5. ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Основные уравнения динамики жидкости выводятся на основании общих теорем динамики систем материальных точек. При этом постулируется, что эти общие теоремы, которые в механике доказаны для дискретных материальных точек, справедливы и для сплошной среды.

5.1. ФормулаЭйлерадлядифференцирования повремениинтегралапо«живому» объему

В динамике жидкости имеют дело с рядом характерных величин для выделенного произвольного движущегося «живого» объема, все время состоящего из одних и тех же частиц:

массой

m ,	(5.1)

импульсом

J V ,	(5.2)

моментом импульса

M r V ,	(5.3)

энергией

				2
E		V				(5.4)
			2		u ,

где u cT внутренняя энергия среды (здесь с ее теплоемкость,

	ккал		427	кгм	4,19 103 кДж ).
	кг К			кг К

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

97

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.1.Формула Эйлера для дифференцирования по времени интеграла по «живому» объему

Общие законы сохранения материи в физике формулируются через ее изменение во времени. Поэтому, по Эйлеру, при движении материальной среды необходимо вычислить

d

x ,t

(5.5)

dt

i

следующим образом (см. рис. 5.1):

d

x ,t

lim

xi

xi ,t t xi ,t

dt

i

t 0

t

x

t

x ,t t

x

x ,t

lim

i

i

i

i

(5.6)

t

t 0

lim

t

x x ,t

t 0

i

i

.

t

t

Рис. 5.1

В последнем пределе учтем, что

Vn S t n V S t,

и применим к интегралу

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

98

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.1.Формула Эйлера для дифференцирования по времени интеграла по «живому» объему

xi xi ,t t xi xi ,t t Vn S t

	S
преобразование Остроградского Гаусса, а именно

V1 cos nx1 V2 cos nx2

V3 cos nx3 S

Vi

x

S

Vi

1

V

xi

V

divV

.

В итоге получаем следующую формулу Эйлера:

d

V

divV

,

(5.7)

dt

t

при этом имеем формулу Эйлера для разложения полной производной на локальную и конвективную составляющие

						d .
		V
t							dt
		конвективная
локальная

производная произодная

Здесь символ V записывается для декартовой системы координат в форме

V

V V

V

V .

V

3

(5.8)

к

k

1

2

3

x

k 1

x

x

x

x

k

k

1

2

3

Например, конвективную производную от плотности xi ,t можно

записывать так:

V

V1

V2

V3

.

(5.9)

x

x

x

1

2

3

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

99

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.2.Законсохранениямассы. Уравнениенеразрывности

Законы сохранения, являющиеся краеугольным камнем современной физики, были впервые сформулированы еще М. В. Ломоносовым, который писал: «… если что-либо исчезает, то в другом месте прибывает».

Конкретное содержание этого фундаментального закона сохранения материи (вещества) на основе химических опытов было дано в 1785 г. А. Лавуазье и Ж. Менье, которые, в частности, получили широко известную теперь формулу для воды

2H2 2 г O2 16 г 2H2O 18 г .

В механике жидкости и газа закон сохранения массы представляется следующим образом:

dm		d	xi ,t 0 .
dt
		dt

Применяя формулу Эйлера (5.7), получаем

t V div V 0 .

(5.10)

(5.11)

В силу произвольности выделенного «живого» объема это может быть тогда и только тогда, когда

				0 .
	V	divV			(5.12)
t

Это и есть уравнение неразрывности для сплошных сред (континуу-

мов). С учетом того, что – скаляр,

t V grad divV 0 .

Применив формулу

V drad div V div V ,

получим уравнение неразрывности в виде

		div V 0 .	(5.13)
	t

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

100

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.2.Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности

Вслучае стационарного поля плотности (локальная производная t 0 )

div V 0.

(5.14)

В частном случае несжимаемой жидкости ( const ) уравнение (5.14)

называется уравнением несжимаемости:

V

V

V

0.

