1.2. Система координат.

Для описания пространственной решетки вводят систему координатных осей следующим образом: начало координат помещают в один из узлов решетки, три координатных оси должны совпадать с тремя некомпланарными кристаллографическими направлениями. Описание решетки оказывается наиболее простым и удобным, если выбор осей соответствует симметрии кристалла и его пространственной решетки. Кристаллографические направления, совпадающие с выбранными осями координат, называются основными кристаллографическими осями.

Углы между ними ,  и  (рис.1) являются важными характеристиками пространственной решетки. Три вектора, направленные вдоль основных осей и равные по длине соответствующим периодам идентичности, принято называть основными векторами или элементарными трансляциями ( на рис.1). При таком описании положение любого узла может быть определено вектором

т.е. в любой узел решетки можно попасть из начало координат путем соответствующего числа (m, n, p) элементарных перемещений вдоль основных координатных осей. Такие элементарные перемещения также называются элементарными трансляциями.

Рис.1. Выбор системы координат в пространственной решетке.

1. 3. Индексы узлов, узловых прямых и узловых плоскостей.

Если положение данного узла задано вектором , то числа m, n и p по существу являются координатами узла решетки и называются индексами узла.

В пространственной решетке можно провести бесконечное число узловых прямых. Узловые прямые, параллельные между собой, образуют семейство узловых прямых. Для характеристики направления прямых данного семейства достаточно определить направление одной из его прямых – той, которая проходит через начало координат. Положение её по отношению к основным кристаллографическим осям однозначно характеризуется координатами ближайшего к началу координат узла. Таким образом, координаты этого узла являются индексами узловой прямой. Индексы узловых прямых при написании отличают от индексов узлов тем, что первые условились заключать в квадратные скобки (например, u, v, w, а вторые - в двойные квадратные скобки -   u, v, w  ).

Пространственная решетка кристалла характеризуется также различными совокупностями параллельных и равноотстоящих друг от друга узловых плоскостей, которые называются семействами узловых

(атомных) плоскостей.

d₁

d₂

d₃

Рис. 2. Семейства плоскостей. Межплоскостные расстояния.

Кратчайшее расстояние между соседними плоскостями данного семейства называется межплоскостным расстоянием и обозначается буквой d. На рис. 2 приведены проекции нескольких семейств плоскостей и указаны соответствующие межплоскостные расстояния. Пространственное расположение плоскостей данного семейства однозначно определяется расположением одной из параллельных плоскостей. Для определенности берут плоскость семейства, ближайшую к началу координат, но не проходящую через начало координат.

В общем случае такая плоскость отсекает на координатных осях отрезки, величина которых может быть выражена в долях элементарных трансляций. Пусть, например, плоскость отсекает на осях отрезки a/h, b/k, c/l (рис.3).

Рис. 3. К определению индексов плоскости.

Числа h, k, l, характеризующие наклон плоскости по отношению к основным кристаллографическим осям, являются координатами или индексами данной плоскости и, в то же время, –индексами всего семейства параллельных плоскостей.

Индексы плоскостей принято заключать в круглые скобки – (h k l), причем запятые между h,k,l не ставятся.

По имени ученого, впервые предложившего такое определение индексов, они называются индексами Миллера.

Если h, k, l являются дробными, то индексами семейства служат целые числа – числители, приведенных к общему знаменателю, дробей. Так, например, если плоскости отсекают по оси x отрезок a/2, по оси y – 2b/3, а по оси z –1, т.е. h=2, k=3/2, l=1, то индексы Миллера в данном случае есть (432).

Если плоскость отсекает на какой- либо оси отрезок в отрицательном направлении, то над соответствующим индексом ставится знак минус (например, ()).

Если плоскости семейства параллельны какому-либо из основных кристаллографических направлений, т.е. пересекают его в бесконечности, то соответствующий индекс Миллера равен 0 (например, плоскости семейства (hk0) параллельны оси z).

Если плоскости семейства параллельны какой-либо из координатных плоскостей, т.е. параллельны двум основным осям, то два соответствующих индекса равны 0 (так плоскости (00l) параллельны координатной плоскости xy, а (0k0) – плоскости xz).

Легко убедится, что семейства плоскостей с небольшими межплоскостными расстояниями d_hkl имеют сравнительно большие индексы Миллера, а семейства с большими d_hkl - относительно малые индексы.

Число узлов, приходящихся на единицу площади плоскости данного семейства, называется ретикулярной плотностью. Если рассматривать только такие семейства плоскостей, каждое из которых содержат все узлы решетки, то системы с наибольшими d_hkl будут содержать плоскости с наибольшей ретикулярной плотностью (т.к. число атомов в данном кристалле постоянно).

Геометрический смысл индексов плоскости (hkl) ясен из уравнения плоскости в отрезках, представленного в декартовых координатах X,Y,Z:

(4)

Уравнение (4) есть уравнение первой от начало координат плоскости семейства hkl.