-частотных характеристиках откладывают в линейном масштабе.

При построении графика логарифмической АЧХ (ЛАЧХ) LKu = 20lgKu пo оси абсцисс удобно откладывать значения частоты через октаву. Октава равна разности частот 2f и f. Если использовать логарифмическую шкалу с основанием логарифма 2, то расстояние между соседними отсчѐтами будет равно log22f — log2 f = 1.

Если диапазон частот, отражаемый на графике, приближается к 105— 106 Гц, целесообразно применить более крупную единицу — декаду, которая соответствует интервалу частот между 10f и f, т. е. lg10f – lgf = 1. Логарифмический масштаб позволяет одинаково подробно изображать на графике области как низких, так и верхних частот.

За единицу по оси ординат принят децибел. На рис. 4.7, б приведены в логарифмическом масштабе графики кривых, изображенных на рис. 4.7, а. Кривые имеют в каждой частотной области определенный наклон. Его выражают в изменении коэффициента усиления, происходящем за одну октаву (декаду). Наклон ±6 дБ/окт (±20 дБ/дек) имеют ЛАЧХ соответственно дифференцирующих и интегрирующих RC-цепей.

3.3. Обоснование процедуры проектирования электронных устройств.

Введение. Современное состояние и проблемы синтеза электронных и электрических цепей обстоятельно освещены в работе [1]. В ней синтез традиционно разделѐн на два этапа: аппроксимацию A характеристик (частотных и временных) и реализацию (нахождение схемы и синтез еѐ параметров (ΦK)). Несмотря на весьма большое число публикаций по синтезу, создание схемы до сих пор во всѐм мире относят к изобретательскому уровню и выдают на них патенты на устройства или способы. Тем самым утверждается, что неизвестны общие для устройств различного назначения инженерные методы синтеза их структур Sst. Поэтому деление синтеза на два этапа явно недостаточно. Тем не менее, исследований в этом направлении ведѐтся мало, по-видимому, из-за необходимости одновременного решения целого ряда взаимосвязанных проблем. В основном это проблемы:

а) осуществления декомпозиции процедуры проектирования так, чтобы было достаточно данных для последовательного решения всех задач без применения интуиции;

б) определения языков описания и методов синтеза для каждого этапа;

в) создания методов структурного анализа, получаемых решений, до того как будет получена схема, так как она появится после завершения синтеза структуры, когда об еѐ свойствах, указанных в задании на проектирование, уже должно быть известно всѐ (очевидно, нет смысла синтезировать схемы, которые не выполняют задание);

г) создания определяемого векторного критерия качества схем для каждого этапа проектирования с целью выделения из множества всех возможных схем только подмножество эффективных, с точки зрения лица принимающего решения (ЛПР);

д) создание эффективных методов и алгоритмов синтеза структур с учѐтом возникающей проблемы порождения только неизоморфных схем.

В рамках этого пособия последнюю проблему можно лишь наметить пути решения.

Имеющиеся решения всех проблем были проверены в ходе синтеза структур практических устройств, описываемых линейными и кусочнолинейными алгебраическими и дифференциальными уравнениями произвольного порядка с постоянными и переменными во времени

параметрами. Например, фильтров, фазовых корректоров, генераторов гармонических колебаний, стабилизаторов напряжения и тока, усилителей, источников тока, управляемых напряжением [2-5]. Часть новых синтезированных устройств были оригинальными и на них получены авторские свидетельства.

Разработка методов синтеза основывалась на следующих положениях, вытекающих из системного подхода [16].

1.Проектирование ведѐтся сверху вниз при заданной элементной базе, что не исключает сопоставления разных баз и выбор из них эффективной.

2.Декомпозиция процедуры проектирования выполнена открытой и так, что все этапы полностью обеспеченны исходными данными, содержащимися в задании на проектирование и полученными на предыдущих шагах синтеза. Открытость процедуры позволяет полностью использовать ранее накопленный опыт и сокращать число обязательных шагов.

3.На каждом уровне схемного проектирования порождается множество эффективных с точки зрения ЛПР вариантов решений, учитывающее наличие последующих этапов, в том числе конструкторского и технологического. Для последних создаѐтся множество схемных решений, дающих в свою очередь возможность на своѐм уровне конструктору и технологу также синтезировать из них подмножества эффективных решений.