(5.15)

divV

1

2

3

x2

x2

x3

Для несжимаемых жидкостей

1

d

divV

0 ,

(5.16)

d

dt

т. е.

d

(5.17)

V

0 .

dt

t

Расписав (5.12) в проекциях, получим выражение для практических вычислений:

V

V

V

V1

V2

V3

0.

t

1 x

2 x

3 x

x

x

x

(5.18)

1

2

3

1

2

3

					d
	Учитывая, что		V
		t			dt
	форму:

Рис. 5.2

, можно (5.12) придать более компактную

d div V 0 . dt

Для морской воды (рис. 5.2) или воды в прудахохладителях ТЭС и АЗС с из-

менением температуры T xi ,t плотность также будет функцией xi ,t , но ее рас-

пределение в пространстве должно подчиняться закону (5.17). Для сжимаемых жидкостей (например, газа, воз-

духа) divV 0 и должен всегда соблюдаться закон

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

101

Рис. 5.3

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.2.Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности

(5.18a). Если же плотность – физическая константа (в большинстве случаев для капельных жидкостей, в т. ч. и для воды):

const 0 ,

то

d 0 V 0 0 . dt

Тогда уравнение неразрывности вырождается в более простое: divV 0 ,

каковым и следует пользоваться для несжимаемых жидкостей (как капельных, так и газообразных при малых давлениях и числах Маха

M0 VC0 1).

Исходя из условия неразрывности движущейся материальной среды следует считать, что, если среда несжимаема, дивергенция вектора скорости должна быть равна нулю в любой точке пространства, занятого потоком. Это положение можно рассматривать и в ином (обратном) смысле, т. е. равенство нулю дивергенции вектора скорости считать признаком несжимаемой движущейся сплошной материальной среды. Этим определяется и принципиальная возможность оценивать дивергенцией вектора скорости объемные деформации в движущейся сплошной материальной среде, что используется при определении нормальных напряжений.

Рассмотрим, как записываются в конкретных случаях уравнения неразрывности.

Пример. Какой вид имеют уравнения неразрывности в декартовых координатах, используемые для исследования установившегося обтекания сжимаемой жидкостью профиля крыла

(рис. 5.3).

Для установившихся течений параметры жидкости являются функциями только координат точек, следовательно, частные производные параметров по времени обращаются в нуль. А для плоских установившихся течений сжимаемой жидкости около профиля крыла уравнение неразрывности записывается в виде

		V1			V2 0 .
	x		x	2
	1

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

102

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.3.УравненияЭйлерадвиженияневязкойжидкости

Движение жидкости подчиняется законам Ньютона и на их основе описывается системой, состоящей из уравнений количества и момента количества движения.

Предположим, что на движущуюся жидкость действуют объемные си-

лы F . Общие уравнения движения невязкой жидкости могут быть получены из дифференциальных уравнений равновесия (3.6), если, согласно принципу Д’ Аламбера, к действующим силам добавить силы инерции. Тогда уравнение движения запишем так:

	dV		V
				V	V	F		1 grad P .	(5.19)
	dt		t

Здесь ddtV J – силы инерции, отнесенные к единице массы и объема.

В проекции на оси декартовых прямоугольных координат уравнение Эйлера примет вид

V1

V1

V1

V1

1 P

V

V

V

F

,

t

x

1 x

2 x

2

3 x

3

1

1

1

V2

V2

V2

V2

1 P

V

V

2

V

F

,

(5.20)

x

x

t

1

x

2

3 x

3

2

2

1

V3

V

V3

V

V3

V

V3

F

1 P

.

x

t

1 x

2 x

2

3 x

3

3

3

1

Сделав предположение об идеальности жидкости (невязкости, т. е. об отсутствии в жидкости касательных напряжений трения) и добавив к (5.20) уравнение несжимаемости (5.18), получим замкнутую систему уравнений динамики Эйлера.

