- •А. В. Ширшова физика твердого тела
- •Глава 1. Азбука кристаллографии…………………………..…...….….43
- •I. Рабочая программа Пояснительная записка.
- •Содержание дисциплины
- •Контрольные вопросы к экзамену.
- •Методические указания к практическим
- •1.2. Система координат.
- •1. 3. Индексы узлов, узловых прямых и узловых плоскостей.
- •1. 4. Элементарная ячейка кристалла.
- •1. 5. Элементы симметрии.
- •1. 6. Cингонии.
- •2. Практическая часть работы.
- •Варианты заданий
- •Приложение
- •Характеристика сингоний кристаллов.
- •Характеристика различных типов решеток.
- •Связь между индексами (hkl), величиной d и периодами решетки a, b, с для каждой сингонии.
- •Число идентичных плоскостей p для совокупностей с разными индексами в кубической сингонии.
- •III. Тесты для самоконтроля студентов
- •IV. Конспект лекций
- •Глава 1. Азбука кристаллографии
- •Пространственная решетка
- •1.2. Система координат.
- •1. 3. Индексы узлов, узловых прямых и узловых плоскостей.
- •1.4. Элементарная ячейка кристалла.
- •1. 5. Элементы симметрии.
- •1. 6. Cингонии.
- •1.7. Обратная решетка
- •Приложение к главе 1
- •Характеристика сингоний кристаллов.
- •Связь между индексами (hkl), величиной d и периодами решетки a, b, с для каждой сингонии.
- •Число идентичных плоскостей p для совокупностей с разными индексами в кубической сингонии.
- •Глава2. Методы структурного анализа
- •2.1. Общие положения.
- •2.2. Дифракция Вульфа – Брэгга.
- •2.3. Метод Лауэ.
- •2.4. Метод вращения кристалла.
- •2.5 . Порошковый метод Дебая – Шеррера.
- •Глава 3. Межатомное взаимодействие. Основные типы связей в твердых телах
- •3.1. Классификация твердых тел. Типы связей
- •3.2. Энергия связи
- •3.3. Молекулярные кристаллы
- •3.4. Ионные кристаллы
- •3.5. Ковалентные кристаллы
- •3.6. Металлы
- •Глава 4. Элементы квантовой статистики
- •4.1. Квантовая статистика. Фазовое пространство. Функция распределения
- •4.2. Понятие о квантовой статистике Бозе — Эйнштейна и Ферми- — Дирака
- •4.3. Вырожденный электронный газ в металлах
- •4.4. Понятие о квантовой теории теплоемкости. Фононы
- •4.5. Выводы квантовой теории электропроводности металлов
- •4.6. Сверхпроводимость. Понятие об эффекте Джозефсона
- •Глава 5. Электрические свойства твердых тел.
- •5.1. Понятие о зонной теории твердых тел
- •5.2. Металлы, диэлектрики и полупроводники по зонной теории
- •5.3. Собственная проводимость полупроводников
- •5.4. Примесная проводимость полупроводников
- •5. 5. Фотопроводимость
- •5 6. Люминесценция твердых тел
- •5.7. Контакт двух металлов по зонной теории
- •5 8. Термоэлектрические явления и их применение
- •Физика твердого тела
- •625003, Г. Тюмень, ул. Семакова, 10.
4.3. Вырожденный электронный газ в металлах
Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули, согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов, они должны отличаться какой-то характеристикой, например направлением спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при . Принцип Паули вынуждает электроны взбираться вверх «по энергетической лестнице». Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми — Дирака (4.2.2). Если — химический потенциал электронного газа при , то, согласно (4.2.2), среднее число электронов в квантовом состоянии с энергией равно
(4.3.1)
Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов, где — функция распределения электронов по состояниям.
Из (4.3.1) следует, что при функция распределения , если E< и , если Е > . График этой функции приведен на рис.4.1 , а. в области энергий от 0 до функция равна единице. При она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией , заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей , свободны. Следовательно, есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называется энергией Ферми и обозначается )/. Поэтому распределение Ферми — Дирака обычно записывается в виде
(4.3.2)
Рис.4.1. График функции распределения Ферми – Дирака
( а) Т=0, б) Т>0)
Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми EF, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. е. от верхнего из занятых электронами энергети-ческих уровней.
Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT< EF. Это означает, что электронный
газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного -
вырождения. Температура То вырождения находится из условия
kT0 = EF. Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчеты
показывают, что для электронов в металле T0 т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден. При температурах, отличных от 0К, функция распределения Ферми — Дирака плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT) в окрестности EF (рис.4.1, б). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распределения при T0 = 0 К.) Это объясняется тем, что при T>0 небольшое число электронов с энергией, близкой к EF, возбуждается за счет теплового движения и их энергия становится больше EF. Вблизи границы Ферми при E<EF заполнение электронами меньше единицы, а при E>EF — больше нуля. В тепловом движении участвует
лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре T300К и температуре вырождения T0= 3·104 К, это 10-5 от общего числа электронов.
Если (E — EF)>>kT («хвост» функции распределения), то единицей в знаменателе (4.3.2) можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределение Ферми — Дирака переходит в распределение Максвелла — Больцмана. Таким образом, при (E — EF)>>kT, т. е. при больших значениях энергии, к электронам в металле применима классическая статистика, в то же время, когда (E — EF)<<kT, к ним применима только квантовая статистика Ферми — Дирака.