Обоснование декомпозиции процедуры проектирования.Представим процесс схемотехнического проектирования как отображение П, имеющее область определения на множестве значений технических, технологических, экономических, эксплуатационных и экологических требований (назовѐм их кратко ТЭТ). Это отображение имеет значение на множестве структур К р с

допустимыми по ТЭТ значениями параметров * элементов и допусками d на технологический разброс параметров элементов.

Декомпозиция, которая позволяет решить задачу синтеза структур линейных цепей произвольного назначения, основана на нижеследующих свойствах. Кроме того, будем использовать только один источник входного сигнала, а выходной сигнал будет иметь с ним общий узел. Когда эти ограничения существенны, то они снимаются с помощью принципа наложения.

Свойство 1. Любаясхемная функция линейной цепи представима в линейной форме, т.е. параметр каждого еѐ элемента i входит линейно в еѐ числитель и знаменатель передаточной функции:

Kik (s)=		B(s)		=	B1(s)+ c i B2 (s)			,
		A(s)			A1(s)+ c i A2 (s)						(1)
c Мc , c = R,L,C ,J ,						J = K			,K ,R	,Y	,
i	{				}	{ u			i пер	пер }
где Bi(s) и Ai(s)					полиномы, не зависящие от i ; s – оператор Лапласа;
J множество	коэффициентов					передачи			зависимых		источников (ЗИ): Kuи

Ki соответственно источников напряжения и тока, управляемых напряжением и током (ИНУН и ИТУТ); Yпери Rпер соответственно передаточная проводимость и сопротивление источников тока и напряжения, управляемых напряжением и током (ИТУН и ИНУТ); узлы ι и κ соответствуют входу и выходу цепи. При использовании в модели цепи идеального гиратора или идеального трансформатора функция цепи относительно параметров этих элементов примет биквадратную форму. Когда же используют более точные их модели, то опять справедливо (1).

Очевидно, что в (1) все полиномы являются некоторыми однородными функциями, коэффициенты которых имеют одинаковую размерность, Например, при использовании метода узловых напряжений коэффициенты будут иметь размерность проводимости в степени, зависящей от числа узлов цепи. Следовательно, для описания полиномов схемной функции достаточно использовать операции сложения, вычитания и перемножения над проводимостями (сопротивлениями) элементов и безразмерными коэффициентами передачи ИНУН и ИТУТ.

Разделим полиномы числителя и знаменателя функции (1) на две группы: в одну включим коэффициенты, содержащие слагаемые, образованные только параметрами пассивных элементов Bп(s) иAп(s), в другую – коэффициенты, содержащие в качестве множителя или множителей коэффициент передачи J зависимого источника Bа(s) иAа(s)

K (s) = [Bп (s) + Bа (s)] [Aп (s) + Aа(s)]= [(bmпsm+ bm-1,пsm-1 + +

b0 п)+ +( bmаsm+ bm-1,аsm-1 + + b0 а)] [(anп sn + an-1,пsn-1 + + a0п )+
+ (anаsn + an-1,а sn-1+ + a0а)].	(2)

Для пассивной цепи, у которой выходной сигнал снимается

относительного общего узла, коэффициентыbjп ≥ 0, j=0,…,m и всегда					aiп > 0,
i = 0,…,n.	Коэффициенты	aiа > 0	и	aiа < 0образуются	весами

соответственноконтуров отрицательной и положительной обратной связи, сформированными, в свою очередь, ЗИ. Причѐм, контуры отрицательной и положительной обратной связи образуется с помощью соответственно нечѐтного и чѐтного числа инвертирующих ЗИ и некоторого числа не инвертирующих ЗИ. Коэффициенты числителя bjа функции (2) также могут быть положительными и отрицательными.

Таким образом, с помощью обратных связей, образованных ЗИ, можно увеличивать или уменьшать один или группу коэффициентов числителя и знаменателя схемной функции структурным, а не всегда возможным параметрическим путѐм. Конечно, прохождение сигналов через ЗИ на выход цепи также позволяет выполнить относительное увеличение и уменьшение одного или нескольких коэффициентов числителя в (2).

Свойство 2. Справедливы следующие утверждения:

а) в полиномы Aп(s) обязательно входят параметры всех пассивных элементов;

б) в полиномы Bп(s) входят параметры только части пассивных элементов цепи, причѐм элементы, параметры которых не вошли в Bп(s), обязательно инцидентны или общему узлу, или узлу ИНУН (узлу управляющего тока ИТУТ).