Для решения определенной задачи необходимо задаться начальными и граничными условиями. Начальными условиями будут: V1 V10 x1, x2 , x3 ,

V2 V20 x1, x2 , x3 , V3 V30 x1, x2 , x3 , P P0 x1, x2 , x3 при t = t0. Если движе-

ние стационарное (установившееся), начальные условия опускаются. Граничные условия:

1) условие непроницаемости твердых границ потока, т. е. нормальная составляющая скорости к поверхности канала (трубы, русла и т. п.) во всех его точках должна быть равна нулю; касательная составляющая произвольна. В случае вязкой жидкости это условие заменяется условием «прилипаемо-

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

103

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.3.Уравнения Эйлера движения невязкой жидкости

сти» жидкости к стенкам канала, т. е. условием равенства скоростей жидкости и точек твердой поверхности, по которой она движется.

Условие непроницаемости является общим для задач как внешнего обтекания тел (обтекание лопасти турбины или рабочего колеса насоса, любого тела, движущегося в жидкости и т. п.), так и внутреннего (задач, связанных с течением жидкости в проточной части гидромашин, в трубках, реках и т. д.);

2) задание поля скоростей вдалеке (на бесконечности) от обтекаемого тела (в случае внешнего обтекания) и секундного объемного расхода жидкости сквозь любое сечение канала (внутреннее обтекание).

В рассмотренной общей постановке задач динамики невязкой жидкости решение этих уравнений представляет существенные трудности. Вопервых, уравнения динамики Эйлера записываются в частных производных, т. е. это не обыкновенные дифференциальные уравнения, и, во-вторых, эти уравнения нелинейны из-за наличия в них конвективных членов. Решение этих уравнений в большинстве случаев возможно лишь с помощью численных методов.

5.4. Законимпульсов. Уравнениядвижениявнапряжениях

Математическая формулировка закона импульсов была дана И. Ньютоном в трактате «Nature Fhylosofical» (1654 г.) Анализируя кинематические законы Кеплера о движении планет, И. Ньютон обратил внимание, что для всех этих законов оказывается справедливым условие

	m	dV	m	d 2r	k	M r					(5.21)
ma		dt		dt 2			r		2 r	F .

Тем самым он открыл закон всемирного тяготения, физическая природа которого до сих пор не ясна. Одновременно он обобщил законы кинема-

тики и сформулировал ставший знаменитым второй закон механики: ma F . Применительно к жидкости закон импульсов записывается в форме

	d
		V Fe			n S ,	(5.22)
	dt
				S

где n n , тензор напряжений в среде. Используя преобразование Остроградского Гаусса, получим

n S Div .

S

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

104

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.4.Закон импульсов. Уравнения движения в напряжениях

Применив формулу Эйлера (5.7), получим

	d
		V V				V	divV
	dt				t
									(5.23)
								.
				dV		V	V
				dt

По уравнению неразрывности (5.12) первый интеграл тождественно равен нулю. Тогда

	dV					F		Div
			V V						.	(5.24)
		dt				e

Эта интегральная форма закона импульсов МЖГ удобна при вычислении суммарных нагрузок (и главного вектора внешних сил, действующих со стороны жидкости на движущееся в ней тело, см. рис. 5.4).

	Рис. 5.4
z mi V me V V0		m f me V0 Vf .
Если Rf mf V0 Vf , то Pe z Rf		mi V me V Vf .

Стягивая объем τ в точку (или опираясь на произвольность его выбора), получим дифференциальную форму закона импульсов для МЖГ:

V V V				F Div
						.	(5.25)
	t				e

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

105

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.4.Закон импульсов. Уравнения движения в напряжениях

Его называют в МЖГ уравнением движения в напряжениях. Используя тождественное преобразование Громеки Лэмба:

V V V22 rotV V ,

(5.25) можно придать форму

				2
	V	V				rotV	V Fe Div .
	t		2

(5.26)

(5.27)

Для ньютоновских жидкостей, т. е. когда имеется линейная зависи-

мость между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций S (обобщенный закон Ньютона), получаем

P 2 divV I 2 S

3

и

	1						1		. (5.28)
Div P	3	grad divV	V	2 grad S			3	divV

Уравнение движения в напряжениях принимает вид

	dV				dV	V 2
	dt	V V			dt
						2	rotV V
форма Эйлера				форма Громеки				ЛЛэмб
						Лэмба
		gradP			1 grad divV				(5.29)
					3

V 2grad S 1 divV .

3

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

106

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.4.Закон импульсов. Уравнения движения в напряжениях

Обычно пренебрегают изменением ,T от давления и температуры, т. е. полагают

grad

d

gradP

d

gradT 0 .

d

dT

В случае несжимаемых жидкостей divV 0 уравнения движения

V

V

V

F

gradP 2V

(5.30)

t

e

были феноменологически получены Навье и теоретически обоснованы Стоксом. Поэтому (5.30) называют уравнениями Навье Стокса. Для идеальной несжимаемой жидкости (когда касательными напряжениями и вязкостью можно пренебречь, 0 ) будем иметь уравнения, известные еще Эй-

леру:

	V					gradP
		V	V		F		.	(5.31)
	t				e

В случае баротропной жидкости P					в поле консервативных сил
Fe gradU можно ввести функции
P xi ,t	dP					1
			и	P			.	(5.32)
	P

Тогда уравнение движения Эйлера (5.31) можно записать в форме Озеена:

2

V

V

V

V

V

rotV

V

U P,

(5.33)

t

t

2

или

V			2
	V				V	rotV .	(5.34)
t		2		U P

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

107

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.4.Закон импульсов. Уравнения движения в напряжениях

Последняя форма более удобна для интегрирования. Векторному уравнению (5.25) всегда соответствуют три скалярных (в проекции на оси координат). Так, для декартовой системы координат будем иметь, например,

	V	V			d
	ti Vk x i		Fei		dx ki ,	(5.35)
		k			k

где индексы i и k проходят значения от 1 до 3, причем по дважды встречающемуся индексу k производится суммирование, т. е.

Vk	dV1 Vk	dV1	V1 dV1 V2 dV1 V3 dV1
	3
	dxk k 1	dxk	dx1	dx2	dx3

и аналогично

d ki d ki d 11	d 21	d 31 .
3
dxk k 1 dxk dx1	dx2	dx3

(5.36)

(5.37)

5.5. Формызаписиуравненийдвижениявразличныхсистемах координат(инерциальныхинеинерциальных)

Предыдущие законы и уравнения записывали в абсолютно неподвижной системе для любой инерциальной системы координат (согласно третьему

постулату Галилея Ньютона). Покажем это конкретно. Пусть система координат инерциальна, т. е. движется равномерно и поступательно с постоянной

скоростью Ve const V0 . Тогда

V Ve Vã V0 Vr ,

где V

x ,t относительная скорость.

r

i

Так как для такой инерциальной системы координат

dV0

0 и

dV0 0 ,

dt

dxi

то

dV

V

dV

dV

0

0

V V

0

V

0

0

;

dt

t

dt

0

i dx

i

(5.38)

(5.39)

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

108

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.5.Формы записи уравнений движения в различных системах координат (инерциальных и неинерциальных)

a V0 Vr

daV

aV

V V

V0

Vr V

V0 Vr

dt

t

t

(5.40)

aVr V0

Vr

Vr Vr

rVr Vr Vr .

t

t

dVr

dt

Следовательно, уравнения движения в напряжениях не изменяют свой

вид:

dV	dV						Div ,
			V	V		F
dt		dt				e

rVr Vr Vr Fe Div .t

(5.41)

(5.42)

Итак, индекс r переносного движения для инерциальной системы координат можно опускать. Однако для неинерциальных систем координат (движущейся неравномерно или с вращением) этого сделать нельзя. Покажем это. Пусть переносная скорость

(5.43)

Ve xi , t V0 t e t r xi .