Доказательство. Согласно методу анализа с помощью графов в полиноме

n	n
Aп s yii M	j yii ...
i 1 J	i j

первое слагаемое, образованное произведением всех узловых проводимостей, содержит параметры всех пассивных элементов и всегда положительно. Здесь, конечно, не учтены элементы, не участвующие в формировании функции цепи, например передаточной. Такие элементы могут быть включены между общим узлом и узлами подключения зависимых и независимых источников напряжения, а также входом зависимого источника тока.

Все последующие слагаемые, образованные контурами, не содержащими дуг с весами зависимых источников, будут обязательно отрицательными (веса

всех дуг, отображающих пассивные элементы, положительны, в то время как вес контура берѐтся со знаком минус). Вес таких контуров будет равен квадрату соответствующей проводимости. Все эти слагаемые по свойству 1 сократятся с подобными членами, образованными в первом слагаемом (здесь они возникают, потому что каждый такой элемент включѐн между двух узлов и ни один из них не является общим). Оставшиеся слагаемые Aп(s) содержат все элементы в первой степени.

Полином Bп(s) образуется весами дуг, вошедшими в путь P k и в его дополнение k . Элемент, инцидентный общему узлу, на обобщѐнном графе не

отображается и, значит, в путь	k	войти не может. В определитель	k
	P

параметр такого элемента не войдѐт, если все пути k проходят через вершину, в вес которой входит проводимость элемента. Следовательно, утверждение "б" содержит только необходимые, но недостаточные условия. Достаточные условия легко получить из приведѐнного доказательства.

Свойство 3 (Фиалков и Герст) [6]. Между коэффициентами	полиномов
B п (s) и Aп(s) передаточной функции существует соотношение
aiп ≥ biп, i= 0,1,…n ; n ≥ m.	(3)

Так как соотношение (3) справедливо при любых значениях параметров элементов, образующих отдельные слагаемые в коэффициентах, то это означает

идентичность символьного	выражения коэффициента	bi п	части	выражения
коэффициента aiп. Знак тождества возникает, когда		ai п	состоит	из одного
слагаемого (обычно это aоп	иanп).

Соотношение (3) указывает на последовательность синтеза структуры пассивных электрических цепей Sst п. Сначала надо синтезировать структуру цепи, задающей еѐ собственное движение, описываемое решением уравнения Aп(s) = 0. Затем определяются узлы подключения входного и снятия выходного сигналов.

Наиболее адекватным математическим аппаратом для выполнения задач синтеза структур является теория графов. На данном шаге отметим, что должна быть уже решена задача аппроксимации A характеристик и свойств цепи.

Для синтеза структуры необходим вид полиномов Aп(s) и Bп(s) а также добротности полюсов, нулей и соотношения между их соответствующими

коэффициентами. Всѐ это находят из аппроксимирующей функции D(Z,s), в которой Z - вектор численных коэффициентов.

Связи между оставшимися полиномами функции (2) устанавливает свойство 4, доказанное в [5]. Для более удобной его формулировки представим все коэффициенты Aа(s) и Bа(s) в виде:

n j	n j
aiа J l ailп J k J l aik,пl J l J k J n j ail,пk, ,n j
l	k,l
	k l
n j	n j
bjа J l bjlп J k J l bjk,пl J l J k J n j bjl,пk, ,n j ,		4

lk,l k l

где aiïj , aiïkj ,…., bljï ,bkljï , ─ коэффициенты при операторах Лапласа

соответственно в степени i и j, а верхние индексы коэффициентов указывают на номера коэффициентов передачи зависимых источников J = {Ku, Ki} , на

которые они умножаются;nj ─ число зависимых источников в схеме.

Уравнения (4) представлены в общем случае, когда имеются контуры обратной связи и пути, проходящие через все ЗИ.

Свойство 4. Между коэффициентами полиномов Aп(s), Bп(s), Aа(s) и Bа(s) передаточной функцииэлектрической цепи справедливы соотношения:

a

ak

, a

ak ,l , , a

ak ,l , ,n j ;

i

i

i

i

i

i

bk

bk ,l

bk ,l , ,n j ; a

a

, a

, , a

b

; i 0,n

, n m. (5)

i

i

i

i

i

i

i

i

Здесь, как и в свойстве 3, коэффициенты описываются символьными выражениями, т.е. являются названиями параметров элементов пассивной

подсхемы. Подчеркнѐм, коэффициенты b i п и bi п между собой не связаны и,

фактически, коэффициенты b		необходимо записывать подобно
	i п

коэффициентам aiп (см. ниже в примере).