Тогда абсолютная скорость V xi ,t представима так:

V xi ,t = Vе xi ,t Vr xi ,t

(5.44)

или

Vr xi , t = V xi ,t Ve xi ,t ,

(5.45)

dV

V

V

a

V

V

r

V

V

dt

t

t

e

V

(5.46)

r

V V

V

V.

t

e

Можно установить, что

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

109

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.5.Формы записи уравнений движения в различных системах координат (инерциальных и неинерциальных)

V		V
a		r	V	V		,	(5.47)
t		t	e

и уравнения абсолютного движения в напряжениях, но для неинерциальной системы координат, примут вид

aV

rV

V

V

Vr V

Fe Div . (5.48)

t

t

Уравнениям (5.47,5.48) можно придать и другую форму:

aV

rV

V

V

Vr V V V Fe Div . (5.49)

t

t

Уравнение (5.49) часто используют для описания абсолютного движения в относительной системе координат.

Покажем также запись относительного движения в относительной (неинерциальной) системе координат, что очень удобно при описании движения жидкости во вращающихся механизмах (планетарных задачах в масштабах вращающейся Земли и др.). Напомним основные положения теоретической механики об абсолютном, переносном и относительном движениях:

где

где ae, ac, ar ное ускорение.

ra

r0

r ;

d

d

(5.50)

a

r

e

d r

d r

dt

dt

d

r

,

(5.51)

V

a

a

a

0

r

e r

V0

e r

Vr

dt

dt

dt

Ve

d

r

и

d r

;

Vr

r

V0

a

0

dt

dt

Vr

d V

d V

d V

drr

a

a

a

0

a c

r

e

e

dt

dt

dt

dt

d

V

e

e

r

r

r

e Vr

(5.52)

dt

d

d

d V

e

V

a

0

a

r

e

e

r

2

e

V

r

r

r

,

dt

dt

dt

ac

ar

соответственно переносное, кориолисово и относитель-

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

110

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.5.Формы записи уравнений движения в различных системах координат (инерциальных и неинерциальных)

Рис. 5.5

Причем (см. рис. 5.5)

		е r е r1 Q Vn ,
2			2				2	r 2				2 r 2
	е r1 е				r1				1			e	1	.
е							е		2			2

По формуле Эйлера имеем для относительной системы координат

a		drVr	rVr
	r			V	V		(5.53)
		dt	t	r		r ,

или, с использованием тождества Громеки Лэмба,

		drV r		rVr		2
					Vr
	ar	dt		t				rotVr Vr .		(5.54)
						2

После чего уравнения движения в напряжениях (5.27) примут форму

drVr

Vr

rotVr

dt

2

2 e Vr

2 2

(5.55)

daV0

da e

F

Div

r

er1

.

e

dt

dt

2

Если инерциальная система движется равномерно (V0 const ) и вращается, но с постоянной угловой скоростью ( e const ), то

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

111

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.5.Формы записи уравнений движения в различных системах координат (инерциальных и неинерциальных)

ddtaV0 0, ddta e 0 ,

а кроме того, rotVe 2 e и rotVr rotVe rotV . Для такой системы координат окончательно будем иметь

2 2

drVr

Vr

e r1

dt

2

rotV Vr

Fe Div

2

,

(5.56)

где последний член – объемная плотность центробежных сил с потен-

циалом U1

e2r12

. Для идеальной

Div P

баротропной P

жидко-

2

сти в поле консервативных объемных сил ( Fe U ) будем иметь эти же уравнения в форме Озеена (для относительного движения):

2

2 2

t

2

U P

2

Vr

rotV

Vr

rotVr

2 e

(5.57)

rVe

Vr

e r1

при V0

const

и e const . Из сопоставления (5.45) и (5.52) можно ус-

тановить, что

a

aV

V

V

rV Vr

V

t

t

rVr

Vr Vr

Vr

Ve ar ae ac ,

t

d V

r r

a

dt

r

т. е.

rVe

ae ac

Vr

Ve

t

daV0

da e

r r

2 V .

dt

dt

e

e

e

r

(5.58)

(5.59)

Для инерциальной системы координат (V0 const и e 0 ) формула

(5.59) обращается в тождество вида 0 0, а (5.58) переходит в ранее полученное соотношение (5.52).

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

112

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.6.ПервыеинтегралыуравненийдвиженияЭйлера

Для идеальной ( ij 0 ; i j ) баротропной P жидкости в поле

консервативных сил Fe U можно получить первые интегралы уравне-

ний движения Эйлера, записанные в форме Озеена – в абсолютной, или инерциальной, системе координат, а также для относительного движения. Выпишем эти уравнения:

V						2
			V						V		rotV ;			(5.60)
	t				2		U P
V				2					2 2
	V				U P			e r1			Vr rotV		.	(5.61)
t			2						2

	Интеграл Бернулли. Предположим, что течение стационарно, т. е.
V	0 .	Умножим левую и правую части уравнения (5.60) скалярно на r ,
t		все перемещения направлены вдоль линии тока, когда r //V
причем

r V . Тогда в правой части (5.60) получим тождественный нуль, а в левой части

		2		0		(5.62)
	V		U P
	2
Следовательно, плотность механической энергии
EM V 2	U P constÁ , или		gz P	V 2	constÁ ,	(5.63)
2				2

остается постоянной вдоль линии тока, а на каждой из линий тока может быть свое значение constБ для всех ее точек.

Уравнение Бернулли, полученное как первый интеграл уравнений Эйлера, означает не что иное, как утверждение о сохранении механической энергии. В соответствии с этим первые два слагаемых в (5.63) представляют собой соответственно потенциальную энергию положения и объемного действия поверхностных сил, а третье – удельную кинетическую энергию (см. вторую форму записи).

При записи уравнения Бернулли в виде

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

113

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.6.Первые интегралы уравнений движения Эйлера

gz P V2 2 constÁ

слагаемые трехчлена называют соответственно геометрическим, пье-

зометрическим и скоростным напором.

Уравнение Бернулли можно использовать для расчетов гидромашин (рабочих колес гидротурбин, насосов и т. д.) в случае относительного движения жидкости в равномерно вращающейся вокруг неподвижной оси системе координат. В относительной системе координат, например связанной с вращающимся рабочим колесом, поток жидкости стационарен, и применение теоремы Бернулли возможно (в отличие от абсолютного потока).

Если аналогичную процедуру выполнить для уравнений (5.61), т. е. интегрируя вдоль линий тока относительного движения, то

				EMr	V 2	U P	2 r 2	const rÁ .	(5.64)
					r		e 1
					2		2
		При		стационарном течении	в	относительной		системе	координат
	Vr
		0		в силу (5.64) уравнения (5.61) дают Vr rotV 0 условие Н. Е.
	t

Жуковского (Ф. И. Франкль и М. В. Келдыш в 1935 г. показали, что это условие является

первым, но достаточно сильным приближением). Это означает, что вихри абсолютного движения располагаются вдоль линий тока относительного движения:

Vr // rotV .

(5.65)

При малых нагрузках V Ve , т. е.

Vr V Ve Ve ,

условие Н. Е. Жуковского переходит в линеаризированное условие

rotV Vr rotV Ve 0 2 .

(5.66)

Это означает, что вихри абсолютного движения при малых нагрузках располагаются примерно вдоль линии тока переносного течения, которое всегда известно.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

114

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.6.Первые интегралы уравнений движения Эйлера

			V			можно интег-
				0
Интеграл Громеки. При стационарном течении			t
рирование (5.60) провести и вдоль вихревых линий, принимая δr // rotV . То-
гда
EM	V 2	U P constГ				(5.67)
2

будет вдоль вихревых линий, где const Г одна и та же для всех гео-

метрических точек на одной и той же вихревой линии. Если линии тока и вихревые линии образуют поверхности (рис. 5.6), то для них очевидно, что

сonstБ const Γ ;

Рис. 5.6

т. е.

V 2

EM 2 U P const

(5.68)

или эти поверхности являются энергетическими поверхностями.

Интеграл Коши Лагранжа.