Из свойств (3) – (4) следует, что полиномAп (s) является порождающим для остальных: A а (s), B а (s) и B п (s). Отсюда вытекает последовательность процедур синтеза S s t а :

пассивной подсхемы, формирующей полином A п (s);

подсхемы, содержащей зависимые источники и формирующей контуры обратной связи (полиномы A а (s));

подсхемы, содержащей зависимые источники и формирующей пути прохождения сигнала от входа к выходу компонента (полиномы B а (s));

подсхему, формирующей пути прохождения сигнала от входа к выходу компонента минуя зависимые источники B п (s);

характеристики нелинейного элемента и места его включения Sel;

последовательное совмещение этих подсхем.

Как известно из главы 2, коэффициенты a i ппредставляют собой сумму весов деревьев графа электрической цепи. Если вес (в символьном виде) каждого дерева, образующего a i п, рассматривать как элемент множества Ai п, то тогда можно соотношения (5) записать в эквивалентной, но более содержательной форме

a	a	;	b	a	.					(5а)
i	iп		i	iп
Из этих соотношений видно, что коэффициенты						a		и	b	могут быть
							iп		iп

различными и тождественно равными: всѐ зависит от взаимного расположения контуров обратной связи и путей прохождения сигнала от входа к выходу.

Уравнения (4) и (5) описывают цели применения зависимых источников, т.е. способы относительного увеличения или уменьшения коэффициентов A (s)

иB (s)).Тем самым способы задают структуру и типы контуров обратной связи

ипутей прохождения входного сигнала к выходу электрической цепи.

Витоге численные коэффициенты вектора Zпредложено представлять в виде некоторых символьных функций, отражающих F E f i и возможные способы достижения заданных в D(s) значений коэффициентов.

Таким образом, после аппроксимации S A p необходимо осуществить синтез способов построения S Met цепи, а затем уже синтезировать еѐ структуру.

Выполнить аппроксимацию различных характеристик во временной или частотной областях можно только в том случае, если перед этим решѐн вопрос о принципах S P r построения системы или устройства [2] (см. ниже).

Системность подхода требует также, чтобы на функциональном аспекте осуществлялась формализация ТЭТ, т.е. формировалась функция выбора решений FE f i, для оставшихся трѐх аспектов всех уровней. Функции F E f iпосле каждого этапа из множества NP решений оставляют для последующего проектирования только множество эквивалентных, эффективных решений реализующих одни и те же ограниченные множества принципов построения и аппроксимирующих желаемые характеристики функций, множество, из которых на следующем этапе лицом принимающем решения выбирается одно из множества эффективных решений.

Декомпозиция процедур проектирования. Проектирование электронных цепей включает четыре взаимосвязанных аспекта: функциональный (описываемый в дальнейшем функциями выбора FEf i), структурный (S), конструкторский C и технологический T (их требования к структуре цепи будут учитываться в FE f i ).

Все аспекты содержат по семь этапов, каждый из которых может содержать,в свою очередь, некоторое число под этапов. Чтобы компактно и наглядно описать такой сложный процесс проектирования, воспользуемся понятием композиции [25].

Отображение H называют композицией отображений G и L и обозначают H L G , причѐм порядок записи играет существенную роль. Отображения G иL называют соответствующими. Они заданы на множествах X, Y и Z. На X определено отображение G, со значениями на Y, а на Y задано отображение L со значениями на Z. Тогда существует отображение H с областью определения на X, принимающее значение на Z, описываемое вышеприведѐнной композицией. Отображение H также называют сложным, составленным из внутреннего G и внешнего L отображений. Сложное отображение обобщается на любое конечное число составляющих отображений.

Процедуру схемотехнического проектирования представим композицией отображенияП [7] :

П Stool

S par Sel Sst

Sm

SA

SPr SТЭТ .

6

Композиция (6) является открытой и предполагает осуществление синтеза справа – налево (от ТЭТ – к допускам на параметры элементов Stol, исходя из

иерархии: сверху - вниз). В случае, если какие-то этапы синтеза были решены ранее и они удовлетворяют ТЭТ, то можно начинать синтез с нерешѐнного этапа.