Пусть rotV 0 , т. е. V grad (в силу теоремы Стокса). Учтем также, что

V grad (дифференцирование по

t t

независимым переменным t и xi можно поменять местами для непрерывной ). Тогда (5.60) принимает вид

					2
		d		V				0 , (5.69)
				2		P U
		dt
EMt d	V 2	P U const Ê Ë .						(5.70)
dt	2

Причем const К Л одна и та же для всех геометрических точек всего пространства Е3 или той его части, которая заполнена жидкостью или газом.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

115

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.6.Первые интегралы уравнений движения Эйлера

Интеграл Эйлера. Имеем rotV 0 ; V grad , и течение стационарно

– ddt 0 . В этом случае

0	V 2	U P constÝ .	(5.71)
EM	2

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

116

Рис. 5.7

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.7.ПрименениеуравненияБернулли

Рассмотрим случаи, когда интеграл Бернулли позволяет очень просто решать задачи о движении жидкости.

Пример. Истечение жидкости из резервуара при постоянном напоре. Предположим, что размеры резервуара, из отверстия которого вытекает вода со скоростью Vвых, настолько велики, что падением уровня в нем можно пренебречь (рис. 5.7). Давление на поверхность воды в резервуаре и на боковую поверхность струи равно P0 (или в данном случае атмосферному). Напишем

уравнение Бернулли для некоторой линии тока AB . Скорость на свободной поверхности резервуара примем равной нулю, тогда

		P		P		V 2
	gzA	0	gzB	0		вых	,
						2

отсюда

Vвых 2gh . (5.72)

Скорость Vвых равна скоро-

сти предмета, свободно падающего с высоты h . Равенство (5.72) выражает собой т. н. теорему Торичелли.

Поперечное сечение струи, вытекающей из сосуда, не равно поперечному сечению отверстия. Скорости

частиц жидкости в момент выхода из отверстия не параллельны друг другу и имеют компоненту, направленную к центру струи: струя сужается. Отношение площади поперечного сечения струи к площади отверстия называют коэффициентом сжатия . Объемный расход в этом случае вычисляют по формуле

Q S 2gh .

(5.73)

Пример. Водомер Вентури (рис. 5.8) используется для измерения расходов жидкости и представляет собой трубу с пережатием определенных размеров и формы. По оси прибора устанавливаются два пьезометра, как показано на рис. 5.8.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

117

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.7.Применение уравнения Бернулли

Рис. 5.8

Если применим теорему Бернулли к линии тока, расположенной, например, на оси водомера, имеем:

V 2

P

V 2

P

(5.74)

2g

2g

.

1

1

2

2

Обозначим

P

P

через h ,

где

h

разность пьезометрических

1

2

высот, считываемая по шкале прибора и отражающая уменьшение давления в потоке жидкости в сжатом сечении вследствие увеличения скорости потока. Зная, что

Q V1S1 V2S2 ,

где S1, S2 – площади сечений в плоскости соответственно 1-го и 2-го

пьезометров, и выражая скорости через размеры водомера при подстановке в (5.74), получим в окончательном виде

Q S1		1			2g h .
	D		1
	d

В данном случае не учитывали потери энергии при прохождении жидкости через водомер, неравномерность распределения скоростей в контрольных сечениях.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

118

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.8.Циркуляционноеобтеканиекруглогоцилиндра потенциальнымпотоком

Известно, что если у нас есть безвихревая несжимаемая жидкость, то поток удовлетворяет следующим двум уравнениям:

V 0,

V 0 .

(5.75)

Хотя при всех потенциальных (безвихревых) течениях циркуляция в любой малой области потока равна нулю, тем не менее существуют такие потенциальные течения, в которых циркуляция для всего потока не равна нулю. Необходимым условием для этого является многосвязность области, в которой происходит течение.

В рамках топологии – геометрии, не связанной с метрическими соотношениями, а рассматривающей взаимное расположение геометрических тел, выясняется необходимость классификации пространств по их «связности». Пространство называется односвязным, если любой замкнутый контур в нем может быть непрерывно стянут в точку, и многосвязным (одно-, двух- и т. д.), если этого сделать нельзя, не выходя за пределы рассматриваемой области. Примеромдвухсвязнойобластиможетслужитькомнатасколоннойпосередине.

Отметим одну важную особенность, которая наблюдается в случае несжимаемого потенциального потока (в общем случае ее нет): если имеется какое-то первое решение и какое-то второе, то сумма их также будет решением. Это справедливо в силу линейности уравнений (5.75). Полный же набор гидродинамических уравнений

V			2						1
	V				rotV		V	F		gradP ,	(5.76)
t	grad	2
		t		V 0				,			(5.77)
					V						(5.78)

нелинеен если взять ротор (rot) от обеих частей уравнения (5.76) присonst с использованием уравнения (5.75), получим уравнение (5.77).

Однако в случае безвихревого потока вокруг цилиндра можно получить циркуляционное обтекание, наложив на простейший плоскопараллельный поток (рис. 5.9, a), определяемый потенциалом скоростей

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

119

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.8.Циркуляционное обтекание круглого цилиндра потенциальным потоком

ñ ,

(5.79)

где c коэффициент Лапласа, круговой (циркуляционный) (рис 5.9,

б).

Для кругового пути с центром, совпадающим с центром цилиндра, криволинейный интеграл от скорости равен

VdS 2 rV .	(5.80)
S

а

б

в

Рис. 5.9

Для потенциального течения интеграл не должен зависеть от r . Тогда

	V		,	(5.81)
		2 r

где V тангенциальная скорость.

В результате такого наложения получим новый вид потока (рис. 5.9, в). Даже без расчета из рис. 5.9, в, следует, что в слоях жидкости над цилиндром скорости бесциркуляционного обтекания цилиндра и чисто циркуляционного потока вокруг цилиндра складываются, а под цилиндром вычитаются. При этом скорость на верхней стороне цилиндра оказывается больше, а давле-

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

120

5.ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.8.Циркуляционное обтекание круглого цилиндра потенциальным потоком

ние, согласно уравнению Бернулли, меньше, чем на нижней, так что когда на циркуляцию вокруг цилиндра налагается чистый горизонтальный поток,

возникает действующая на цилиндр вертикальная сила F , называемая подъемной силой. В 1904 г. Н. Е. Жуковский установил, что подъемная сила пропорциональна плотности жидкости, относительной скорости жидкости и циркуляции, т. е.

F V .

(5.82)

Выражение (5.82) является частным случаем общей теоремы Жуковского, относящейся к любому обтекаемому контуру.

При вращательном движении тел в потоке реальной жидкости можно наблюдать возникновение циркуляционных движений. Эффект образования при этом поперечной силы (эффект Магнуса, 1852 г.) помогает объяснить многие интересные явления (отклонения «крученых» мячей в теннисе или футболе, возникновение аэродинамического момента действия воздушного потока на артиллерийский снаряд и т. д.). Известна историческая попытка применения эффекта Магнуса для создания судового движителя (А. Флетнер), состоящего из вертикальных вращающихся цилиндров, т. н. роторов Флетнера, установленных на палубе судна для приведения в движение корабля энергией ветра.

При обсуждении обтекания потенциальным потоком цилиндра (рис. 5.9) считают, что жидкость скользит по поверхности твердого тела и цилиндр в этом случае не испытывает сопротивления движению. Это утверждение неверно. В этом случае скорость на поверхности твердого тела может иметь произвольное значение, и трение между жидкостью и твердым телом не учитывается. Однако то, что скорость реальной жидкости совпадает со скоростью той или иной точки твердого тела, в которой рассматривается течение в данный момент времени (относительная скорость движения равняется нулю), – экспериментальный факт. Следовательно, решения для цилиндра с циркуляцией жидкости и без нее не правильны. В реальной жидкости трением пренебречь нельзя. Результаты, полученные на основе модели идеальной жидкости, имеют вполне определенную погрешность и ограниченность в применении и зачастую носят лишь качественный характер.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

121